چه خواهیم کرد؟ 2

در مقاله‌ی قبل صحبت از پارادکس (متناقض نما) راسل به میان آمد. صورت این پارادکس عبارت است از:

«مجموعه‌ی R را در نظر بگیرید به طوری که:

با توجه به این تعریف، مشخص می شود که R نه عضو خودش است و نه عضو خودش نیست.

در این مقاله سعی داریم تا به توضیح علت به‌ وجود آمدن این پارادکس بپردازیم. به طور خلاصه می‌توان گفت که علت به ‌وجود آمدن این پارادکس، برداشت غلط ما از مفهوم مجموعه است و در حقیقت ما R را یک مجموعه در نظر می‌گیریم؛ در حالی که از نظر ریاضی دانان امروزی R یک مجموعه نیست! و چیزی که مجموعه نباشد، در میان «مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند»،  قرار نمی گیرد!

اگر آدم صبوری هستید، دنبال کردن توضیحات (بیش‌تر تاریخی) زیر، خالی از لطف نخواهد بود.

در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم، ریاضی‌دانان در جهت توضیح مبانی ریاضیات، کوشش‌های گسترده‌ای انجام دادند. درحقیقت پس از بحث های متعدد و مهمی که در اواسط قرن 19 پیرامون «هندسه‌ی اقلیدسی» صورت گرفت، بسیاری از ریاضی‌دانان تصمیم گرفتند تا ساختاری مشابه آن‌چه در هندسه‌ی اقلیدسی وجود دارد، برای ریاضیات (و به طور خاص حساب) به وجود آورند. این ساختار، «ساختار اصل موضوعی» نامیده می‌شود.

اقلیدس در حدود300 سال پیش از میلاد مسیح (ع) مشهورترین اثر خود (و شاید مشهورترین کتاب تاریخ ریاضیات) را منتشر کرد. وی در این کتاب سعی کرد تا با استفاده از روش اصل موضوعی¹، ساختمان هندسه را بنا کند. در حقیقت وی با تعریف چند مفهوم اصلی هندسه، نظیر نقطه، خط و... و هم چنین پذیرش چند اصل اولیه (اصول موضوعه) در رابطه با این مفاهیم، سعی کرد تا سایر قضایای هندسی را فقط و فقط از همین اصول، نتیجه گیری کند. به عبارت دیگر در اثبات یک قضیه‌ی هندسی تنها می‌توان از گزاره‌ها و قضایایی استفاده کرد که یا خود یکی از اصول باشد و یا قضیه‌ای باشد که بتوان آن را با استفاده از اصول موضوعه به دست آورد.

در سال‌های پس از اقلیدس اثر وی موضوع بسیاری از بحث های جدی ریاضی‌دانان بود؛ چرا که به نظر می‌رسید وی در اثبات برخی از قضایای کتاب خود تلویحاً از گزاره‌ها و احکامی استفاده کرده است که نه درمیان اصول موضوعه مطرح شده و نه قابل برداشت از آن ها بودند، و یا این که برخی تعاریف وی از مفاهیم هندسی، کاملاً واضح نبودند (و نیز ایراداتی دیگر)؛ مجموعه‌ی این ایرادات و ابهامات منجر به بحث های جدی شد که اوج آن ها در نیمه‌ی دوم قرن 19 و اوایل قرن 20 شکل گرفت و سرانجام منجر به بازنویسی و اصلاح اساسی ساختار هندسه‌ی اقلیدسی (اصول موضوعه‌ی آن و نحوه‌ی تعریف مفاهیم اصلی) شد. اما در هر حال ساختار هندسه‌ی اقلیدسی یعنی «تنظیم چند اصل به عنوان اصول موضوعه و به دست آوردن همه‌ی قضایا تنها با استفاده از این اصول» آن‌چنان مجذوب کننده بود که ریاضی دانان تصمیم گرفتند تا چنین ساختاری را برای سایر شاخه های ریاضیات (و به طور خاص حساب)، به وجود آورند. در نتیجه تلاش های زیادی برای تنظیم برخی اصول و به دست آوردن تمامی قضایای حساب از آن ها، آغاز شد.

