رابطه فشار و عمق سیال ساكن

فشاری كه یك شناگر در زیر آب تجربه می‌كند بستگی به عمق شناگر در زیر آب دارد. هر چه در عمق بیشتری باشد بدنش تحت فشار بیشتری قرار می‌گیرد. برای تعیین رابطه بین فشار و عمق، به قانون دوم نیوتن باز می‌گردیم در استفاده از قانون دوم نیوتن، ما روی دو نوع نیروی خارجی كه روی سیال وارد می‌گردد متمركز می‌شویم.

یكی از آن ها نیروی گرانشی یا وزن سیال است و دیگری، نیروی برخوردی حاصل از فشار است كه در درس گذشته به آن اشاره شد.

از آنجا كه سیال ساكن است، شتابش صفر بوده (a=0) و در حال تعادل می‌باشد. با به كارگیری قانون دوم نیوتن به صورت ، رابطه‌ای بین فشار و عمق به دست می‌آید.

این رابطه از اهمیت زیادی برخوردار است زیرا منفجر به دو رابطه دیگر به نام‌های "قانون پاسكال" و"قانون ارشمیدس" می‌گردد.

شكل مقابل، ظرف حاوی سیالی را نشان می‌دهد كه در آن یك ستون فرضی از سیال در نظر گرفته شده است.

 نمودار جسم آزاد تمامی نیروهای عمودی وارد بر ستون سیال را نشان می‌دهد.

در وجه بالایی (به مساحت = A) فشار سیال P_١ نیرویی به سمت پایین وارد می‌كند كه اندازه آن P_١A است. به همین نحو، در وجه پایینی، فشار سیال P_٢ نیرویی به سمت بالا اعمال نموده كه مقدار آن P_٢A می باشد.

فشار P_٢ بزرگ تر از P_١ است. زیرا وجه پایینی وزن بیشتری از مایع را نسبت به وجه بالایی تحمل می‌كند. در واقع، وزن اضافی كه وجه پایینی تحمل می‌نماید برابر وزن سیال داخل ستون فرضی است.

همان طور كه نمودار جسم آزاد نشان می‌دهد این وزن برابر mg می باشد، در این جا m برابر جرم سیال و g اندازه شتاب گرانش است.

از آن جا كه ستون سیال در حال تعادل است بنابراین جمع جبری نیروها در راستای قائم برابر صفر می‌باشد و بدین ترتیب خواهیم داشت:

 جرم m با چگالی  و حجم ستون سیال V رابطه دارد:

از آنجا كه حجم برابر حاصل ضرب سطح A در ارتفاع h است، بدین ترتیب خواهیم داشت:

با جاگذاری این رابطه در معادله فوق داریم:

 با حذف سطح مقطع A از طرفین رابطه فوق، رابطه مهم زیر را به دست می‌آوریم:

رابطه بالا بر این موضوع تأكید دارد كه اگر فشار در یك ارتفاع معلوم باشد (P_١)، آن گاه فشار در یك نقطه پایین تر (P_٢) به اندازه  از P_١ بیشتر خواهد بود. مقدار افزایش فشار  با این فرض به دست آمده كه چگالی سیال  در تمام طول ارتفاع h یكسان است. به عبارت دیگر فرض بر این است كه سیال فشرده نمی شود.

این فرض برای مایعات درست و معقول است. زیرا لایه‌های پایینی مایع قادر به تحمل وزن لایه‌های بالایی هستند. اما در گازها لایه‌های پایینی توسط وزن لایه‌های بالایی فشرده می‌شوند و در نتیجه چگالی با ارتفاع تغییر می‌كند. به عنوان مثال چگالی جو در نزدیكی سطح زمین بیش تر از ارتفاعات است.

وقتی با گازها سروكار داریم، رابطه زیر فقط برای وقتی صادق است كه h به اندازه كافی كوچك باشد تا بتوان از تغییر  در آن صرف نظر نمود.

نكته مهم دیگری كه در رابطه فوق وجود دارد این است كه فشار با تغییر ارتفاع تغییر می‌كند نه با جا به جایی افقی در سیال.

مرکز یادگیری سایت تبیان - تهیه: محسنی

تنظیم:‌ مریم فروزان کیا