پیوستگی توابع و قضایای آن

تابع پیوسته f در نقطه a تابعی است که در نقطه a تعریف شده، و هم چنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f(a)  باشد.
در تعریف هندسی می گوییم، تابعی پیوسته‌ است که بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.

تعریف ریاضی پیوستگی

تابع f در نقطه x=a پیوسته گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:
الف) (f(a موجود و متناهی باشد یعنی تابع در نقطه a تعریف شده باشد.
ب) حد تابع در a موجود باشد یعنی حد راست و چپ در این نقطه موجود و برابر باشد.
ج)حد تابع برابر مقدار تابع باشد.
بطور خلاصه تابع f در نقطه x=a پیوسته است اگر:
 

مثال: در مثال زیر پیوستگی تابع بررسی شده است :
 

در حل این تابع همان طور که مشاهده می کنید حد راست و حد چپ برابر هستند و با مقدار تابع تیز برابرند بنابر این پیوستگی در نقطه x=3 برقرار است. 

پیوستگی راست و چپ

 1) اگر شرط زیر برقرار باشد گوییم تابع f در نقطه a پیوستگی راست دارد. 

مانند شکل زیر :
 

در شکل فوق حد راست تابع در نقطه b برابر است با مقدار تابع در این نقطه .اما حد چپ برابر آنها نیست پس در کل پیوستگی موجود نیست اما پیوستگی راست داریم .
2) اگر شرط زیر برقرار باشد گوییم تابع f در a پیوستگی چپ دارد.
 

ناپیوستگی

 اگر تابع در نقطه ای پیوسته نباشد گوییم در آن نقطه ناپیوسته است.
هر تابع به سه دلیل ممکن است پیوسته نباشد:
1) حد تابع در آن نقطه موجود نباشد.
2) تابع در آن نقطه موجود نباشد.
 3) حد موجود با مقدار تابع موجود، برابر نباشد. 

انواع ناپیوستگی

1) ناپیوستگی رفع شدنی: اگر در میان شرایط ناپیوستگی، حد تابع موجود باشد ولی با مقدار تابع در نقطه x=a  برابر نباشد و یا اصلا تابع در x=a تعریف نشده باشد می گوییم دارای ناپیوستگی رفع شدنی است.
 2) ناپیوستگی رفع نشدنی یا اساسی: اگر تابع در نقطه x=a فاقد حد باشد ناپیوستگی اساسی یا رفع نشدنی است. 

پیوستگی روی بازه 

1) تابع f را روی بازه (a,b) پیوسته گوییم هرگاه برای هر a 
2) تابع f را روی بازه[a,b] پیوسته گوییم هرگاه تابع در(a,b) پیوسته باشد و نیز در a پیوستگی راست و در b پیوستگی چپ داشته باشد. 
3) تابع f را روی بازه [a,b) پیوسته گوییم هرگاه تابع در (a,b) پیوسته باشد و در b پیوستگی چپ داشته باشد. 
4) تابع f را روی بازه (a,b] پیوسته گوییم هرگاه تابع در (a,b) پیوسته باشد و نیز در a پیوستگی راست داشته باشد. 

قضایای مهم مربوط به پیوستگی

قضیه مقدار میانی

فرض کنید تابع f در بازه [a,b] پیوسته باشد و نیزf(a)=A و f(b)=B .هم چنین فرض کنید m عددی بین A,B باشد. در این صورت حتما c  ای در [a,b] موجود است که f(c)=m .

قضیه بولتزانو
فرض کنید تابع f در بازه [a,b] پیوسته باشد و f(a).f(b)<0  یعنی مختلف العلامه هستند. در این صورت c ای در (a,b) موجود است که f(c)=0.
 

تهیه: پروین نظری - منبع:سایت nenomatica-مرکز یادگیری سایت تبیان