بستنی های قیفی

توضیح اولیه

در این درس، دانش آموزان همه ی جایگشت ها را برای شرایط مفروض به دست می آورند و از مهارت های حل مسئله که شامل حذف و جمع آوری اطلاعات سازمان یافته می شود، استفاده می کنند. همچنین دانش آموزان در مورد در نظر گرفتن یا نگرفتن ترتیب برای مسئله ی مفروض بحث و گفتگو می کنند. استفاده از روش های تفکر در سطح بالاتر (ترکیب، تجزیه و ارزشیابی)، از اهداف کلی درس است.

اهداف

دانش آموزان:

تعداد جایشگت های ترکیب 2 رنگی را که می تواند با 8 رنگ ساخته شود، پیش بینی خواهند کرد.

تعداد جایگشت هایی را که می توان ساخت، تعیین خواهند کرد.

تعداد جایگشت های محتمل را تعمیم خواهند داد.

در نظر گرفتن یا نگرفتن ترتیب را مشخص خواهند کرد.

وسایل لازم

برگه ی فعالیت بستنی های قیفی

8 مداد رنگی در اختیار هر دانش آموز قرار دهید: قهوه ای برای شکلاتی، سفید برای وانیلی، قرمز برای توت فرنگی، نارنجی برای بستنی میوه ای، سبز برای لیمو ترش، زرد برای لیمو، ارغوانی برای انگور و سیاه برای گردویی.

طرح درس

برگه ی فعالیت بستنی های قیفی را بین دانش آموزان توزیع کنید.

 

دانش آموزان برای تعیین تعداد کل احتمال جایگشت ها، بستنی ها را رنگ آمیزی خواهند کرد. هر دانش آموز به رنگ های زیر نیاز دارد:

قهوه ای (شکلاتی)، سفید (وانیلی)، قرمز (توت فرنگی)، نارنجی (میوه ای)، سبز (لیموترش)، زرد (لیمو)، ارغوانی (انگوری) و سیاه (گردویی).

قبل از شروع فعالیت، راهنمای استفاده از برگه ی فعالیت را مطالعه کنید. هر یک از دانش آموزان باید تعداد بستنی های قیفی با دو طعم مختلف را  پیش بینی کنند.

دانش آموزان باید برای رنگ آمیزی و شمردن بستنی های قیفی به طور انفرادی کار کنند و در گروه های 2 یا 3 نفره، در مورد نتایج به دست آمده، هم در مورد انواع بستنی های قیفی به وجود آمده و هم در مورد تعدادشان، بحث و گفتگو کنند.

در بحث های گروهی دو مسئله باید مورد توجه قرار گیرد :

آیا موضوع ترتیب در رنگ آمیزی بستنی ها در نظر گرفته می شود؟ برای مثال، آیا یک بستنی که وانیلی در بالا و لیمو ترشی در پایین آن است، با بستنی دیگر که وانیلی در پایین و لیمو ترشی در بالا است، فرق دارد؟

آیا برای هر دو تکه ی بستنی، می توان از یک طعم استفاده کرد؟

همین طور که دانش آموزان این سؤالات را در گروه هایشان بحث می کنند، می توانید از دانش آموزان بخواهید که هر دانش آموز در مورد روند کار تصمیم بگیرد. در این صورت هر نفر با توجه به شرایطی که انتخاب می کند، به جواب های متفاوتی می رسد. روش دیگر این است که به دانش آموزان فرصت دهید تا این موضوعات را بحث کنند و قبل از ادامه ی کار، همه ی دانش آموزان تصمیم واحدی برای ادامه ی کار بگیرند. به این ترتیب، همه ی دانش آموزان برای حل مسئله با شرایط یکسان، تلاش می کنند.

جواب های دانش آموزان با توجه به شرایط ترتیب و تکرار، متفاوت خواهد بود:

با در نظر گرفتن ترتیب:

1. طعم ها نمی توانند تکراری باشند: تکه ی اول می تواند از هر 8 طعم باشد و تکه ی دوم می تواند از هر 7 طعمی که در تکه ی اول استفاده نشده، باشد. بنابراین،8×7=56  احتمال جایگشت های دو تکه است.

2. طعم ها می توانند تکراری باشند: هر دو تکه می تواند از هر 8 طعم باشد، بنابراین 8×8=64 احتمال جایگشت های 2 تکه است.

بدون در نظر گرفتن ترتیب:

1. طعم ها نمی توانند تکرار شوند: بهترین راه برای حل در این مورد استفاده از فهرست منظم یا نمودار درختی و یا جدول است. فهرست منظمی در زیر نشان داده شده است:

ش-و         ش-ل ت   ش-ل           ش-ا       ش-ب      ش-ت      ش-گ

و-ل ت        و-ل         و-ا              و-ب          و-ت        و-گ

ل-ت-ل       ل ت-ا      ل ت-ب        ل ت-ت      ل ت-گ

ل-ا            ل-ب        ل-ت           ل-گ

ا-ب            ا-ت         ا-گ

ب-ت          ب-گ

ت-گ

ش=شکلاتی، و=وانیلی، ل ت=لیموترش، ل=لیمو، ا=انگور، ب=بستنی میوه ای، ت=توت فرنگی، گ=گردویی

2. طعم ها می تواند تکراری باشند: علاوه بر 28 جایگشتی که در بالا فهرست شد، 18 احتمال اضافی دیگر برای هنگامی که دو تکه ی بستنی مشابه باشند، وجود دارد. در نتیجه، در این مورد ?8+8=36 جایگشت وجود دارد.

از دانش آموزانی که جواب 28 را پیدا کرده اند، بخواهید که راه حلشان را برای دانش آموزان توضیح دهند (8?=? ÷ 8×7).

به دانش آموزانی هم که به جواب 56 رسیده اند، فرصت دهید تا دلایلشان را بیان کنند، برای مثال فرض می کنیم ترتیب مهم است ولی یک طعم برای دو تکه نمی تواند استفاده شود ( .(8×7=56از آن ها بخواهید تا توضیح دهند که چرا بین وانیل – لیمو ترش و لیمو ترش – وانیل تفاوت قائل شده اند. دانش آموزی که به یکی از جواب های 36 یا 46 جایگشت رسیده است، تکرار طعم ها را قبول کرده که یک فرض منطقی است.

به هر حال دانش آموزان می توانند برای این سؤال، 4 جواب متفاوت به دست آورند، حتماً به دانش آموزان توضیح دهید که هیچ کدام از جواب ها نادرست نیست. مهم است که دانش آموزان در مورد این که چرا جواب هایشان متفاوت است، فکر کنند و شما نیز باید آن ها را راهنمایی کنید.

توسعه

سؤال زیر را برای دانش آموزان مطرح کنید:

اگر یک یا دو تکه به تکه های بستنی اضافه شود، جواب ها چه تغییری می کند؟

مترجم: وحید رستمی