کاربردهای مشتق
کاربرد های مشتق
مشتق تابع y یا f(x) را با نماد های معروف f’(x)، y’ ،dy/dx نشان می دهند.
موضوع
تعریف مشتق و کاربرد های آناهداف کلی
1- آشنایی با تعریف ریاضی و هندسی مشتق
2-بیان رابطه بین شیب خط و مشتق تابع
3- نوشتن معادله خط مماس و قائم در یک نقطه از منحنی تابع
4- تشخیص نقاط اکسترمم توابع به کمک مشتق
5- تشخیص توابع صعودی و نزولی
6- نقطه عطف
اهداف پیش بینی شده
پیش بینی می شود دانش آموزان در پایان جلسه به اهداف زیر دست یابند:1- بتوانند مفهوم ریاضی مشتق را به کمک تعبیر هندسی درک کنند.
2- معادله خط مماس و قائم را بدست آورند.
3- با حفظ کردن فرمول های مشتق، بتوانند مشته هر تابعی را به راحتی بدست آورند.
4- بتوانن نقاط اکسترمم و عطف توابع را بدست آورند.
نکات آموزشی و تدریس
مبحث مشتق یکی از مهمترین مباحث ریاضیات دوره دوم دبیرستان می باشد و به طور پیوسته با مباحث دیگر مثل انتگرال ارتباط دارد .بنابر این دبیران محترم در ارائه مفهومی این مبحث اهتمام لازم را داشته باشند. و حتما از نمودار و روش های هندسی استفاده کنند. ضمننا بعد از بیان فرمول های مشتق به اندازه کافی نمونه سوال محاسبه مشتق انواع توابع، با دانش آموزان کار شود.
ارائه درس
تعریف مشتق: می دانیم شیب خط (d) گذرنده از دو نقطه B=(x0,f(x0)) و A= (x ,f(x)) روی نمودار برابر است با:
شرط مشتق پذیری تابع
1) تابع در x=a پیوسته باشد .
2) حد *** موجود و متناهی باشد.یعنی حد چپ و حد راست باهم برابر باشند.
مشتق های یک طرفه
مشتق راست و چپ را با حدود زیر نشان می دهند
معادله خط مماس و قائم روی نمودار تابع
یادآوری: ما می دانیم که معادله یک خط با داشتن یک نقطه و شیب آن به صورت زیر بدست می آید .
حالا اگر ما معادله یک منحنی را داشته باشیم برای بدست آوردن معادله خط مماس در یک نقطه مثلc 1مراحل زیر را طی می کنیم:
1) برای محاسبه شیب این خط مماس باید ابتدا از معادله منحنی مشتق بگیریم .و در آخر مقدار f '(c 1) برابر شیب آن منحنی است .
2) با داشتن مختصات(c 1,f(c 1)) می توان معادله این خط را بدست آورد.
مثال: معادله خط مماس بر تابع روبرو را در نقطه خواسته شده بیابید.
پاسخ:
معادله خط قائم
برای محاسبه شیب قائم('m) دقیقا مانند مراحل شیب مماس پیش می رویم اما در آخرm'=-1/m .
مثال: معادله خط قائم تابع مثال قبل را در نقطه x=1 بیابید:
فرمول های مشتق
برای انواع توابع محاسبه مشتق به روش حدی، کاری زمان بر است بنابر این با در دست داشتن فرمول های زیر، محاسبه مشتق راحت تر خواهد شد.
مثال: مشتق تابع زیر را بدست آورید.
کاربرد های دیگر مشتق
1)یکی از کاربرد های مشتق،تشخیص نقاط اکسترمم نسبی و نقاط بحرانی می باشد که در این مقاله به تفصیل توضیح داده ایم.
2) از دیگر کاربردهای مشتق، تشخیص صعودی یا نزولی بودن تابع به کمک مشتق است که در این مقاله می توانید مشاهده کنید.
3) قاعده هوپیتال
4)نقطه عطف
جهت تقعر
می گوییم جهت تقعر منحنی رو به پایین است، هرگاه خطوط مماس رسم شده در آن بازه Iبالای منحنی قرار بگیرند. و می گوییم جهت تقعر رو به پایین است هرگاه مماس رسم شده، زیر منحنی قرار گیرند.
در صورت وجود مشتق دوم ، جهت تفعر به صورت زیر مشخص می شود.
اگر در بازه I1 داشته باشیم f"(x)>0 در آن صورت نمودار در این بازه تقعر رو به بالا دارد.
اگر در بازه I2 داشته باشیم f"(x)<0 در آن صورت نمودار در این بازه تقعر رو به پایین دارد.
نقطه عطف : نقطه ای است که باید در دامنه باشد و جهت تقعر در آن عوض می‌شود. به عبارت دیگر علامت مشتق دوم تابع، قبل و بعد از نقطهٔ عطفش بر روی تابع تغییر می‌کند. ازمثبت به منفی یا بالعکس. شرط دیگر نقطه عطف این است که تابع در آن دارای مماس می باشد.
لازم به ذکر است که لزومی ندارد مشتق دوم تابع در نقطه عطف موجود باشد، اما اگر در نقطه عطف مشتق دوم وجود داشته باشد، مقدار آن صفر است.بنابر این در توابع پیوسته و مشتق پذیر، برای محاسبه نقطه عطف، کافی ست ریشه مشتق دوم را بیابیم.
همان طور که مشاهده می کنید در ریشه های مشتق دوم، یعنی 2/3√+و 2/3√- نقطه عطف داریم.
تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان