هندسه های نا اقلیدسی

 زینب شاه مرادی - مرکز یادگیری تبیان
الف) مقدمه
«هندسه بهترین و ساده ترین منطق ها و مناسب ترین طریق پایدار ساختن اندیشه هاست.»
«دکتر فضل الله رضا»
علم هندسه مانند همه علوم دیگر از مشاهده و تجربه ناشی شده و ارتباط جدی با احتیاجات اقتصادی بشر دارد. کلمه «هندسه» یک کلمه یونانی و به معنی مساحی (اندازه زمین) است. هندسه و مفاهیم آن از طرفی زاییده تجربه و احتیاج بشرند و از طرف دیگر درستی آن باز هم در صحنه علوم علمی مورد آزمایش و استفاده قرار می گیرد.
باور مردم از زمان یونانیان باستان تا قرن نوزدهم این بود که هندسه اقلیدسی، حقیقت محض و بی کاستی است که فضای مادی را بطور کامل توجیه می کند. حتی کانت اعتقاد داشت که هندسه اقلیدسی، ذاتی ساختار ذهن انسان است…اما هندسه دان های قرن نوزدهم نشان دادند که اولا هندسه اقلیدسی تنها هندسه ممکن نیست، ثانیا این که هندسه فضای مادی اقلیدسی یا نا اقلیدسی است، امری تجربی است که خارج از حیطه ریاضیات محض می باشد و ثالثا هندسه اقلیدسی سازگارتر است، اگر و فقط اگر هندسه نااقلیدسی سازگار باشد یعنی این دو هندسه به بیانی نادقیق«به یک نسبت درستند.»

ب) تاریخچه ی پیدایش هندسه نا اقلیدسی
در حدود سیصد سال قبل از میلاد، اقلیدس کتاب «مقدمات» خود را به رشته تحریر در آورد، او بر اساس پنچ اصل موضوع و تعدادی اصطلاح اولیه تمام هندسه شناخته شده تا زمان خود را بصورت دستگاهمند و به روش اصل موضوعی در کتابش ذکر کرد. یکی از اصل های اقلیدس که بیشتر از همه توجه ریاضیدانان را بخود جلب کرد، اصل پنجم این کتاب بود. اقلیدس این اصل را که به «اصل توازی» معروف شده است این طور بیان می دارد:
«اگر خطی دو خط را چنان قطع کند که مجموع زوایای داخلی کتر از دو قائمه باشد، آن گاه دو خط همدیگر را در همان طرف قطع می کنند.»

که بعدها معادل آن یعنی:«از هر نقطه خارج یک خط راست، تنها یک خط راست موازی با آن خط و در همان صفحه مفروض میتوان رسم کرد.» تنظیم شد. تلاش برای اثبات این اصل براساس چهار اصل دیگربه بیش از بیست قرن انجامید و در این مدت بنظر می رسید که هندسه با بن بست مواجه شده است. در واقع از همان زمان که کتاب مقدمات اقلیدس نوشته شد، بحث و تفسیر درباره آن آغاز گشت، این بحث ها از دو جهت بود:
۱) برطرف کردن ابهام هایی که در«تعریف ها»، «اصل ها» و «قضیه ها» وجود داشت.
۲) بحث درباره اصل توازی.

اما با وجود اینکه دانشمندان برای اثبات دقیق این اصل با عدم موفقیت های فراوان مواجه شده بودند، باز هم دست از کوشش بر نداشتند دلیل آن این بود که علمای هندسه اعتقاد داشتند که بدون روشن کردن موقعیت این اصل نمی توان ساختمان هندسه را بطور دقیق و کامل انجام داد، این تلاش ها سرانجام به کشف هندسه های نا اقلیدسی منجر شد.
می گویند اولین کسی که به استقلال اصل پنجم یا به گفته کایزر «مشهورترین تک سخن در تاریخ علم» شک کرد، خود اقلیدس بود. بعد از او بطلمیوس (حدود ۱۵۰ سال پیش از میلاد) برای اثبات آن برخاست. پرودوکلوس نیز در قرن پنجم شرحی بر کتاب اصول نوشت و ضمن نشان دادن اشتباه برهان های قبلی، تلاش کرد تا اثباتی در این زمینه ارائه کند.
بعد از آن شاهد اثبات های دیگری بودیم که هیچ یک به نتیجه مطلوب نرسیدند. از جمله دانشمندان ایرانی که برای اثبات این اصل تلاش کرد میتوان به خیام، خواجه نصیر الدین طوسی، نیریزی و ابن هیثم اشاره نمود.
خیام در مقاله اول کتاب خود با نام«شرح ما اشکل من مصادرات کتاب اقلیدس» به مساله اصل توازی پرداخت. او میگوید:«اشتباه دانشمندان سابق در این است که بنیان های فلسفی را در نظر نمی گیرند…». او که سخت طرفدار عقاید کانت بود منظور از عقاید فلسفی را همان عقاید کانت می داند و بدان اشاره می کند.

دانشمندان اروپایی نیز برای اثبات این اصل تلاش های در خور توجهی کردند کسانی همانند: جان والیس و جیرولامو ساکری. ساکری در ۱۶۹۷ کتابی با عنوان «اقلیدس مبرا از هر نقص» را ارائه کرد که در آن برای اثبات اصل پنجم که بیشتر به یک قضیه شبیه بود تا اصل، از روش برهان خلف استفاده کرد و سعی کرد تا به تناقض برسد، اما در واقع او هرگز به تناقضی نرسید. شاید اگر ساکری می دانست که به این دلیل ساده به تناقض نمی سد که اصلا تناقضی در کار نیست، کشف هندسه های اقلیدسی نزدیک به یک قرن زودتر صورت می پذیرفت.
اندکی بعد و در قرن ۱۸ و در آلمان لامبرت مانند ساکری با استفاده از برهان خلف سعی کرد اصل توازی را اثبات کند اما او نیز به تناقضی نرسید و در رده اثبات کننده گان ناکام این اصل قرار گرفت. چنین می نماید که وی دریافته بود که دلایل علیه بیشتر پی آمد سنت ها و احساسات بودند. او معتقد بود این دلایل از نوعی بودند که بایستی به یک باره از عرصه هندسه و نیز از میدان هر علمی بیرون رانده شود.
پژوهش های او درباره نظریه توازی بوسیله رساله ای از آدرین لژاندر طی سال ها کار روی اصل توازی، به مجموعه ای از اثبات های اشتباه دست یافت که از آن ها در کلاس هندسه اش استفاده می کرد اما دو گزاره ی مهم که لژاندر ثابت کرد پایه گذار «هندسه مطلق» (یعنی هندسه مبتنی بر چهار اصل اول) بود.

اصل توازی آن چنان ذهن او را به خود معطوف داشته بود که طی ۲۹ سال چند بار اصول هندسه اش را تجدید چاپ کرد و هر بار یکی از کوشش های تازه اش در مورد اصل توازی را در آن ارج نمود.
گئوس اولین شخصی بود که بطور کامل موفق به درک هندسه نااقلیدسی شد. یعنی همان چیزی که ارستو قرن ها قبل بوجود آمدن آن را پیش بینی کرده بود، ارستو مینویسد:« ذات مثلث نهفته در مجموع زاویه های آن است این مجموع میتواند برابر با دو زاویه قائمه، بزرگ تر و یا کوچک تر از آن باشد. و این در واقع، به زبان امروزی، مرزی است که سه گونه هندسه یعنی «هندسه اقلیدسی»، «هندسه لباچفسکی» و «هندسه ریمانی» را از هم جدا می کند.
گئوس در نامه ای به یکی از دوستانش به نام فوکوش بویویی نوشت:«راه من، تو و امثال ما برای اثبات اصل توازی راهی بی پایان است و موفقیتی در این کار نصیبمان نخواهد شد، حتی مطالعات من باعث شک در مورد حقیقت خود هندسه شده است.»
در این زمان لباچفسکی شش ساله بود و فیلسوفانی مانند کانت اجتماع را تحت الشعاع خود قرار داده بودند. از طرفی گئوس نیز به دلیل موقعیت اجتماعی خود از رو دررویی با صاحب نظران اجتناب میکرد، ظاهرا او می ترسید که مطالبش را نفهمند و انتقادش کنند. خود او میگوید:«از آن می ترسم که هرکس که نشان داده است فکر ریاضی باوری دارد، آن چه را که من می گویم بد بفهمد بلکه آن را مانند یک القای خصوصی در نظر می گیریم که به هیچ روی به اطلاع مردم نرسد و برای عموم منتشر نشود.» عده ای نیز علت چاپ نکردن آثارش را اولا عقاید ماتریالیستی اش و دیگری کج فهمی های روسیه تزاری می دانند. به هر حال تصور گئوس در مورد منتشر ساختن نتایج کارش سبب شد که سهمی از افتخاری که تمامش ممکن بود از آن او باشد نصیب دیگران شود.
گئوس هندسه جدیدی را که بدان پی برده بود هندسه نااقلیدسی نامید و در نامه ای به دوست ریاضی دانش تاور بنوس نوشت:«همه تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا ناسازگاری از این هندسه نااقلیدسی به شگفت انجامیده است. من گاهی به شوخی آرزو می کنم که ای کاش هندسه اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.»
یانوش بویویی پسر فوکوش نیز برای اثبات اصل پنجم تلاش می کرد و پدرش همواره به او میگفت:«تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازی ها تلاش کنی، من پیچ و خم های این راه را از اول تا به آخر میشناسم. این شب بی پایان همه ی روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فروبرده است، التماس می کنم دانش موازی ها را رها کنی.» اما یانوش جوان از اخطار پدرش نهراسید چرا که اندیشه های دیگری را در این رابطه در ذهنش میپروراند. سال ها بعد در نامه ای به پدرش نوشت: « من چیزهای بسیار شگفت انگیزی کشف کرده ام که مرا متحیر ساخته است….من از هیچ دنیای عجیبی خلق کرده ام.» پدر یانوش او را به تسریع در اعلام کشفی که کرده بود وادار میکرد و به او می گفت:« به نظر من عاقلانه است که اگر تو به حل مساله ایی دست یافته ای در انتشار آن به دو دلیل شتاب کنی. نخست آنکه اندیشه هایت ممکن است به آسانی به دیگری القا شود و به انتشار آن دست بزند و دوم به دلیل این که بنظر می رسد که بسیاری چیزها در یک زمان، در چند جا با هم کشف شده اند.» عقیده پدر یانوش درست بود زیرا همین اتفاق نیز افتاد که تقریبا در یک زمان و مستقل از یکدیگر هندسه هایی که از جنبه منطقی سازگار بودند و در آن ها اصل پنجم انکار شده بود، بوسیله گائوس در آلمان، بویایی در مجارستان و لباچفسکی در روسیه کشف شد. بعد از اینکه پدر یانوش با خوشحالی برای گائوس نتایج کار پسرش را نوشت گائوس جواب نامه ی او را چنین آغاز کرد:«اگر با این عبارت آغاز کنم که یارای تمجید از چنین کاری را ندارم البته برای یک لحظه دچار شگفتی خواهید شد ولی کاری به جز این نمی توانم بکنم، تمجید از آن به منزله تمجید از خودم است.»
اما یانوش بویویی ۲۸ ساله نتیجه ی تحقیات خود را در همان سال ها در ضمیه ۲۶ صفحه ای کتاب تنتامن موسوم به Appendix چاپ کرد.