اولین نظریه ای که به منظور اصل موضوعی کردن ریاضیات مطرح شد، نظریه ی مجموعه ها بود. اقلیدس تلاش کرد تا:

1. برخی از مفاهیم اصلی هندسه، نظیر نقطه و خط را تعریف کند.
2. چند اصل موضوعه در رابطه با این مفاهیم تعریف کند.
3. قضایای هندسه را از این اصول نتیجه بگیرد.

به همین ترتیب بسیاری از ریاضی‌دانان بزرگ اواخر قرن 19 و اوایل قرن 20 در صدد بودند تا:

1. تعریفی از مجموعه و برخی مفاهیم مرتبط با آن ارائه دهند.
2. چند اصل موضوعه در خصوص مجموعه‌ها و روابط بین آن‌‌ها تنظیم کنند.
3. قضایای حساب را نتیجه بگیرند.

یکی از مشهورترین این افراد فرگه² بود. فرگه مجموعه را (تلویحاً) این گونه تعریف کرده بود: «دسته‌ای از اشیاء که در یک ویژگی خاص، مشترک باشند». این تعریف تقریباً همان تعریفی است که در ریاضیات دبیرستانی به ما آموزش داده می‌شود³. فرگه این تعریف را اساس کار خود در طرح ریزی ساختار اصل موضوعی ریاضیات می‌دانست. ساختاری که در صدد بود تا در دو جلد کتاب «قوانین بنیادین ^_حساب4» به توضیح آن بپردازد.

راسل بعد از کشف آن پارادکس مشهور، در تاریخ 16 ژوئن 1902 نامه‌ای به فرگه نوشت و او را از کشف خود مطلع کرد. این کشف راسل در حقیقت یک فاجعه‌ی بزرگ برای فرگه بود! فرگه این نامه را درست زمانی دریافت کرد که جلد دوم کتاب وی آماده‌ی انتشار بود و در حقیقت وی چنین می‌اندیشید که کارش را با موفقیت به پایان رسانده است؛ حال آن‌که پارادکس راسل به خوبی نشان می‌داد که پذیرش این تعریف از مجموعه منجر به یک تناقض بزرگ (چنان‌چه که دیدیم) خواهد شد.

در حقیقت این پارادکس زمانی به وجود می‌آید که تعریف فرگه از مجموعه‌ها را معتبر بدانیم. یعنی بپذیریم که «یک مجموعه، دسته‌ای از اشیاء است که در یک ویژگی خاص، مشترک باشند». چرا که با تعریف فرگه از مجموعه،( همه‌ی مجموعه‌هایی که عضو خود نباشند تشکیل یک مجموعه می‌دهند). (به عبارت دیگر R یک مجموعه است) و در حقیقت عضو خود نبودن، همان ویژگی خاص مشترک بین همه‌ی آن اشیاء (که در این‌جا اشیاء،مجموعه ها هستند!) است. حال آن که این تناقض به خوبی نشان می‌دهد که چنین تعریفی نمی‌تواند معتبر باشد.

در تلقی امروزی ریاضی دانان از مفهموم مجموعه، اساساً R (یعنی ^{_گردایه‌5_ی} همه‌ی مجموعه‌هایی که عضو خود نیستند) یک مجموعه نیست، و در نتیجه هنگامی که R یک مجموعه نباشد، واضح است که در داخل خودش قرار ندارد (چون در داخل R فقط و فقط مجموعه‌ها قرار دارند؛ مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند).

1. سعی بر این خواهد بود تا در مقاله‌ای جداگانه مفصلاً به شرح ساختار ریاضیات اصل موضوعی بپردازیم.

2.Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 - 1925) ریاضی‌دان، منطق‌دان و فیلسوف آلمانی.

3. این تعریف برای مجموعه‌های متناهی کاربرد دارد، اما در خصوص مجموعه‌های نامتناهی منجر به برخی معضلات، همانند پارادکس راسل می‌شود.

4. نسخه‌ی اصلی (آلمانی) این کتاب Grundgesetze der Arithmetik نام دارد و نسخه‌ی انگلیسی آن The Basic Laws of Arithmetic.

5. در حقیقت در حالت نامتناهی نمی‌توانیم هر گردایه (دسته)‌ای از اشیاء دلخواه را یک مجموعه بدانیم. (آیا می‌توانید نشان دهید که R متناهی نیست؟)

نویسنده: صالح زارع پور