بررسی ارقام

توضیح اولیه

در این درس، دانش آموزان با یکی از کاربرد های رایج و عملی محاسبات پیمانه ای آشنا می شوند. در ابتدا، سیستم بارکد های UPC و ISBN گزینش و بررسی می شوند، سپس دانش آموزان به چگونگی کاربرد محاسبات پیمانه ای در آن ها پی می برند، همان گونه که در شماره ی کارت های اعتباری از آن ها استفاده می شود.

اهداف

در این بحث، دانشجویان موارد زیر را می آموزند:

تعیین رقم چک کننده در بارکد ها و شماره ی کارت های اعتباری

تست و تأیید اعتبار بارکد ها و شماره ی کارت های اعتباری، با استفاده از الگوریتم های مناسب

پی بردن به اهمیت رقم چک کننده و شرح نقاط قوت و ضعف آن

تشریح و مقایسه ی معادلات مختلف ارقام چک کننده

وسایل لازم

برگه ی فعالیت بررسی ارقام

تهیه ی کارت های اعتباری از تبلیغات پستی یا منابع دیگر

نمونه هایی از بارکد ها، برچسب های ISBN و UPC

طرح درس

قبل از شروع، نمونه هایی از بارکد های ISBN ،UPC و نمونه هایی از کارت های اعتباری (موجود در تبلیغات یا از طریق مؤسسات مالی محلی) را جمع آوری کنید. این نمونه ها، نه تنها یک دید بصری به دانش آموزان می دهند، بلکه می توانند به عنوان قسمتی از درس هنگامی که به بررسی دقت اعداد می پردازیم، استفاده شوند. سپس با ایجاد زمینه ای برای ساخت سیستم های بارکد و این که چگونه این سیستم ها امروزه مورد استفاده قرار می گیرند، آغاز کنید.

اولین به وجود آورندگان بارکد ها، برنارد سیلور و نرمن وودلند در سال 1952 بودند. این سیستم های کد سازی، در طی زمان، گسترش یافتند و پس از تغییرات، در موارد مختلف مورد استفاده قرار گرفتند. یکی از معمول ترین کاربرد های این بارکد ها، در فروشگاه های زنجیره ای و معمولی می باشد. اگر چه این بارکد ها قیمت اجناس نیستند، اما امکان ثبت شدن اجناس با قیمت مربوطه را فراهم می نمایند. هنگامی که بارکد خوانده می شود، صندوق دار می تواند قیمت مربوطه را مشاهده کند. از دیگر استفاده های بارکد ها می توان به کنترل منابع خون، شناسایی نسخ دارویی، چک کردن کتاب در کتابخانه ها، علامت گذاری چمدان و خدمات سریع السیر پستی اشاره نمود.

یکی از دیگر فواید سیستم بارکد این است که هنگامی که یک عدد اضافی به عنوان رقم چک کننده به بارکد اضافه شود، بسیاری از خطا هایی را که در هنگام ورود اطلاعات به وجود می آید، می توان تشخیص داد. این خطا ها هنگام تبادل اطلاعات از طریق تلفن یا اینترنت پدید می آیند. مردم به سادگی ارقام را تغییر می دهند (به عنوان مثال 45 می بایست 54 باشد.) یا این که یک رقم با رقم دیگری جایگزین می شود، یا این که ارقام حذف می شوند و یا رقم های تکراری، عوض می شوند (مثلاً به جای 799، 779 وارد می شود.). استفاده از یک رقم چک کننده، به کمک یک معادله ی چک کننده به پیدا کردن این خطا ها و بررسی اعتبار اعداد کمک می کند. همان گونه که دانش آموزان در بارکد های ISBN خواهند دید، رقم چک کننده برای این منظور استفاده شده است.

با بررسی بارکد هایی که از اجناس خریداری شده در فروشگاه ها جمع آوری شده اند، آغاز کنید. این نوع بارکد با عنوان کد جهانی محصول یا UPC شناخته می شود. در ابتدا دانش آموزان با الگوریتم آشنا می شوند و سپس به تعیین اعتبار عدد می پردازند. سپس دانش آموزان باید برای تعیین یک رقم چک کننده برای یک بارکد تلاش کنند. در سیستم UPC، باید باقی مانده ی شماره ی UPC بر 10 صفر باشد. این سیستم، از فاکتور 3، برای رقم هایی که در جایگاه زوج قرار دارند، استفاده می کند، به این معنی که رقم های جایگاه زوج در 3 ضرب می شوند. به عنوان اولین مثال از UPC داده شده در زیر که مربوط به فیلم شگفت انگیزان می باشد، استفاده کنید: 0-24425-86936-7.