نیکلای لباچفسکی در همان زمان در دانشگاه غازان روسیه سخنرانی ایراد کرد، او معقد بود که اگر نتوانیم از سایر اصول هندسی اصل توازی را اثبات کنیم باید به فکر مجموعه اصول دیگری برای هندسه باشیم، اصولی که در دنیای واقعی حضور دارند که ضمن آن شالوده ی هندسه هذلولی را ارایه نمود ولی متن سخنرانی دزدیده شد. او در ۱۸۲۹ محتوی کامل هندسه هذلولی را در نشریه دانشگاهی ای که به زبان روسی بود، نوشت که یازده سال بعد به آلمانی ترجمه شد.
لباچفسکی بیان کرد که از هر نقطه خارج یک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه و به موازات آن خط رسم کرد. او هندسه اش را در آغاز «هندسه انگاری» و سپس «هندسه عام» نام گذارد ما نیز امروزه به هندسه او هندسه ی هذلولی می گوییم. هر چند پس از فرض این هندسه بنظر می رسید که وی در ادامه به تناقض های بسیاری خواهد رسید اما توانست براساس همین فرض و مفروضات قبلی اقلیدس به مجموعه جدید از اصول هندسی برسد که حاوی هیچ گونه تناقضی نباشد. او پایه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسیار زیادی به فیزیک و مکانیک غیر نیوتنی نمود.
لوباچفسکی علنا با تعلیمات و عقاید کانت درباره فضا به مثابه شهود ذهنی به مبارزه پرداخت. در واقع لباچفسکی با متزلزل ساختن «خلل پذیری» اصول اقلیدس ضربه سنگینی به فلسفهی کانت وارد ساخت. کانت معتقد بود که بررسی حقایق هندسه نتیجه تجربه انسان نیست بلکه اشکال ذاتی و غیر قابل تغییر شناخت انسانی هستند و برای این نظر خود از خلل پذیری اصول هندسه اقلیدسی بعنوان نقطه اتکای اساسی استفاده می کرد.
و بدین صورت بود که لباچفسکی و بویویی هر دو و بطور مستقل پایه گذار هندسه هذلولی شدند. هندسه ای که در آن نقیض اصل توازی را بجای اصل موضوع مفروض میگیریم. این امر هندسه ی حیرت انگیزی را منجر می شود که با هندسه ی اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گائوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند، ولی تفکر پی گیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آن نیست.
کشف هندسه نااقلیدسی درک هندسه دان ها را به کلی دگرگون کرد همین حقیقت که هندسه نااقلیدسی کامل و بدون تناقض است، اعتماد چند صد ساله را نسبت به کلمات «واضح است»، «به نظر می رسد» را از بین برد، کلماتی که تکیه کلام های هندسه دان های قدیم بود. تحلیل اصل اقلیدس که قرن ها طول کشیده بود استحکام نتایج هندسه مقدماتی را به کلی متزلزل کرد، این تحلیل روشن کرد که بین آن حقایق هندسه که گمان میرفت ارتباطی با یکدیگر ندارند، چه ارتباط عمیقی وجود دارد. و در نتیجه روابط فضایی در جهان مادی به نحوی نمایان شد.
به این ترتیب، دستگاه اصول و تعاریف اقلیدس بعنوان پایه ای برای ساختمان هندسه غیر کافی بود. در دنیای افکار و ایده آل های جدید، دیگر این تعاریف و اصول مطلقا ناقص بودند و نمی توانسنتد پیشرفت های علوم دقیقه(فیزیک، نجوم و…) را تامین نمایند.
برنهارد ریمان که رساله ی دکتریش را تحت راهنمایی گئوس به نگارش در آورد در یک سخنرانی در ۱۰ ژوئن ۱۸۵۴ مفهوم هندسه را در ریاضی کاملا تغییر داد. او هندسه را ساختاری متریک تلقی کرد، همچنین وی اساس هندسه ای بیضوی را که در آن خط موازی وجود ندارد را تدوین کرد. او توانست با تعریف خمیدگی و انحنای فضا تقسیم بندی ای را برای اوناع سه هندسه بیان کند، او فرض را بر این گرفت که از یک نقطه خارج یک خط اصلا نتوان خطی به موازات آن رسم کرد.
