توابع صعودی و نزولی

اگر یک تابع در یک بازه ای مثل [a,b] با افزایش مقدار x مقدار y نیز افزایش یابد در این صورت تابع را اکیدا صعودی می نامیم و بالعکس اگر تابع با افزایش مقدار x مقدار y کاهش یابد، تابع را اکیدا نزولی می نامیم.

موضوع

تشخیص صعودی یا نزولی بودن توابع

اهداف کلی

1- بیان تعریف صعودی یا نزولی بودن توابع
2-توضیح یکنوایی یا غیر یکنوا بودن توابع
2-روش های تشخیص یکنوا بودن تابع به کمک تعریف یا به کمک مشتق
3- آشنایی با جدول تعیین علامت مشتق تابع

اهداف پیش بینی شده

پیش بینی می شود دانش آموزان در پایان جلسه به اهداف زیر دست یابند:
1- بتوانند مفهوم صعودی یا نزولی بودن تابع را درک کنند .
2- از روی نمودار، به راحتی نوع یکنوایی یا غیر یکنوایی تابع را تشخیص دهند.
3- بتوانند به کمک تعریف یا مشتق نوع یکنوایی تابع را بیابند.

نکات آموزشی و تدریس

همکاران محترم سعی کنند ابتدا مفهوم صعودی و نزولی بودن را با یک دنباله مثال بزنند مثل2,4,6,8,..... و -1,-3,-5,.... سپس نمودار چند تابع صعودی و نزولی را بکشند و بیان کنند که با بیشتر شدن xها یا رو به جلو رفتن روی محور xها ممکن است مقادیر تابع(یا عرض نقاط ) کمتر یا بیشتر شود.این مفهوم، صعودی یا نزولی بودن توابع را بیان می کند. در ضمن در مورد خواص جدول تعیین علامت مشتق بیشتر برای دانش آموزان توضیح دهید.

ارائه درس

تعریف ریاضی تابع صعودی و نزولی
تابع صعودی: در تابع صعودی، اگر به ازای هر x₁ , x₂ در بازه [a,b] از دامنه تابع،که x₁2 باشد در آن صورت

به عبارت دیگر در تابع صعودی هر چقدر از محور x ها رو به جلو می رویم، مقدار تابع بیشتر می شود.

نکته : در حالتیکه برای x₁< x₂ در دامنه، (f(x₁) < f(x₂ باشد تابع را اکیدا صعودی می گوییم. در تابع اکیدا صعودی در بازه [a,b] ،هر خط افقی شامل حداکثر یک نقطه از نمودار می باشد.(به عبارت دیگر در تابع صعودی اکید، ممکن نیست در مواردی درجا بزنیم بلکه دائما رو به افزایش هستیم.)
در شکل زیر یک تابع اکیدا صعودی داریم:

تابع نزولی: در تابع نزولی، اگر به ازای هر x₁ , x₂ در بازه [a,b] از دامنه تابع،که x₁2 باشد در آن صورت:
به عبارت دیگر در تابع صعودی هر چقدر از محور x ها رو به جلو می رویم، مقدار تابع کمتر می شود.

نکته : در حالتیکه برای x1< x2 در دامنه، (f(x₁) > f(x₂ باشد تابع را اکیدا نزولی می گوییم.
در شکل زیر یک تابع اکیدا نزولی نمایش داده شده است.

مثال: با استفاده از تعریف تابع صعودی و نزولی ،نوع توابع زیر را تشخیص دهید:

پس تابع فوق صعودی است.

پس تابع فوق نزولی است.

توابع یکنوا و غیر یکنوا

هر تابع صعودی یا نزولی را یکنوا و هر تابع اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی را اکیداً یکنوا گویند.
اگر تابعی اکیدا یکنوا باشد، حتما یک به یک است (بنابر این وارون پذیر است)ولی عکس آن لزوما برقرار نیست.
اگر تابع f اکیدا صعودی یا نزولی باشد، وارون آن تابع موجود است و تابع وارون نیز اکیدا صعودی یا نزولی است.
توابع ثابت(با شکل هندسی افقی) هم صعودی هستند و هم نزولی.(اما نه اکید)
اگر توابع f و g روی بازه ای اکیدا یکنوا باشند،تابع f+gنیز روی همان بازه روی همان بازه اكیدا یكنواست، اما در باره بقیه توابع f-gو... نمی توان نظری داد.

کاربرد مشتق در تشخیص توابع صعودی یا نزولی

اگر y=f(x) در یك بازه مشتق پذیر باشد آنگاه برای مقادیری از x كه مشتق مثبت باشد تابع را اكیدا صعودی و در حالتی كه مشتق منفی باشد تابع را اكیدا نزولی می گوییم . به عبارت دیگر اگر تابع f در بازه [a,b] پیوسته و در (a,b) مشتق پذیر باشد،آنگاه داریم: