قوطی های آب میوه

قوطی های آب میوه اغلب در آرایش های مستطیل شکل چیده می شود، اما چینش های مؤثرتری هم وجود دارد که به مواد بسته بندی کمتری نیاز داشته باشد. در این درس، دانش آموزان طرح های مختلفی را برای چیدن قوطی های آب میوه بررسی می کنند و برای تحلیل طرح هایشان، از هندسه استفاده می کنند.

اهداف

دانش آموزان:

 تصورات هندسی را در مورد یک مسئله ی واقعی به کار می گیرند.

وسایل لازم

سکه (در حدود 50 تا برای هر گروه از دانش آموزان) یا اجسام دایره ای شکل متشابه دیگر

برگه ی فعالیت قوطی های آب میوه

طرح درس

در این درس، دانش آموزان دو مسئله ی مربوط به هم را بررسی می کنند. اولین مسئله، چیدن قوطی های آب میوه در یک طبقه است؛ دانش آموزان این مسئله را با چیدن سکه ها در منطقه ی مستطیل شکلی بررسی می کنند. مسئله ی دوم پیچیده تر است – دانش آموزان تلاش می کنند بهترین راه ممکن چیدن قوطی ها را پیدا کنند، طوری که در همان جا، بیش از یک قوطی آب میوه جا شود، یعنی تلاش می کنند طرح ها را طوری تغییر دهند که برای شش و دوازده بسته استفاده شود.

برای این که دانش آموزان را به درس راغب کنید، بگذارید تحقیقی درباره ی آب میوه بکنند. سپس این مسئله را برای بررسی به دانش آموزان بدهید:

کارخانه ی آب میوه، قوطی های آب میوه را روی طبقه های سرد شده می چیند، طبقه ها مثلث شکل هستند. با چه شکلی از چینش می توانیم بیشترین تعداد قوطی ها را روی یک طبقه بگذاریم؟

به هر دانش آموز نسخه ای از برگه ی فعالیت قوطی های آب میوه و 50 سکه بدهید. (شکل های دایره ای مشابه دیگر هم می تواند مورد استفاده قرار گیرد.)

برای دانش آموزان توضیح دهید مستطیل در صفحه ی فعالیت، مشخص کننده ی طبقه است و سکه ها در حکم قوطی های آب میوه است. دانش آموزان ممکن است متوجه می شوند که این مدل، حجم قوطی را ندارد و تنها مساحت آن محاسبه می شود. وقتی که متوجه شدند، برایشان توضیح دهید که طبقه ها یکی روی دیگری چیده شده که در هر طبقه، فضا به اندازه ی ارتفاع قوطی وجود دارد. به این ترتیب، این مدل برای بررسی مسئله کافی است.

در این بخش از درس، دانش آموزان باید به تنهایی کار کنند. توجه کنید که هدف از این فعالیت این است که دانش آموزان چینش های مختلف را در نظر بگیرند. در این مرحله، لازم نیست که دانش آموزان مساحت دقیقی را که سکه ها اشغال می کنند، اندازه بگیرند تا ثابت کنند قوطی ها اندازه خواهند شد یا مشخص کنند که بیشترین تعداد را پیدا کرده اند. اگر چه چنین محاسبه هایی بعدها مورد نیاز است، زمانی که دانش آموزان مسئله ی دوم را در این درس بررسی خواهند کرد.

زمانی که دانش آموزان در حال برسی مسئله هستند، در کلاس بگردید و به نتایج توجه کنید. برای ترغیب دانش آموزان به یافتن چینش بهتر، می توانید جایزه ی کوچکی برای دانش آموزی که بیشترین قوطی را در طبقه جا دهد، در نظر بگیرید.

وقتی دانش آموزان چینش های مختلف را امتحان کردند و فهمیدند قوطی ها چطور کنار یکدیگر قرار می گیرند، مسئله ی دوم این درس را بررسی خواهند کرد:

جعبه هایی را که برای چیدن قوطی های آب میوه استفاده می شوند در نظر بگیرید. این بسته بندی ها چطور می توانند کار آمدتر شود؟ یعنی می توانید قوطی های آب میوه را به روش دیگری بچینید تا مقدار مواد بسته بندی مورد نیاز را کاهش دهید؟

به دانش آموزان توضیح دهید که کارخانه های آب میوه معمولاً قوطی ها را در بسته های دوازده تایی بسته بندی می کند. بعضی از بسته بندی ها در الگوی 3 در 4 و برخی دیگر با الگوی 2 در 6 چیده می شوند. از دانش آموزان بخواهید به این سؤال فکر کنند: "کدام روش بسته بندی مؤثرتر است؟ یعنی در کدام روش، فضای استفاده نشده ی کمتری در بسته بندی وجود دارد؟

بگذارید دانش آموزان یک دقیقه درباره ی این سؤال فکر کنند و بعد با دوستشان درباره ی آن صحبت کنند. بعد از مشورت با دوستانشان، نظر بچه های کلاس را بپرسید. (دانش آموزن احتمالاً خواهند گفت هیچ کدام از این دو روش مؤثرتر نیست. هر بسته را می توان به دوازده چهار گوش هم نهشت تقسیم کرد، یک چهار گوش دور قوطی و در هر چهار گوش همان مقدار فضای بی استفاده وجود دارد.)

از دانش آموزان بخواهید فکر کنند که آیا روش چینش دوازده تایی مستطیلی دیگری با الگوی m×n قوطی وجود دارد که مؤثرتر باشد. (نه تمام چینش های مستطیلی همان تعداد فضای بی استفاده را خواهد داشت.)