هندسه اقلیدسی فضایی را مفروض می گیرد که هیچ گونه خمیگی و انحنا ندارد، اما نظام های هندسی لباچفسکی و ریمانی این خمیدگی را مفروض می گیرند.(مانند سطح یک کره) همچنین در هندسه نااقلیدسی جمع زوایای مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نیست.(در هندسه اقلیدسی ۱۸۰ درجه در لباچفسکی کمتر و در ریمانی بیشتر از آن است.)
هندسه هذلولی Hyperbolic Geometry از کلمه ی یونانی هیپر بالئین به معنی افزایش یافتن است که در آن فاصله ی میان نیم خط ها در اصل توازی افزایش می یابد و هندسه بیضوی Eltipic Geometry از کلمه ی یونانی ایپیلن به معنی کوتاه شدن است که در آن فاصله رفته رفته کم می شود و سر انجام نیم خط ها رفته رفته کم می شود و سرانجام نیم خط ها یکدیگر را می برند.
بویویی و لباچفسکی سازگاری هندسه ای را که ارائه دادند را ثابت نکردند در واقع در ۱۶۶۸ بولترامی در مقاله ای الگوی دو بعدی در فضای سه بعدی اقلیدسی برای اثبات سازگاری هندسه هذلولی ارائه داد. بلترامی نشان داد که چگونه میتوان این هندسه را با محدودیت هایی بر روی یک سطح اقلیدسی با انحنای پایا نمایش داد و در نتیجه چگونه هر ناسازگاری که در هندسه بویایی و لباچفسکی کشف گردیده بر ناسازگاری متناظری از هندسه اقلیدسی کشانیده می شود. دانشمندان بعدی نیز پیشرفت هایی را در این زمینه بوجود آوردند، دانشمندانی نظیر: کیلی، کلاین، و کلیفرد.

کیلی در رساله  ششم درباره ی کوانتیکهای مهم خود نشان داد چگونه مفهوم فاصله می تواند بر اصل های توصیف محض بنا شود و کلاین در ۱۸۷۱، با ارایه ی تعریف مناسب از فاصله این اندیشه ها را بسط داد و از دیدگاه هندسه نااقلیدسی تعبیر کرد. او بود که پیشنهاد کرد که هندسه بویایی و لباچفسکی و هندسه ریمان و هندسه ی اقلیدس بترتیب هذلولی، بیضوی و سهوی نامیده شود، این اصطلاحات قبول عام یافتند.
کار اقلیدس بعدها توسط ریاضیدانان دقیق و تصحیح شد که یکی از بهترین آن ها کار هیلبرت بود که با ارائه ی ۸ اصل موضوع برای وقوع، ۴ اصل برای نسبیت، ۵ اصل برای قابلیت انطباق، اصل پیوستگی، اصل ارشمیدس و اصل توازی به نتقیح کار اقلیدس پرداخت.
شاید تا اینجا این سوال برای شما پیش آمده باشد که کدام یک از سه هندسه راستین است؟ یا به عبارتی دیگر کدام هندسه عملا فضای مادی ما را توصیف می کند؟ ما در جواب به این سوال به این سخن از کایزر قناعت می کنیم و مقاله خود را با آن به پایان می رسانیم: «سه هندسه از حیث استواری، سازگاری درونی، سازش پذیری داخلی، و مطابقت منطقی بین اجزای خود در یک سطحند، و این بالاترین سطحی است که آدمی بدان دست یافته است. هر سه آیین فرزندان خلف یک گوهرند: گوهر هندسه پردازی که افلاطون آن را خدایی دانسته است_ و هر سه جاویدانند. کاری که خدای هماهنگی فکری آن را الهام و تایید کرده است از میان نمی تواند رفت، و زنده جاویدان است.»


منبع: http://www.ihoosh.ir