از دانش آموزان بخواهید تا طول و عرض مستطیل را بر حسب سانتی متر و اینچ اندازه بگیرند و اندازه ها را در جدول پایین صفحه ثبت کنند. در این مرحله خوب است كه از آنان بخواهید اندازه هایی كه محاسبه كرده اند را با یکدیگر مقایسه کنند تا مطمئن شوند که درست عمل کرده اند.

پس از اینکه دانش آموزان با استفاده از اینچ و سانتی متر مستطیل را اندازه گیری کردند، واحدهای اندازه گیری جایگزین را بین آن ها پخش کنید؛ مانند گیره های کاغذ، آب نبات، سکه، دانه های لوبیا و .... بهتر است که این ها را قبلاً جدا کرده باشید تا بتوانید به سرعت توزیع کنید. ضمناً، مطمئن شوید که تعداد اشیایی که به هر گروه دو نفره می دهید، برای اندازه گیری طول و عرض مستطیل کافی باشد.

ممکن است درباره ی این که هر واحد را چگونه برای اندازه گیری طول و عرض به کار ببرند، با دانش آموزان به بحث بپردازید، یا ممکن است كه ترجیح دهید  آنان خودشان درباره ی این موضوع فکر کنند. برای کمک به آن ها، مثلآ می توانید سکه های 50 تومانی را روی دستگاه اورهد در امتداد طول مستطیل بچینید. (مانند تصویر زیر)

هم چنین، باید به دانش آموزان توضیح دهید که ممکن است لازم باشد بخش هایی از یک واحد را تخمین بزنند. مثلاً در تصویر بالا، طول مستطیل به نظر کمی بیشتر از 9 سکه است، پس می توان تخمین زد که طول مستطیل تقریباً 9.2 سکه است. علاوه بر این، ممکن است بخواهید طول و عرض را بر حسب سکه روی نمودار هم نشان دهید تا دانش آموزان برای چگونگی استفاده از نمودار مثالی داشته باشند.

به دانش آموزان اجازه دهید تا ابعاد مستطیل را با استفاده از چهار واحد غیر استاندارد اندازه بگیرند. در نتیجه، آن ها ابعاد مستطیل را با استفاده از 6 روش مختلف محاسبه کرده اند.

پس از این که دانش آموزان جدول را کامل کردند، با كمك آن ها این موضوع را بررسی کنید که چگونه می توان با استفاده از این زوج های مرتب (طول و عرض نقطه)، یک نمودار رسم کرد. از آن ها بخواهید تا نمودار 6 زوج مرتب خود را روی یک صفحه ی شطرنجی رسم کنند. (شما می توانید اندازه گیری های دانش آموزان را نیز،روی دستگاه اورهد به صورت نمودار نمایش دهید. نمودار شما می تواند بیش از 6 نقطه داشته و در واقع، شامل اندازه گیری های تمام افراد کلاس با واحد های مختلف باشد.)

از دانش آموزان بخواهید تا به نمودار دقت کنند و از آن ها بپرسید: "آیا نقطه ها به صورت اتفاقی روی نمودار قرار گرفته اند، یا  از نظم و الگوی خاصی پیروی می کنند؟" دانش آموزان باید این موضوع را متوجه شوند که نقطه ها بر روی یک خط راست قرار گرفته اند.

 سپس، بپرسید: "الگویی را که به وسیله ی نقطه ها به وجود آمده است، چگونه توضیح می دهید؟" (شیب خط نشان دهنده ی آهنگ تغییرات عرض نسبت به تغییرات طول است، که مقدار ثابتی است.

به عبارت دیگر اگرچه ممکن است به خاطر اندازه گیری مختلف، اندازه های متفاوتی داشته باشیم، اما نسبت طول به عرض مستطیل تغییری نمی کند و یک تابع با نرخ تغییرات ثابت به صورت یک خط راست نمایش داده می شود.)