برای بررسی این شماره، مراحل زیر را دنبال کنید:

1. هر رقمی که در جایگاه زوج قرار دارد، در عدد 3 ضرب می شود (شمارش را از سمت راست به چپ انجام می دهیم). ارقامی که در جایگاه فرد قرار دارند، در 1 ضرب می شوند.

3. اعتبار این شماره را با تقسیم آن بر عدد 10 تعیین نمایید.

110 تقسیم بر 10 دارای باقی مانده ی صفر می باشد (11=110/10). پس این شماره ی UPC، معتبر است.

دانش آموزان ممکن است از ضرایب فاکتور بگیرند، به این صورت که ابتدا رقم های موجود در جایگاه زوج را با یکدیگر جمع و سپس در 3 ضرب کنند، رقم های موجود در جایگاه فرد را نیز جمع کرده و در 1 ضرب کنند.

سپس شماره ی UPC مقابل را برای دانشجویان مثال بزنید: 7-96714-78601-y در این جا y، رقم چک کننده است. با استفاده از فرآیند فوق، دانش آموزان باید رقم چک کننده را تعیین کنند. مجموع نتایج 112 است. پس رقم چک کننده باید 8 باشد، زیرا باقیمانده ی تقسیم (8+112) بر 10، 0 است. در تمرین شماره ی 1، دانش آموزان باید رقم چک کننده را برای 2 شماره ی UPC به دست آورند.

نوع دیگری از سیستم های بارکد، شماره ی استاندارد بین المللی کتاب یا ISBN است. این سیستم در اواخر 1960 و اوایل 1970 به وجود آمد. آشکار است که سیستم واحدی برای شناسایی کتاب هایی که در تمام نقاط دنیا انتشار می یابند، مورد نیاز است. اکنون هر کتابی می تواند یک شماره ی شناسایی انحصاری داشته باشد. ISBN، یک عدد ده رقمی است که شامل بلوک های عددی با معانی متفاوت است. این شماره شامل چهار قسمت می باشد که با خط تیره یا فاصله از هم جدا شده اند. اولین قسمت شماره که نشان دهنده ی زبان یا کشور است، شناسه ی گروه نام دارد و حداکثر 5 رقمی است. بخش دوم شماره، نشان دهنده ی ناشر و حداکثر 7 رقمی است. سومین بخش شماره، نشان دهنده ی تجدید چاپ یا تعداد چاپ است و بیش از 6 رقم نیست. قسمت نهایی، رقم چک کننده است. قسمتی از انعطاف پذیری این سیستم در این نکته است که تعداد زیادی شماره جهت استفاده موجود می باشد. به یاد آورید که یک شماره ی 10 رقمی داریم که رقم آخر آن، رقم چک کننده است. بنابراین سه قسمت اول شماره می باید در مجموع، یک عدد نه رقمی را تشکیل دهند. رقم های صفر، به عنوان پر کننده های فضا در ابتدای عدد، در صورتی که تعداد رقم ها به تعداد کافی نباشد، استفاده می شوند. شکل زیر، نمونه ای از شماره ی ISBN را نشان می دهد.

در این سیستم، رقم چک کننده، به روشی متفاوت با روش UPC محاسبه می شود. به این صورت که اولین رقم در 10 ضرب می شود، رقم دوم در 9، رقم سوم در 8 و این فرایند را ادامه می دهیم تا رقم نهم که در 2 ضرب می شود. سپس مجموع نتایج را محاسبه می کنیم. این سیستم پیمانه ی11 نامیده می شود، به این معنی که مجموع نتایج نه رقم اول به علاوه ی رقم چک کننده باید مضرب 11 باشد. یکی از مشکلات این روش این است که ممکن است رقم چک کننده 10 باشد، در حالی که ما فقط می توانیم از ارقام 0 تا 9 برای این منظور استفاده کنیم و بنابر این X به جای رقم چک کننده نوشته می شود. (این X نشان دهنده ی شماره 10 رومی است.) تمرین های شماره ی 3 تا 6، مشخصات مربوط به ISBN می باشند.

