انتگرال به روش ریمان

در این مقاله در مورد انتگرال معین صحبت کردیم و گفتیم حاصل انتگرال معین یک عدد است که یکی از روش های بدست آوردن این عدد محاسبه مساحت محصور بین نمودار و محور Xها و بازه مورد نظر است. اما این روش زمانی ممکن است که تابع به شکل خطی باشد، اگر تابع غیر خطی باشد باید یا از دومین قضیه اساسی حساب استفاده کرد یا اگر محاسبه مساحت، مد نظر است از روش مجموع ریمان استفاده کرد.برای این منظور به تعاریف زیر احتیاج داریم:

تقریب نقصانی و اضافی

ما به دنبال محاسبه مساحت مستطیل هایی هستیم که این محدوده را (یعنی از a تا b) پوشش دهند . حال اگر ارتفاع مستطیل ها بالاتر ازنمودارتابع باشد، جمع همه مساحت ها را تقریب اضافی و اگر ارتفاع مستطیل ها پایین تر از نمودار تابع باشد، به آن تقریب نقصانی می گویند.

اگر f تابعی پیوسته (البته ممکن است در مواردی پیوسته هم نباشد) و نامنفی بر بازه [a,b] باشد در این صورت برای محاسبه مساحت محصور به نمودار f و محور x ها و خطوط x=a و x=b ، ما به دنبال محاسبه مساحت مستطیل هایی هستیم که این محدوده را (یعنی از a تا b) پوشش دهند . حال اگر ارتفاع مستطیل ها بالاتر ازنمودارتابع باشد، جمع همه مساحت ها را تقریب اضافی و اگر ارتفاع مستطیل ها پایین تر از نمودار تابع باشد، به آن تقریب نقصانی می گویند. و در نهایت سطح زیر نمودار تقریبا برابر است با مجموع همه مساحت مستطیل ها.
اکنون تقریب نقصانی و اضافی را با مثال توضیح می دهیم.

تقریب نقصانی

فرض کنید بازه [a,b] را به n قسمت مساوی تقسیم می کنیم. بنابر این طول بازه ها (x∆) به صورت زیر محاسبه می شود:

پس داریم a=x₀<x₁<x₂<…<x _n-1<x_n=b و همچنین x _i=a+i ∆x (***)
اکنون تقریب نقصانی را در تابع صعودی زیر نشان می دهیم.

در مستطیل اول ارتفاع برابر است با (f(x0 در دومی برابر است با (f(x1 و در آخری ( f(xn-1 پس تقریب نقصانی مساحت در تابع صعودی برابر است با:

و اما در تابع نزولی زیر تقریب نقصانی را نشان می دهیم.

همان طور که در شکل مشاهده می کنیم باید مقدار تابع در انتهای هر بازه را به عنوان ارتفاع مستطیل ها در نظر بگیرید. پس تقریب نقصانی به شکل زیر خواهد بود:

تقریب اضافی

مجددا باید بازه [a,b] را به n قسمت مساوی تقسیم کنیم تا طول بازه ها (x∆) را بدست آوریم.
محاسبه تقریب اضافی در تابع صعودی

و تقریب اضافی در تابع صعودی به شکل زیر خواهد بود:

و در نهایت تقریب اضافی در تابع نزولی را بررسی می کنیم.

مجموع ریمان بالا و پایین
به تقریب نقصانی، مجموع ریمان پایین(L_n(f)) و به تقریب اضافی، مجموع ریمان بالا (U_n(f)) می گویند.
مثال: مجموع ریمان بالا و پایین(تقریب اضاقی و نقصانی) تابع f(x)=x² را در بازه [1,3] و برای n=5 بیابید:

مجموع ریمان پایین:

مجموع ریمان بالا:

محاسبه انتگرال به روش ریمان

می دانیم که هر چقدر افراز ها (x ∆ ها) به هم نزدیکتر باشند مجموع ریمان ها به مساحت مورد(که می دانیم برابر است با انتگرال معین تابع) نظر نزدیک تر خواهد بود پس n را به سمت بی نهایت میل می دهیم تا این فاصله ها (عرض مستطیل ها) کم تر شوند .حد زیر این مفهوم را بیان می کند:

انتگرال پذیری: تابع f را در بازه [a,b] انتگرال پذیر گویند هرگاه:

در حل مسایل به این روش نیاز به مواارد زیر داریم:

مثال: انتگرال پذیری تابع y=x² را در بازه [0,3] به روش حد مجموع ریمان بررسی کنید:
حل: بازه را به n قسمت تقسیم می کنیم با توجه به اینکه مقدار را نداریم، به طریق زیر عمل می کنیم.ضمننا تابع ما صعودی هست و برای محاسبه مجموع ریمان بالا و پایین به این نکته توجه می کنیم.

و به همین ترتیب حد مجموع ریمان پایین تابع فوق را محاسبه می کنیم:

بنابر این تابع انتگرال پذیر است زیرا حد مجموع ریمان بالا و پایین برابر است و

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان

مطالب مرتبط مجموعه :

فراخوان ششمین دوره جشنواره فیلم کوتاه دانش آموزی مدرسه

جشنواره ایتات

6 گناه نابخشودنی

مراسم افتتاحیه ۵امین دوره جشنواره فیلم کوتاه دانش‌ آموزی مدرسه

نکات مهم پایانی تا کنکور

درس خواندن به طعم میوه های تابستان

مواد شیمیایی شادی‌ آفرین

اوقات فراغت دلچسب در تابستان