از دانش آموزان بخواهید تا نتایج مربوط به واحدهای دیگر اندازه گیری را پیش بینی کنند. مثلآ بپرسید: "طول مستطیل را با سکه های 10 تومانی اندازه کرده ایم، تقریباً 7.2 سکه شد. عرض مستطیل چقدر می شود؟"

(طول مستطیل تقریباً 1.5 برابر عرض آن است. پس عرض آن حدوداً 4.8 سکه است.) یا بپرسید:" یک دانش آموز از آدامس برای اندازه گیری مستطیل استفاده کرده و ابعاد آن را 11 آدامس در 5 آدامس به دست آورده است. آیا این اندازه ها منطقی و درست به نظر می رسند؟" (طول باید 1.5 برابر عرض باشد. اما  11:1.5مساوی با 5 نمی شود . پس،اندازه ها درست نیستند.) برای راحت تر شدن این پیش‌گویی ها، دانش‌آموزان می توانند خط نمودار را با خط‌کش رسم کنند، به طوری که بیشتر نقطه ها را شامل شود ودارای کمترین فاصله  از نقاط نمودارباشد.

از آن‌جا که نقطه های نمودار نظم و الگوی مشخصی دارند، دانش آموزان باید توجه کنند که بین طول و عرض این مستطیل رابطه ای قانون‌مند وجود دارد. از آنان بخواهید تا این قانون را پیدا کنند و توضیح دهند:

(طول همیشه 1.5 برابر عرض است، مستقل از این که واحد اندازه گیری چه باشد.این قانون را به زبان ریاضی می توان این طور نوشت: طول=x1.5عرض.)

پرسش هایی برای دانش آموزان

- با آنکه برای اندازه گیری عرض مستطیل، تعداد آب نبات های بیشتری (واحد غیر استاندارد) در مقایسه با تعداد سکه ها(واحد استاندارد) به كار بردیم، آیا اندازه ی عرض واقعاً متفاوت بوده است؟

(نه، عرض و طول هیچ کدام تغییر نکرده اند. تنها چیزی که تغییر کرده است، واحدهای اندازه گیری بوده است.)

-  به 6 نقطه ای که به دست آورده ای،نگاهی بینداز. آیا آن ها به طور تصادفی کنار هم قرار گرفته اند یا از نظم مشخصی پیروی می كنند؟

(به نظر می رسد که نقطه ها روی یک خط راست قرار گرفته اند.)

- اگر کسی با استفاده از تعدادی آدامس طول و عرض را اندازه گرفته بود و دوتایی مرتب او روی نقطه ی (10 و 22) قرار می گرفت، آیا می شد كه تصور کنیم، اندازه گیری به درستی انجام شده است؟ اگر زوج مرتب (10.5 و 16) را به دست آورده بود ،چطور؟ چه دلیلی دارید؟

به نظر می رسد كه نقطه ی (22و10) با اندازه گیری نادرستی به دست آمده است. چون : 10 × 1.5 ? 22  ، پس

(161.52×10.5) و (10.5 و 16) به نظر منطقی و درست است.

-برای به دست آوردن نقطه ای كه به نقطه ی مبدأ مختصات بسیار نزدیک باشد، از چه واحد اندازه گیری ای می توان استفاده كرد؟ چرا؟

(اندازه های واقعی مستطیل 11 سانتی‌متر و 16.5 سانتی‌متر است.( اینچ ¾ 6 × ½4 ). اگر از یک واحد اندازه گیری بسیار بزرگ‌تر از این اندازه ها استفاده کنیم، ابعادی که به دست می آید، بسیار به صفر نزدیک خواهد بود. مثلاً اگر از واحد متر استفاده کنیم، عددهای( 0.11m و  0.165m) را به دست می آوریم که به مبدأ نزدیک هستند. برای به دست آوردن نقطه ای كه به مبدأ مختصات از این هم نزدیکتر باشد ، می توانیم  ابعاد مستطیل را با واحد کیلومتر اندازه بگیریم.)

-وقتی که واحدهای اندازه گیری را تغییر می دهیم ،چه عاملی ثابت باقی می ماند؟

(صرف نظر از واحد اندازه گیری،ابعاد مستطیل تغییری نمی کند. همان طور که نسبت موجود بین طول و عرض آن نیز، تغییر نکرد.)