کارت های اعتباری، از یک سیستم بلوک های شماره ای، مشابه سیستم ISBN استفاده می کنند. یک تفاوت واضح این است که در این جا حداکثر طول شماره 19 رقم است، اگرچه بسیاری از شماره ها بین 13 تا 16 رقم می باشند.

اولین رقم شماره ی کارت اعتباری، شناسه ی صنعت اصلی یا (Major Industry Identifier (MII نام دارد و نشان دهنده ی گروه صادر کننده ی کارت است، همان طور که در جدول زیر نشان داده شده است.

به عنوان مثال، هنگامی که شماره با 3 شروع می شود، نشان دهنده ی گروه مسافرت و سرگرمی است. کارت های پست آمریکا در این گروه قرار می گیرند. کارت های صادر شده توسط شرکت های گاز با رقم 7 شروع می شوند. کارت های Visa و MasterCard در گروه بانکداری و امور مالی قرار می گیرند (4 و 5). قسمت دوم شماره، شناسه ی صدور است که با احتساب رقم MII، شش رقمی است.

شماره حساب از رقم هفتم شروع می شود و تا رقم یکی مانده به آخر ادامه می یابد. رقم آخر، رقم چک کننده است.

روش استفاده شده جهت محاسبه ی رقم چک کننده، الگوریتم لوهن (پیمانه ی 10) است که به نام دانشمند IBM، هانس پیتر لوهن، نام گذاری شده است. این الگوریتم به روش زیر عمل می کند:

ابتدا تمام رقم های جایگاه زوج را دو برابر کنید (ارقام از راست به چپ خوانده می شوند).

مجموع نتایج گام اول و رقم های جایگاه فرد را که به شکل اولیه هستند، محاسبه کنید.

در صورتی که حاصل گام دوم، مضرب 10 باشد، شماره حساب تأیید می شود.

قبل از این که به قسمت تمرین های مربوط به این بحث مراجعه کنید، جهت آشنایی بیشتر دانشجویان با الگوریتم لوهن، به تعیین صحت رقم چک کننده ی شماره حساب زیر بپردازید:

5314772685932112

مجموع به دست آمده توسط الگوریتم، 101 می باشد که به روش زیر محاسبه شده است:

101 = 2(5) + 3 + 2(1) + 4 + 2(7) + 7 + 2(2) + 6 + 2(8) + 5 + 2(9) + 3 + 2(2) + 1 + 2(1) + 2

برای این که این شماره حساب تأیید شود، مجموع باید بر 10 قابل قسمت باشد. اگر رقم چک کننده، 1 بود، باقیمانده ی تقسیم حاصل جمع بر 10، صفر می شد ولی چون رقم چک کننده 2 است، مجموع بر 10 قابل قسمت نیست. بنابراین، این شماره حساب معتبر نیست.

الگوریتم لوهن می تواند خطا های ورود داده و اکثر جا به جایی ها را تشخیص دهد. دانشجویان باید این مبحث را ادامه دهند و تعیین کنند که این فرایند چگونه صورت می گیرد.

قبل از شروع درس، بهتر است که بخش راه حل ها را مرور کنید.

پرسش هایی برای دانش آموزان

1. مشکلی که در مورد سیستم UPC وجود دارد، این است که اگر دو رقم مجاور جا به جا شوند و اختلاف آن ها 5 باشد، خطا تشخیص داده نمی شود. دلیل آن را شرح دهید.

[هنگامی که رقم های اصلی در 1 و 3 ضرب شوند و رقم های جا به جا شده نیز در 1 و 3 ضرب شوند، اختلاف این دو مجموع 10 هست. این، یک مشکل است زیرا مجموع هر دو عدد UPC، پس از تقسیم بر 10، به باقیمانده ی صفر منجر می شود.]

