ایجاد ارتباط بین چند جمله ای ها

توضیح اولیه

در این درس، می خواهیم به دانش آموزان بیاموزیم که چگونه با کاوش در نمودارهای توابع چند جمله ای، بین کلاس های مختلف این توابع ارتباط برقرار کنند. مسائلی که در برگه های فعالیت موجود به دانش آموزان اجازه می دهد تا بین طول از مبدأ و عامل های چندجمله ای ارتباط برقرار کنند. این فعالیت ها برای دانش آموزانی طراحی شده که درک خوبی از توابع خطی و اطلاعاتی از توابع درجه دو دارند و با مفهوم توابع چندجمله ای آشنا هستند.

اهداف

دانش آموزان قادر خواهند بود:

- رابطه ی بین عوامل خطی یک تابع چند جمله ای و نمودار تابع را شرح دهند.

- بر اساس نمودار دو خط، سهمیی را که حاصل ضرب دو عبارت خطی است، رسم کنند.

- با داشتن نمودار یک چندجمله ای، معادله ی خطوطی را که می توانند مؤلفه  های چندجمله ای باشند را پیدا کنند.

وسایل لازم

- برگه های فعالیت ساخت توابع چندجمله ای و حرکت معکوس و توابع چندجمله ای با درجات بالاتر

- سه رنگ متفاوت برای نوشتن

- نوار کاغذی یا خط کش

- ماشین حساب گرافیکی ( اختیاری)

طرح درس

دانش آموزان را تشویق کنید تا در گروه های دو نفری روی فعالیت ها کار کنند. روی هر مسئله برگه ها ی فعالیت بحث کنید، این بحث ها می تواند مفید باشد. هر دانش آموز نیازمند ورقه های فعالیت، سه رنگ مختلف برای نوشتن ( خودکار، مداد و یک رنگ دیگر ) و یک نوار کاغذی یا خط کش احتیاج دارد. این فعالیت ها برای دانش آموزان سال اول یا دوم جبر مناسب است؛ به محض این که دانش آموزان درک پایه ای مناسبی در مورد توابع خطی و اطلاعاتی از توابع درجه دو پیدا کردنند و با مفهوم توابع چندجمله ای آشنا شدند.

قسمت1: ساختن توابع چند جمله ای ( برگه ی فعالیت ساخت توابع چندجمله ای )

دانش آموزان با تشخیص دادن توابع خطی و نوشتن آن ها به صورت استاندارد یا شیب-طول از مبدأ،( y=m(x-c ،که c طول از مبدأ است، شروع می کنند. این فرم ایجاد کننده ارتباط بین سایر کلاس های چندجمله ای است و دانش آموزان را وادار می کند تا با تمرکز کردن روی طول از مبدأ، نمودار را بررسی کنند. سپس آن ها تابع دیگری را در فرم( y=m(x-c انتخاب می کنند و نمودار آن را در همان محورها رسم می کنند. دانش آموزان پیش بینی می کنند که یک تابع جدید، که ازحاصل ضرب دو عبارت خطی تشکیل شده است، چه نوع نموداری خواهد شد. بعد از پیش بینی کردن، سعی کنند نمودار تابع درجه دو ( سهمی ) را رسم کنند و نمودار واقعی را با پیش بینی خود مقایسه می کنند. دانش آموزان می توانند از وسایل رسم نمودار برای بررسی درستی تابع حاصل ضرب دو عامل خطی استفاده کنند، البته بعد از پیش بینی کردن!

مسئله های فعالیت، که توابع خطی را با توابع درجه دو حاصل مقایسه می کنند، باعث تمرکز دانش آموزان روی قسمتی از نمودار می شود که باید تأکید شود. دانش آموزان می آموزند که، طول از مبدأهای تابع درجه دو، همان طول از مبدأ های توابع خطی است، که می تواند نسبتاً آشکار باشد، و عرض از مبدأ تابع درجه دو، حاصلضرب عرض از مبدأ های توابع خطی است. در واقع مختصات y به ازای یک مقدار x همیشه برابر است باحاصلضرب مختصات خط ها به ازای همان مقدار x .

درک این مطلب ساده تر است وقتی که x برابر صفر است و مختصات y روی محور x مشخص است.

سپس دانش آموزان با استفاده از یک نوار کاغذی و یا خط کش قسمت هایی از نمودار را می پوشانند. این قسمت از فعالیت ها نشان می دهد که، علامت مختصات y برای هر نقطه از سهمی را می توان با مشاهده ی این که مختصات y در خط ها، در همان قسمت از نمودار مثبت است یا منفی تشخیص داد. برای مثال، اگر هر دو خط بالای محور x باشند، آن گاه سهمی در بالای محور x خواهد بود. یعنی ((+).(+) = (+)) . اگر یک خط بالای محور و دیگری پایین محور x باشد، آن گاه سهمی در پایین محور x خواهد بود. یعنی ((+).(-) = (-)).. این نتیجه مطابق است با جدول علائم که دانش آموزان به طور سنتی برای رسم نمودار توابع و نامساوی ها استفاده می کردند.

