با ریاضیات به جنگ آنفولانزای مرغی بروید!

پارامتر اپیدمی R₀

استفاده از مدل SIR ساده، نتایج جالبی به ما می‌دهد، اما قبل از آن خوب است کمی بیشتر با اصطلاحات اپیدمی شناسی آشنا بشویم. یک پارامتر اساسی که انتشار بیماری را کنترل می‌کند،یا نسبت باز تولید پایه است. هول کردید؟! نه نترسید! تعریفش چیز ساده ای است. این نسبت یعنی " تعداد متوسط بیماری هایی که مستقیماً توسط یک فرد آلوده در یک جامعه کاملاً مستعد به وجود می‌آید" بنابرایندرباره نرخ اولیه افزایش بیماری در نسل اول انتشار به ما اطلاعات ارزنده ای می‌دهد. اگربزرگتر از یک باشد، بیماری می‌تواند وارد جامعه مستعد به بیماری بشود و تعداد مریض‌ها رشد خواهد کرد، در حالی که اگر کوچکتر از یک باشد، بیماری هیچ وقت منتشر نخواهد شد. پس در ساده ترین حالت به ما می‌گوید که هر جامعه ای تا چه حد در معرض خطر یک بیماری خاص است.

مقدار  برای بیماری های شناخته شده

استفاده دیگر  بررسی رفتار شیوع یک بیماری است. موردی را در نظر بگیرید که در آن یک ویروس تازه‌ی آنفولانزا وارد یک جامعه‌ی کاملاً مستعد شد ه است. بررسی اولیه به ما می‌گوید که بیماری به سرعت در میان جامعه پخش خواهد شد و بخش بزرگی از جمعیت را در زمان بسیار کوتاهی آلوده خواهد کرد. در چنین حالتی می‌توان از اثر تولدها و مرگ‌ها روی جمعیت صرف نظر کرد و صرفاً بر دینامیک بیماری تمرکز کرد. در چنین اپیدمی های کوتاه مدتی، در ابتدا تعداد بیماری‌ها به صورت نمایی (یعنی به شکلافزایش خواهد یافت. به این ترتیب هر چه تعداد افراد بهبود یافته بیشتر می‌شود، تعداد افراد مستعد کاهش می‌یابد و انتشار بیماری کندتر شده و تعداد بیماری‌ها کاهش می‌یابد. به خاطر همین کاهش همه افراد قبل از فروکش بیماری به آن مبتلا نخواهد شد. دو نفر ریاضی دان با استفاده از همین مدل پیش بینی کرده اند که در هر بیماری تعداد افرادی که جان سالم به در می‌برند یعنی اصلاً مریض نمی شوند، چندتاست:

می بینید که معادله را نمی توان به شکل تحلیلی حل کرد،اما یک حل گرافیکی برای آن وجود دارد. (یعنی با رسم همزمان  و روی یک نمودار، می توان جواب معادلات را پیدا کرد. این نمودار را ببینید:

نقطه برخورد خط با منحنی‌ها، جواب مسأله در حالات متفاوت است. روشن است که با افزایش  ، افراد کمتری از بیماری فرار می‌کنند. وقتی  است،   تقریباً 20% افراد است اما وقتی  می شود،  تقریباً به 0.7% می‌رسد، بنابراین افزایش  اثر زیادی روی تعداد افرادی دارد که از شیوع، سالم بیرون می‌آیند.

در آخر، اگر بخواهیم شیوع بیماری ها را در محل خاصی بررسی کنیم، باید تغییرات جمعیت را هم وارد مدل کنیم چون تولدها به تعداد افراد مستعد اضافه می‌کند. در این حالت، رفتار طولانی مدت بیماری متفاوت می‌شود اما هم چنان به  بستگی دارد وقتی نوسانات اولیه تمام می‌شود، نسبت بلند مدت افراد مستعد در جمعیت به این شکل محاسبه می‌شود:

بنابراین هر چه تعداد افراد مستعد کمتر باشد، بیماری با سرعت بیشتری منتشر می‌شود! جالب است توجه کنید که میزان بلند مدت، آلودگی،  ، به پارامتر  بستگی ندارد بلکه به نرخ تولد‌ها و طول دوره بیماری وابسته است.

از این‌جا می‌شود مفهومی را که پشت واکسیناسیون عمومی قرار دارد، فهمید! واکسیناسیون تعداد افراد مستعد را کاهش می‌دهد تا بیماری نتواند زنده بماند. در بلند مدت، هر فرد آلوده به طور متوسط فقط یک بیماری ثانویه درست خواهد کرد. (اگر این عدد کمتر یا بیشتر از یک باشد میزان آلودگی ثابت نمی ماند و بیماری هم به وضع ثابتی نمی رسد) بنابراین اگر ما تعداد افراد مستعد را کاهش بدهیم، بیماری خیلی کم شده و تقریباً ریشه کن می‌شود. پس می‌شود سطح آستانه‌ی واکسیناسیون لازم برای ریشه کن کردن بیماری را این طوری حساب کرد:

خوب می‌بینید که چرا ما می‌توانیم مثلاً بیماری آبله که  آن برابر 4 است، ریشه کن کنیم در حالی که سرخک ریشه کن نمی شود. و با وجود واکسیناسیون بسیار گسترده، مالاریا به سختی حتی قابل کنترل است. در این‌جا باید درک کرد که برای ریشه کن کردن بیماری، لازم نیست همه‌ی اعضای جامعه واکسینه شوند. در واقع با واکسن زدن هر فرد، خطر ابتلا به بیماری در سایر افراد جامعه کم می‌شود. پس واکسن زدن همه جامعه را حفظ می‌کند!