انرژی و حركتِ هماهنگِ ساده

انرژی پتانسیل كشسان

ما در دروس گذشته آموختیم كه اجسامی كه در بالای سطح زمین قرار دارند دارای انرژی پتانسیل گرانشی هستند. بنابراین، وقتی اجازه داده شود كه جسم سقوط كند(مثل آب جاری در سد) آن گاه انرژی پتانسیل آن جسم می‌تواند كار انجام دهد.

یك فنر نیز بر اثر فشرده یا كشیده شدن می ‌تواند در خودش انرژی ذخیره كند كه به آن انرژی پتانسیل كشسان گفته می‌ شود. این انرژی می ‌تواند بر اجسام متصّل به فنر كار انجام دهد. به عنوان مثال به فنر متصّل به درب فكر كنید. (تصویر زیر)

چنین فنری را زیاد دیده‌اید. وقتی درب باز می ‌شود فنر كشیده شده و انرژی در آن ذخیره می ‌شود. با رها كردن درب، فنر جمع می ‌شود و بر روی آن كار انجام می ‌دهد.

اما در یك فنر فشرده شده (یا باز شده) چه مقدار انرژی ذخیره می ‌شود؟

مقدار انرژی به چه عواملی بستگی دارد؟

برای بررسی این سوال بهتر است ابتداء كار انجام شده در حین جمع شدن فنر محاسبه گردد. تصویر زیر جسم متصّل به انتهای یك فنر كشیده شده را نشان می ‌دهد.

وقتی جسم رها می ‌شود نیروی فنر باعث حركت آن از موقعیت اوّلیه x₀ به موقعیت نهاییx_f می ‌گردد. كار انجام شده بر روی جسم از رابطه W= Fcos s به ‌دست می ‌آید، جایی كه F نیروی وارده، S جابه‌جایی جسم و زاویه بین نیرو و جابجایی است.

اما در اینجا نیروی فنر ثابت نیست. ولی در هر حال نیروی فنر از رابطه F = -KX به‌ دست می ‌آید. در این حالت مقدار نیروی F بین دو مقدار Kx_f و Kx₀ خواهد بود.

در اینجا بهتر است از مقدار متوسط نیرو به جای اندازه نیرو F استفاده كنیم. ازآنجاكه رابطه نیرو با جابجایی خطی است بنابراین نیروی متوسط برابر میانگین مقادیر Kx_f و Kx₀ خواهد بود. یعنی:

اكنون براحتی می‌توان كار نیروی فنر W _elastic را محاسبه نمود:

از رابطه فوق درمی‌یابیم كه كار انجام شده در جابجایی فنر برابر تفاضل مقدار اوّلیه و نهایی است. مقدار در انرژی پتانسیل كشسانی معادل mgh در انرژی پتانسیل گرانشی است. بدین ترتیب انرژی كشسان فنر تعریف می‌ شود.

انرژی پتانسیل كشسان U_E مقدار انرژی است كه در یك فنر فشرده یا كشیده شده، ذخیره شده ‌است. برای یك فنر آرمانی با ثابت K كه به‌اندازة نسبی x از حالت طبیعی كشیده شده ‌است، مقدار انرژی پتانسیل كشسان از رابطه زیر به ‌دست می ‌آید:

اگر K بر حسب n/m و x بر حسب m باشد آنگاه U_E بر حسب J به ‌دست می ‌آید.

رابطه فوق براین موضوع تأكید دارد كه در یك فنر در حال نوسان اندازه انرژی كشسانی، وقتی حداكثر است كه فنر به بیشترین مقدار خودش كشیده شده باشد و وقتی صفر است كه در حالت طبیعی خودش (كشیده یا فشرده نشده) قرار دارد.