قسمت2: حرکت در خلاف جهت ( برگه ی فعالیت حرکت معکوس )

قسمت دوم فعالیت ها مستلزم این است که دانش آموزان در جهت مخالف حرکت کنند. یعنی یک نمودار تابع درجه دو را در نظر بگیرند و آن را به عامل های خطی تجزیه کنند. یعنی در صورت امکان، یک تابع درجه دو را به صورت حاصل ضرب دو تابع خطی در بیاورند. این کار، تجزیه کردن را به صورت تصویری شرح می دهد. معلمان باید به دانش آموزان بگویند که یک نمودار که به نظر سهمی می آید، می تواند در حقیقت نمودار تابع درجه 4 یا چندجمله ای از درجه ی زوج بالاتر باشد. بعد از این فعالیت آن ها نباید فرض کنند که هر نمودار با دو طول از مبدأ، نمودار یک تابع درجه دو است. وقتی دانش آموزان برای بار اول این فعالیت را انجام می دهند، آن ها معمولا روی گذراندن خطوط، از طول از مبدأها تمرکز می کنند و ممکن است به عرض از مبدأ توجه نکنند. آن ها هم چنین باید قسمت هایی از نمودار را که قبل و بعد از طول از مبدأ است، بررسی کنند تا مطمئن شوند که حاصل ضرب مختصات y عوامل خطی، علامت و مقدارهای مختصات های y را روی سهمی در آن قسمت می دهد.

وقتی پرسیده می شود که آیا این خطوط منحصر به فرد هستند یا نه ( که نیستند )، ممکن است دانش آموزان مخالفت کنند. به آن ها گفته شده است که عبارات درجه دو به صورت منحصر به فرد به عبارات خطی تجزیه می شوند، ولی ممکن است گفته نشده باشد که این نتیجه تنها نسبت به واحدهای عددی عامل ها منحصربه فرد است. واحدهای عددی عامل ها می توانند بین عبارت های خطی دیگر پخش شوند و تشکیل بی نهایت ترکیب از خط ها را بدهند. برای مثال

(2x-3)?(x+4) برابر است با (1/2)(2x - 3) • 2(x + 4) = (x - (3/2)(2x + 8). ، تنها محدودیت برای خطوط ممکن، این است که طول از مبدأها و حاصلضرب عرض از مبدأ سهمی باید ثابت بماند.

آخرین نمودار در این قسمت طول از مبدأ ندارد، ولی از دانش آموزان خواسته می شود که سعی کنند خطوطی را که می توانند مؤلفه  های آن باشند، رسم کنند. این مثال باید بحث های خوبی را ایجاد کند. احتمالاً دانش آموزان به این نتیجه می رسند که نبود طول از مبدأ نشان می دهد که ریشه ی حقیقی وجود ندارد. یعنی خطوط را نمی توان رسم کرد چون تساوی درجه دو نمی تواند به عبارت های خطی با اعداد حقیقی تجزیه شود. این نمایش تصویری نشان می دهد که چرا گاهی معادله های درجه دو را نمی توان در دستگاه اعداد حقیقی تجزیه کرد.

قسمت3: چندجمله ای های درجه سه ( برگه ی فعالیت توابع چندجمله ای با درجات بالاتر  )

وقتی دانش آموزان ساختن توابع درجه دو از عبارت های خطی و بالعکس را آموختند و پیدا کردن مؤلفه های خطی توابع درجه دو را تجربه کردند، گسترش دادن این طرز فکر به توابع چندجمله ای درجه سه، برای بیشتر دانش آموزان ساده است. معلم باید به دانش آموزان هشدار بدهد که نمودار چندجمله ای درجه سه و درجات فرد بالاتر می توانند بسیار شبیه به نمودار تابع چندجمله ای درجه سه باشد. در نتیجه بعد از این فعالیت آن ها نباید فکر کنند که یک نمودار، درجه سه است چون دارای سه طول از مبدأ است.

خلاصه کردن درس

بعد از این که دانش آموزان این فعالیت را انجام دادند، معلم باید کلاس را به بحث درباره ی این مطالب تشویق کند. دانش آموزان باید اطلاعاتشان را با هم درمیان گذاشته و سؤالاتشان را بپرسند.

این روش جدید نگاه کردن به توابع چندجمله ای، فهم دانش آموزان را از توابع چندجمله ای افزایش می دهند. به تصویر کشیدن نمایش جبری توسط یک نمودار مفهوم بیشتری به علائم و سمبل ها می دهد. این فعالیت ها باید ارتباط بین طول ازمبدأ و عوامل خطی را برجسته تر کند،

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

یک روش برای ارزیابی این است که ، از دانش آموزان بخواهیم با نوشتن چیزهایی که یاد گرفته اند ، فعالیت های خود را خلاصه کنند و درباره ی درک خود از ارتباط بین عوامل خطی، توابع چندجمله ای و نمودار این توابع بحث کنند. نظرات آن ها باعث می شود که اطلاعاتشان در تفکرشان جای بگیرد و به بهبود فعالیت ها کمک می کند.

یک امتحان می تواند شامل این باشد که از دانش آموزان بخواهیم دو خط رسم کنند و سپس سهمیی که حاصلضرب دو عبارت خطی را نشان می دهد، رسم کنند. توجه کنید که دانش آموزان باید روش کارشان را توضیح دهند. همچنین می توان از آن ها خواست که برعکس کار کنند، یک نمودار سهمی داده، و آن ها نمودار معادله خطوطی را که مؤلفه های سهمی هستند، پیدا کرده و رسم کنند.

من متوجه شده ام که دانش آموزان سعی در تار و کمرنگ کردن واژگان " عامل " و  " طول از مبدأ " دارند. معلمان در ارزیابی نوشته ها و مکالمات دانش آموزان، باید بر استفاده از واژگان صحیح اصرار بورزند و هرگونه اختلال موجود بین این دو مفهوم را از بین ببرند.

برگه ی پاسخ ها