- زوج مرتب‌ها با چه فرمول جبری ای به هم مرتبط اند؟ یک معادله بنویسید که نشان دهد چه رابطه ای بین دو اندازه‌ی این مستطیل برقرار است. آیا می توان این فرمول را به این صورت نوشت؟

(فرمول جبری برای این مستطیلL = 1.5W است،یعنی طول 1.5 برابر عرض است. یا به زبان دیگر:

 اگر طول مستطیل برابر با 13 دگمه باشد، عرض مستطیل را یک بار با استفاده از خطی که روی نمودار رسم کرده اید و بار دیگر، با استفاده از فرمول جبری‌ای که به دست آوردید، مشخص کنید.

(فرمول به ما می گوید که عرض مستطیل باید در حدود  8.7 1.5÷ 13 دگمه باشد. خط روی نمودار نیز، باید نتیجه ی مشابهی داشته باشد.)

ارزشیابی

در یک بحث کلاسی از دانش آموزان بخواهید تا توضیح دهند که الگوهای خود راچگونه کشف کرده اند و آن‌ها را برای پاسخ های مناسب تشویق و تأیید كنید.

از دانش آموزان بخواهید تا درچند سطر بگویند كه کدام واحد اندازه گیری را برای این فعالیت مناسب می دانند. (واحدی که در کلاس درباره اش بحث نشده است.) و چرا ؟  آ‌ن‌ها با استفاده از این واحد اندازه گیری، اندازه‌ی طول و عرض مستطیل را چه عددی پیش بینی خواهند كرد؟

معلم می تواند نمودار مشابه دیگری (شبیه به آن‌چه دانش آموزان ترسیم كردند) آماده کند. البته شیب این نمودار باید متفاوت و نسبت موجود بین اندازه های آن نیز عدد دیگری باشد. سپس، از دانش آموزان بخواهید که از نتایجی که از این نمودار استخراج می کنند،خلاصه ای بنویسند.

گسترش

- شما می توانید مستطیل های دیگری را آماده کنید و از دانش آموزان بخواهید تا بررسی کنند که آیا نسبت بین طول و عرض برای همه ی مستطیل ها یکسان است؟و چون چنین نیست، دانش آموزان در خواهند یافت که مستطیل هایی با نسبت طول و عرض یکسان، "شکل" مشابهی دارند که درك این ویژگی به دریافت مفهوم "تشابه" منتهی می شود.

نظرات معلم

- مشکلاتی که دانش آموزان به هنگام استفاده از واحدهای اندازه گیری مختلف با آ‌‌ن‌ها مواجه شدند، چه بود؟

- آیا بهتر است که پیش از شروع درس برخی واژه های خاص مرور شوند؟

- آیا موضوع های بهتری برای درس اندازه گیری وجود دارند؟ کدام ها نتیجه بخش هستند؟ اگر بخواهید دوباره این موضوع را تدریس کنید،از کدام ها دیگر استفاده نخواهید کرد؟

- آیا دانش آموزان در تمام زمان تدریس بر موضوع متمرکز و فعال بودند؟ در غیر این صورت، چه پیشنهاد هایی برای بهبود تدریس  این مطلب دارید؟

- در این درس هر دو دانش آموز روی یک مستطیل یکسان کار می کنند. اگر به هر گروه دو نفره، مستطیل متفاوتی بدهیم، چه مزایا و معایبی خواهد داشت؟

-چگونه مطمئن شدید که دانش آموزان درس را یاد گرفته اند؟

- آن‌ها چگونه تسلط خود را بر موضوعات و مفاهیم درس نشان دادند؟

- آیا دانش آموزان در این درس، راهنمایی های زیادی دریافت کردند؟ یا به راهنمایی بیشتری نیاز داشتند؟

- آیا شما در ضمن تدریس، ایجاد تغییرات و تطبیق هایی را لازم دانستید؟

- آیا وسایلی که دانش آموزان به کار بردند، بر رفتارهای کلاسی یا مدیریت کلاس اثر داشت؟

مترجم: نیوشا حکمی