توابع نمایی و لگاریتمی

اگر در ضابطه ی یك تابع ، متغیر در توان باشد به آن تابع، تابع نمایی می گویند .البته پایه نیز باید عدد ثابت مثبت و مخالف یک باشد....

زمان تقریبی مطالعه :

تاریخ : سه شنبه 1395/10/14

تابع نمایی و لگاریتمی

اگر در ضابطه ی یك تابع ، متغیر در توان باشد به آن تابع، تابع نمایی می گویند. البته پایه نیز باید عدد ثابت مثبت و مخالف یک باشد.

موضوع

توابع نمایی و لگاریتمی و ارتباط این دو تابع با یکدیگر

اهداف کلی

1-آشنایی با مفهوم تابع نمایی و ویژگی های این تابع مثل دامنه و برد آن.
2-آشنایی با رسم توابع نمایی در صورت تغییر عدد پایه
3 -آشنایی با تابع لگاریتم و ارتباط آن با تابع نمایی
4- بیان دامنه و برد تابع نمایی

اهداف پیش بینی شده

پیش بینی می شود دانش آموزان در پایان این جلسه آموزشی به اهداف زیر دست یابند:
1- با توابع نمایی و رسم آنها به خوبی آشنا شوند.
2 - مفهوم معکوس پذیر بودن تابع نمایی را درک کرده و تعریف تابع لگاریتم را بدانن.
3 - بتوانند انواع تابع لگاریتمی را رسم کرده (به کمک انتقال نیز می توان رسم کرد) و دامنه و برد را تشخیص دهند.
4 - قواعد لگاریتم را به خوبی بلد باشند.

نکات آموزشی و تدریس

در تدریس و آموزش این مبحث دبیران محترم به دانش آموزان تاکید بفرمایند که حفظ و یادگیری قواعد لگاریتم برای حل مسایل لگاریتمی بسیار اهمیت دارد. ضمننا در حل معادلات لگاریتمی علاوه بر قواعدجمع و تفریق لگاریتم ها، دو قاعده زیر بسیار پر کاربرد می باشد.

ارائه درس

فرم کلی تابع نمایی: فرم کلی تابع نمایی به صورت y=a^x می باشد. با شرط. a>0 و a≠1.
نمودار تابع نمایی به دو صورت زیر می باشد:

نکات
1) در توابع نمایی ، متغیر در توان است و فرم کلی آنها برابر y=ab^cx+ k می باشد.
2) دامنه توابع نمایی مجموعه ی اعداد حقیقی و برد آن مجموعه ی اعداد مثبت یعنی (0,+∞) بوده و تابعی یك به یك است . پس معكوس پذیر است.
3) تابع y=a^x باشرایط تعریف شده همواره مثبت است و نمودار آن بالای محور x هاست.
4) نمودار a^x همواره از نقطه (0,1) می گذرد.
5) اگر a>1 نمودار تابع صعودی و اگر 0<a<1 نمودار تابع نزولی می باشد .
6) تابع y=a^x محور x ها را قطع نمی کند ولی در بی نهایت خیلی به آن نزدیک می شود .به خط y=0 مجانب افقی این تابع می گویند.
پر کاربرد ترین تابع نمایی در دنیای واقعی، e^x می باشد .به e عدد نپر می گویند و مقدار تقریبی آن 2/718 می یاشد.
7) در تابع نمایی y=a^x با توجه به مقدار پایه(a) نمودار تابع به طور متفاوت رسم می شود:

اگر a>1 نمودار تابع در راستای افقی فشرده تر و به محور y ها نزدیک تر می شود.

برای 1>0 <a هرچه a بزرگتر باشد نمودار در راستای افقی کشیده تر و از محورy ها دورتر می شود.

مثال: کدامیک از توابع زیر رفتار تابع نمایی را دارند؟

پاسخ:
در بین توابع الف ، ب و ج فقط تابع( الف ) نمایی می باشد زیرا متغیر در توان است . در بین نمودار ها نیز تابع (و) رفتار نمایی دارد.

تاریخچه لگاریتم

با توجه به محاسبه های طولانی و ملال آوری كه دانشمندان قرن های شانزدهم و هفدهم میلادی با آن سر و كار داشتند،لگاریتم بوجود آمد. این محاسبه ها وقت و نیروی زیادی را از دانشمندان تلف می كرد و همیشه دانشمندان در ذهن داشتند كه چطور می شود بدون انجام چنین محاسبات پیچیده و دشواری و آن هم در كمترین زمان ممكن به جواب مطلوب دست یابند.هرچند که کشف لگاریتم همزمان توسط دونفر جان نپر و دیگری بورگی انجام شد . اما اصطلاح لگاریتم نشات گرفته از فعالیت های نپر است.

تعریف لگاریتم

در بخش نکات تابع نمایی Y=a^x گفتیم دامنه توابع نمایی مجموعه ی اعداد حقیقی و برد آن مجموعه ی اعداد مثبت بوده و تابعی یك به یك است . پس معكوس پذیر است كه معكوس آن را می توان با یافتن قرینه نقاط روی نمودار تابع نمایی نسبت به خط x= y یافت كه این تابع معكوس را تابع لگاریتمی می نامیم و با نماد x=log_a y نشان می دهند.

به بیان دیگر لگاریتم یك تابع در پایه ی a ) aعددی مثبت و مخالف یک است) برابر با توانی از پایه است كه آن عدد را می دهد، یعنی اگر b ^y=x باشد، میتوان نتیجه گرفت y=log _b x . مانند شکل زیر

در شکل زیر تابع نمایی Y=ax با a>1 را می بینیم . نمودار سمت راست نمودار معکوس این تابع یا همان لگاریتم را نشان می دهد.

نکات

1) دامنه توابع لگاریتمی به شکل y=log _ax برابر برد تابع نمایی y=a^x و برد تابع لگاریتمی برابر دامنه تابع نمایی است زیرا این دو تابع معکوس هم هستند . پس دامنه تابع لگاریتمی مجموعه ی اعداد مثبت و برد آن مجموعه ی اعداد حقیقی است.
2)نمودار y=log_a x از نقطه (0,1) می گذرد.
3) اگر a=e باشد ، لگاریتم را با نماد ln x نمایش داده و به آن لگاریتم طبیعی می گویند.
4) معمولا در لگاریتم با مبنای 10، مبنا نوشته نمی شود.
5)تابع لگاریتم مانند تابع نمایی به دو صورت زیر می باشد.