وقتی این نکته را به دانش آموزان یادآوری کردید، بگذارید دو تایی یا در گروه های کوچک کار کنند و ترتیبی را بیابند که بازده بیشتری داشته باشد. این نکته را هم تذکر دهید که می توانند بسته بندی هایی برای کمتر یا بیشتر از 12 قوطی طراحی کنند اما کمترین تعداد، سه قوطی است. می توانید حداکثر را هم مشخص کنید اما معمولاً ضروری نیست. با این حال باید بدانند اگر تعداد خیلی زیادی قوطی در یک بسته بندی باشد، مشتری ها نمی توانند بسته را بلند کنند و به خانه ببرند.

برای این که دانش آموزان را در این بررسی راهنمایی کنید، می توانید به آن ها کمک کنید مقدار بازده بسته را تعیین کنند. ساده ترین نوع محاسبه این است که نسبت فضای پر شده ی داخل بسته را نسبت به فضای کلی در نظر بگیرند. یعنی:

در این مرحله می توانید از دانش آموزان بخواهید بازده بسته های دوازده تایی قبلی را بررسی کنند (شعاع قوطی آب میوه تقریباً 3.2 سانتیمتر است، بنابراین مساحت یک قوطی تقریبا 32.15 سانتیمتر مربع می شود. بنابراین بازده بسته های بالا تقریباً برابر با %78.49 = 40.96 ÷ 32.15 خواهد شد. با این حال توجه داشته باشید ابعاد واقعی قوطی آب میوه ارتباطی به این محاسبه ندارد. اگر دوازده دایره با شعاع r طوری که در شکل بالا نشان داده شده، چیده شده باشند، بازده از این معادله حاصل می شود:که نشان می دهد بازده با هر شعاعی با این روش چیدن، ثابت خواهد ماند. بگذارید در باقی ساعت کلاس، دانش آموزان روی این مسئله کار کنند. در حین کار کردن با گروه صحبت کنید. در پایان این جلسه یا ابتدای جلسه ی بعدی، اگر از آن ها خواسته بودید کار روی این پروژه را در منزل هم ادامه دهند، از هر گروه بخواهید بهترین روش چیدن خود را ارائه دهد.

پرسش هایی برای دانش آموزان

بدون در نظر گرفتن این که قوطی ها را روی طبقه یا در جعبه می چینیم، چه روش چینشی از ردیف مستطیلی کار آمدتر است؟

چندین روش چیدن وجود دارد که از روش مستطیلی بهتر است. یکی از آن ها مثلث متساوی الاضلاع است که مثلث متساوی الاضلاع کوچک تری از هر رأس آن حذف شده باشد. در شیوه ی چینشی که این جا نشان داده شده، شش قوطی جا می گیرد، اگر چه این شیوه می تواند در ابعاد بزرگ تر هم اجرا شود.

روش های بسیاری وجود دارد که بتوان مساحت مثلث متساوی الاضلاع را که شش قوطی را در بر گرفته، پیدا کرد. آسان ترین راه این است که طول ضلع را پیدا کنیم و سپس در این فرمول جایگذاری کنیم:

نقطه چین ها در این شکل، مستطیلی با ابعاد 4r×r را نشان می دهد. در هر طرف ضلع این مستطیل، یک مثلث

90 - 60 - 30  با ساق کوتاه تر r وجود دارد؛ بنابراین، ساق بلند تر r?3 است. طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع بزرگ با 4r + 2r?3 خواهد بود و مساحت این مثلث برابر است با:

سه مثلث کوچکی که از هر یک از رأس ها برداشته می شود (و با رنگ زرد در تصویر سمت راست نشان داده شده) ارتفاعشان r است. بنابراین طول ضلعشان 2r/?3 و مساحتشانخواهد بود. به این ترتیب مساحت هر سه مثلث کوچک  r2/?3  است.

تمام مساحتی که 6 قوطی آب میوه اشغال کرده اند، برابر با   است، بنابراین نرخ بازده این بسته بندی، چنین محاسبه می شود: یا حدود %84.17.

توجه داشته باشید که سایر شیوه های بسته بندی مثل بسته بندی های شش وجهی که هفت قوطی در یک دایره جای می گیرند، حتی کارآمدترند.

ارزشیابی

از دانش آموزان بخواهید پاراگرافی در مجله ی ریاضی شان در مورد این که چرا بعضی از شیوه های چینش قوطی از بقیه کارآمدتر است، بنویسند.

روش چینشی به دانش آموزان معرفی کنید که از تمام روش هایی که آن ها امتحان کرده اند، متفاوت باشد. از آن ها بخواهید این روش را با بهترین شیوه ی چیدن خود مقایسه کنند. آن ها با استفاده از فرمول بازده باید بتوانند توضیح دهند کدام روش چیدن بهتر است و چرا؟

توسعه

موقعیتی سه وجهی را در نظر بگیرید. به جای یافتن مساحت دو وجهی که در بسته بندی استفاده ای ندارد، دانش آموزان می توانند تعداد مواد مورد نیاز برای درست کردن بسته را محاسبه کنند؛ یعنی مساحت بسته هایی را که درست می کنند، پیدا کنند.

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

آیا دانش آموزان فعالانه در این درس شرکت کردند؟ چرا؟

محاسبه ی نرخ بازده، اغلب محاسبات زیادی لازم دارد. از چه روش هایی می توان تکنولوژی را به کار گرفت تا میزان محاسبات لازم، کاهش پیدا کند؟ چه محاسباتی را می خواهید دانش آموزان با قلم و کاغذ انجام دهند؟

درستان از نظر پیشرفت مناسب بود؟ اگر نه، چه مواردی نامناسب بود؟ چه کار می توانید بکنید تا آن را تغییر دهید؟

مترجم: فاطمه وفایی