نابرابری‌هایی در مثلّث

اهداف

دانش‌آموزان خواهند توانست:

رابطه‌ی بین بزرگترین ضلع و مجموع دو ضلع دیگر مثلّث را کشف خواهند کرد.

رابطه‌ی بین بزرگترین زاویه و بزرگترین ضلع مثلّث را کشف خواهند کرد.

از نابرابری مثلّث استفاده خواهند کرد تا مسأله‌هایی را که با مثلّث در ارتباط‌ هستند حل کنند.

از نابرابری در مورد ضلع‌ها و زاویه‌ها در مثلّث استفاده خواهند کرد تا مسأله‌هایی را که با مثلّث در ارتباط‌ هستند حل کنند.

وسایل لازم

ماکارونی دراز و باریک

خط‌کش

نقّاله

برگه ی فعالیت نابرابری مثلث

برگه ی فعالیت نابرابری هایی در مورد ضلع ها و زاویه های مثلث

طرح درس

در این درس، دانش‌آموزان با کمک معلم خود رابطه ی بین ضلع ها و زاویه های مثلث را پیدا می کنند. وقتی دانش‌آموزان فعّالیّت را انجام دادند، معلّم از پرسش‌های برگه ی فعّالیّت استفاده خواهد کرد تا بحث درباره‌ی مفاهیم مهم را هدایت کند. وقتی دانش‌آموزان با فعّالیّت در مورد نابرابری مثلّث شروع می‌کنند و به سمت فعّالیّت درباره‌ی نابرابری‌های مربوط به ضلع‌ها و زاویه‌های مثلّث حرکت می‌کنند، بحث به‌خوبی جریان می‌یابد.

به دانش‌آموزان برگه ی فعالیت نا برابری مثلث، خط‌کش و 8 تا 10 تا ماکارونی نازک بدهید. دانش‌آموزان باید به‌طور انفرادی روی پنج پرسش اوّل، و با یکی از دوستان شان روی سه پرسش آخر در برگه ی فعّالیّت کار کنند.

برگه ی فعالیت نا برابری مثلث(pdf)

برگه ی فعالیت نا برابری مثلث (به صورت فایل word)

ممکن است درک این موضوع که با داشتن سه ضلع نتوانیم مثلثی تشکیل دهیم، برای برخی از دانش آموزان سخت باشد. وقتی دانش‌آموزان رابطه‌ی مجموع طول‌های دو ضلع کوچک و متوسّط را با طول ضلع بزرگ مثلّث‌ها و نامثلّث‌ها توصیف می‌کنند، بعضی دانش‌آموزان مجموع طول‌های دو ضلع کوچک و متوسّط را «خیلی بیشتر از»، «نزدیک به» و «متفاوت با» طول ضلع بزرگ، توصیف می‌کنند. وقتی دانش‌آموزان در پرسش 5 سعی می‌کنند حدس بزنند، آن ها را تشویق کنید که ایده‌‌‌هایشان را بهبود ببخشند.

پس از این که دانش‌آموزان فرصت داشتند که با دوستشان روی پرسش‌های 6 تا 8 کار کنند، از این پرسش‌ها استفاده کنید تا بحث کلاس را حول نابرابری مثلّث متمرکز کنید. از دانش‌آموزان بخواهید که حدس‌هایشان را با یکدیگر در میان بگذارند، و از همه مهم‌تر، با یکدیگر درباره‌‌ی این که چرا گمان می‌کنند که حدس شان در مورد هر مثلّثی درست است صحبت کنند. مطمئن شوید که دانش‌آموزان می‌فهمند که آزمایش چند مثلّث، شاهدی کافی برای این که حدسی در مورد همه‌ی مثلّث‌ها درست باشد، نیست. دانش‌آموزان را تشویق کنید که درباره‌ی رابطه‌ی مجموع طول‌های دو ضلع کوچک و متوسّط با طول ضلع بزرگ مثلّث‌ دلیل بیاورند. مثلاً از آن ها بپرسید که چرا مثلّثی وجود ندارد که مجموع طول‌های دو ضلع کوچک و متوسّط آن از طول ضلع بزرگش‌ کمتر باشد.

زمان بحث درباره‌ی پرسش 7 از برگه ی فعّالیّت، از ماکارونی استفاده کنید تا نشان دهید که چرا امکان ندارد مجموع طول‌های دو ضلع کوچک و متوسّط برابر طول ضلع بزرگ مثلّث‌ باشد. ماکارونی را به دو قسمت برابر بشکنید. فرض کنید یکی از این قسمت‌ها ضلع بلند مثلّث باشد. قسمت دیگر را به دو قسمت (که لازم نیست طولشان مساوی باشد) بشکنید و فرض کنید این دو قسمت‌ ضلع‌های کوچک و متوسّط مثلّث باشند. ضلع‌های کوچک و متوسّط در روی ضلع بلند به یکدیگر می‌رسند و پاره‌خط می‌سازند، نه مثلّث.

زمان بحث درباره‌ی پرسش 8 از برگه ی فعّالیّت، توضیح دهید که چرا مجموع طول‌های دو ضلع دیگر از مثلّث هم باید بیشتر از طول ضلع دیگر باشد، زیرا طول دست‌کم یکی از ضلع‌ها در دو ضلعی که داریم، از طول ضلع سوم بیشتر است. مثلاً، مجموع طول‌ ضلع‌‌های بزرگ و کوچک از طول ضلع متوسّط بیشتر است، زیرا طول ضلع بزرگ بیشتر از طول ضلع متوسّط است.

