ارشمیدس می‌دانست که هر جسم چگالی خاص خود را دارد. پس اگر زرگر مقداری از طلا را با نقره جایگزین کرده باشد، حجم تاج از حجم طلای اولیه، که به زرگر تحویل داده شده بود، کم تر است. چون چگالی نقره از چگالی طلا کم تر است و در نتیجه اگر دو وزنه ی یکسان از طلا و نقره داشته باشیم، حجم نقره بیش تر خواهد بود. مشکلی که بر سر راه وجود داشت این بود که اندازه گیری حجم تاج غیرممکن بود. ارشمیدس فقط راه محاسبه ی حجم شکل های منظم ( مانند مکعب، کره و .... ) را می‌دانست. پادشاه هم دستور داده بود که تاج را تخریب نکنند. روزی ارشمیدس به حمام رفت.

او متوجه شد که وقتی وارد آب می‌شود، مقداری از آب بیرون می‌ریزد. هر چه بیش تر در آب فرو می‌رفت، آب بیش تری بیرون می‌ریخت. او راه حل مسئله را پیدا کرد. با شتاب از حمام خارج شد و فریاد زد: " یافتم! یافتم! "

او تاج را در ظرفی پر از آب انداخت. سپس هم وزن آن طلا برداشت. تاج و طلا را در ظرف انداخت و آبی را که از دو ظرف بیرون ریخته بود با هم مقایسه کرد. آبی که از ظرف اول بیرون ریخته بود، بیش تر بود. پس معلوم شد که شایعات درست است و پادشاه زرگر را به سختی مجازات کرد.