مقاطع مخروطی-بخش چهارم

هذلولی از برخورد یک صفحه با سطح مخروطی، در حالتی که صفحه موازی با محور سطح مخروطی باشد، به وجود می آید.

هذلولی

هذلولی مکان هندسی مجموعه‌ای از نقاط در یک صفحه که تفاضل فاصله‌های هریک از آن‌ها از دو نقطهٔ ثابت در صفحه مانندF و ' F برابر مقدار ثابت 2a باشد.

محور کانونی محوری است که از دو کانون می گذرد . به نقاطی از هذولی که محور کانونی قطع می کند ر راس های هذلولی می گویند و با A و ' A نشان می دهند. طول پاره خط A'A برابر 2a می باشد.

مثلا اگر نقطه M روی هذلولی باشد داریم: lMF – MF’l=2a

به' F و Fکانون های هذلولی و به فاصله بین آنها فاصله کانونی می گویند و برابر است با: lFF’l=2c

محور کانونی محوری است که از دو کانون می گذرد . به نقاطی از هذولی که محور کانونی قطع می کنر راس های هذلولی می گویند و با A و ' A نشان می دهند. طول پاره خط A'A برابر 2a می باشد.

نکته

1) همواره 2a < 2c می باشد.

2) محوری که در نقطه وسط پاره خط A'A به صورت عمود رسم شود را محور ناکانونی می گویند.

3) هر هذلولی دو خط مجانب دارد که در مرکز هذلولی با هم برخورد می کنند.

4) در هر هذلولی رابطه c² = a²+ b² برقرار خواهد بود.

5) محل برخورد مجانب ها یا محل برخورد دو کانون را مرکز هذلولی می گویند و با نماد نشان می دهند.

6) معادلات مجانب های 1-هذلولی افقی و2-هذلولی قائم برابر است با:

7) خروج از مرکز هذلولی را با e نشان می دهند و برابر است:

هذلولی قائم و افقی

اگر محور کانونی هذلولی موازی محور x ها باشد، به آن هذلولی افقی و اگر محور کانونی موازی محور y ها باشد، به آن هذلولی قائم می گوییم.

معادله استاندارد هذلولی قائم

در معادله هذلولی قائم، a در مخرج عبارت شامل y قرار می گیرد . هم چنین با داشتن مختصات مرکز هذلولی می توان مختصات رئوس را بدست آورد. اگر به اندازه a واحد بالا و پایین برویم(طول تغییر نمی کند فقط عرض تغییر می کند) مختصات رئوس بدست می آید و اگر c واحد بالا و پایین رویم مختصات کانون ها بدست می آیند. مانند شکل زیر:

معادله استاندارد هذلولی افقی

در معادله هذلولی افقی، a در مخرج عبارت شامل x قرار می گیرد . هم چنین با داشتن مختصات مرکز هذلولی می توان مختصات رئوس را بدست آورد. اگر به اندازه a واحد راست و چپ برویم(عرض تغییر نمی کند فقط طول تغییر می کند) مختصات رئوس بدست می آید و اگر c واحد راست و چپ برویم مختصات کانون ها بدست می آیند. مانند شکل زیر:

معادله گسترده هذلولی

معادله باز شده یا گسترده هذلولی به صورت زیر می باشد.

در معادله فوق باید AB<0 باشد.

برای محاسبه مرکز هذلولی با استفاده از معادله گسترده، کافی ست ریشه مشتقات جزیی را محاسبه کنیم.ریشه مشتق جزیی نسبت به x طول مرکز و ریشه مشتق جزیی نسبت به y عرض مرکز را بدست می دهد.

برای تشخیص نوع هذلولی بهتر است ابتدا به فرم استاندارد تبدیل شود و بعد تشخیص داده شود.

مثال: معادله 4x²- 9y²- 16x - 18y -29=0 را به فرم استاندارد تبدیل کرده و مختصات کانون ها را بیابید.

پاسخ: برای تبدیل به فرم استاندارد، ابتدا باید در جملات شامل x و y مربع کامل ایجاد کنیم.

مشاهده می شود هذلولی فوق افقی است پس برای محاسبه کانون ها کافی ست از مرکز به اندازه C واحد راست و چپ برویم .