بخش نابرابری مثلّث درس را با بحث درباره‌ی اهمّیّت یافتن مجموع طول‌های دو ضلع کوچک و متوسّط مثلّث به‌ پایان برسانید. چون بنابر نابرابری مثلّث، مجموع طول‌های هر دو ضلع از مثلّث همیشه از طول ضلع باقی‌مانده بیشتر است، با مشخّص کردن این که مجموع طول‌های ضلع‌های کوچک و متوسّط بیشتر از طول ضلع بزرگتر است، می‌توانیم نتیجه بگیریم که همه‌ی نابرابری‌ها برقرار هستند.

برای این که قسمت نابرابری‌های ضلع‌ها و زاویه‌های درس را شروع کنید، به دانش‌آموزان نقّاله و برگ فعالیت نابرابری هایی در مورد ضلع ها و زاویه های مثلث را بدهید. دانش‌آموزان باید کار به‌طور انفرادی روی این برگ را آغاز کنند.

برگ فعالیت نابرابری هایی در مورد ضلع ها و زاویه های مثلث(pdf)

برگ فعالیت نابرابری هایی در مورد ضلع ها و زاویه های مثلث (به صورت فایل word)

در حالی که دانش‌آموزان روی این برگه ی فعّالیّت کار می‌کنند، در کلاس بگردید تا از پیشرفت دانش‌آموزان آگاه شوید. دانش‌آموزانی که تاکنون از نقّاله به‌طور صحیح استفاده نکرده‌اند، ممکن است در اندازه‌گیری زاویه‌ها دچار مشکل شوند. از دانش‌آموزان بخواهید بررسی کنند که: آیا اندازه‌هایی که به‌ازای زاویه‌ها به‌دست آورده‌اند تا حدّ خوبی با مجموع زاویه‌ها در مثلّث‌ها [که برابر است با 180 درجه] مطابقت دارد یا نه. دانش‌آموزان ممکن است در درک معنای ضلع مقابل (روبه‌رو) به زاویه در مثلّث مشکل داشته باشند. رسم نموداری مانند نمودار زیر مفید باشد.

علاوه بر این، مهم است که دانش‌آموزان دریابند که علیرغم این که بزرگترین ضلع مثلّث روبه‌روی بزرگترین زاویه است، ممکن است ضلعی روبه‌روی زاویه‌ی 82 درجه در مثلّثی از ضلع روبه‌روی زاویه‌ی 115 درجه در مثلّثی دیگر بزرگتر باشد. مثلاً به دانش‌آموزان نموداری مانند نمودار زیر بدهید (یا این نمودار را رسم کنید) و از آن ها بپرسید که اگر ممکن است که AC>DF ؟

[بله، زیرا آن چه مطمئنیم این است که AC و DF از هر ضلع دیگری در مثلّث‌های خودشان بزرگترند. راهی وجود ندارد که طول ضلع‌های مثلّث‌های مختلف را مقایسه کنیم.]

در دلیل آوردن درباره‌ی پرسش 7 در برگه ی فعّالیّت، استدلالی منطقی این است که اگر در مثلّث مختلف‌الاضلاعی دو زاویه‌ی مساوی وجود داشت، آن گاه دو ضلع روبه‌روی این دو زاویه مساوی هستند، و چون در مثلّث‌های مختلف‌الاضلاع هیچ دو ضلعی برابر نیستند، این امر امکان ندارد.

درس را این‌گونه به پایان برسانید: از دانش‌آموزان بخواهید که هر دو نابرابری مثلّث و نابرابری ضلع‌ها و زاویه‌ها را با استفاده از کلمات و نمادها توضیح دهند. مثلاً

مجموع طول‌ هر دو تا از ضلع‌های مثلّث همیشه بزرگ تر است از طول ضلع دیگر.
(S+M>L و S+L>M و M+L>S) [S مخفّّف Small (کوچک)، M مخفّف Medium (متوسّط) و L مخفّّف Large (بزرگ)

است.]

بزرگترین ضلع مثلّث، همیشه روبه‌روی بزرگ ترین زاویه‌ی مثلّث است، و کوتاه‌ترین ضلع همیشه روبه‌روی کوچک ترین زاویه است. (اگر در مثلّث ABC، .)

پرسش‌هایی برای دانش‌آموزان

اگر مجموع طول‌ضلع‌های کوچک و متوسّط مثلّث بیشتر از طول ضلع بزرگ آن باشد، چرا می توان نتیجه گرفت که مجموع طول‌ هر دو تا ضلع‌ مثلّث از طول ضلع سوم بزرگ تر است؟

[مجموع هر دو ضلع دیگر باید شامل ضلع بزرگ باشد که خودش از ضلع متوسّط و ضلع کوچک، بزرگتر است.]

آیا مثلّثی وجود دارد که مجموع طول‌های ضلع کوچک و متوسّطش با طول ضلع بزرگش برابر باشد؟

[[خیر]، اگر مجموع طول‌های ضلع کوچک و متوسّط مثلّثی با طول ضلع بزرگش برابر باشد، مثلّث تشکیل نمی شود و شکل پاره خط می ماند.]

بنا بر نابرابری ضلع‌ها و زاویه‌های مثلّث، بزرگترین ضلع مثلّث همیشه روبه‌روی بزرگترین زاویه‌ی آن است و کوچکترین ضلع مثلّث همیشه روبه‌روی کوچکترین زاویه‌ی آن است. چرا نمی‌توان مثلّثی رسم کرد که بزرگترین ضلعش روبه‌روی بزرگترین زاویه‌ی مثلّث نباشد؟

[مثلّثی مختلف‌الاضلاع در نظر بگیرید و فرض کنید AB>AC.

ضلع AC را امتداد دهید و نقطه‌ی D را طوری بیابید که AD=AB.

مثلّث ABD متساوی‌الساقین است. بنابراین . همچنین، چون زاویه‌ی خارجی مثلّث BCD است، . در نتیجه . پس .