2. همان گونه که در بسیاری از آگهی های تلویزیونی دیده ایم، مؤسسات بانکی بسیاری، کارت اعتباری صادر می کنند. اولین 6 رقم استفاده شده در کارت های اعتباری، جهت شناسه ی صادر کننده ی کارت مورد استفاده قرار می گیرد. چند امکان برای تعداد صادر کننده های کارت اعتباری وجود دارد، در صورتی که هر رقم 0 تا 9 بیش از یک بار نیز در شماره ی کارت، قابل استفاده  باشد؟

[106 یا 1000000 امکان برای شناسه های صدور می تواند موجود باشد.]

3. این روش همچنین برای تشخیص بسیاری از جا به جایی های ارقام استفاده می شود. به عنوان مثال، هنگام وارد کردن عدد 5832403، خطای ورود داده، ارقام دوم و سوم را جا به جا می کند: 5382403. دو رقم وجود دارند که در صورت جا به جایی، با استفاده از الگوریتم لوهن قابل تشخیص نخواهند بود. این دو رقم چه هستند؟ شرح دهید چرا این خطا تشخیص داده نمی شود؟

[ارقامی که تشخیص داده نمی شوند، 0 و 9 هستند. این دو عدد یکسان هستند زیرا مقدار این دو رقم، همیشه بدون توجه به مکانشان در شماره حساب، 0 و 9 است. اگر 9 در جایگاه زوج باشد، پس از دو برابر شدن 18 می شود، با حاصل جمع 9=8+1 و 0 در جایگاه فرد بی تأثیر است. از طرف دیگر، اگر 0 در جایگاه زوج باشد، پس از دو برابر شدن، باز هم صفر خواهد بود و هنگامی که با 9 جمع شود، حاصل جمع باز هم 9 خواهد بود. در هر دو حالت، حاصل جمع برابر با 9 است.]

ارزشیابی

یکی از گزینه ها این است که از دانش آموزان بخواهید که به عنوان کار در منزل، برگه های فعالیت را تکمیل کنند. سپس، برای هفته ی آینده از دانش آموزان بخواهید که نمونه هایی را از شماره های کارت های اعتباری که در تبلیغات یا در پست الکترونیک خود می بینند، تهیه کنند و مجاز بودن آن ها را تعیین کنند. این می تواند روش خوبی برای یادآوری این نکته به باشد که استفاده ی غیر قانونی از کارت اعتباری، نوعی جعل محسوب می شود و دارای مجازات قانونی است. شماره ی کارت های اعتباری، مثل شماره های ملی، باید توسط دارنده های آن ها محافظت شوند تا از سرقت در امان بمانند.

یکی دیگر از گزینه ها این است که از دانش آموزان بخواهید که یک نوع معادله ی چک کننده برای یک شرکت کارت اعتباری فرضی، طرح نمایند. این معادله باید سیستمی مشابه با آن چه در کلاس شرح داده شد، داشته باشد ولی با تغییر فاکتور وزنی، پیمانه و تعداد ارقام.

برای حضور در جامعه، دانش آموزان می توانند با یک فرد حرفه ای در یک مؤسسه ی بانکی محلی، مصاحبه کرده و گزارش کوتاهی بر اساس این مصاحبه بنویسند. این گزارش باید به مواردی مانند چگونگی کد گذاری شماره حساب ها، چگونگی فرستاده شدن و انتقال آن اطلاعات و نوع و میزان ایمنی در نظر گرفته شده برای مقابله با سارقین شماره حساب ها، بپردازد.

توسعه

1. دانش آموزان می توانند در مورد تغییر سیستم ISBN از حالت 10 رقمی به حالت 13 رقمی، تحقیق نمایند. دانش آموزان باید دلایل این تغییر و همچنین مزایا و مشکلات احتمالی روش جدید را شرح دهند. همچنین باید مواردی را که در اثر این تغییر، تحت تأثیر قرار می گیرند، تعیین کنند: تجارت، مدرسه ها، کتابخانه ها، شرکت های انتشاراتی و غیره.

2. دانش آموزان می توانند در مورد انواع دیگر کد ها تحقیق نمایند. این کد ها را می توان از موارد زیر تهیه کرد:

کارت های کتابخانه ی اعضای کتابخانه

UPS جهت پیگیری انتقال بسته ها

کد پستی هایی که در خدمات پستی استفاده می شود

دانش آموزان باید روش تعیین رقم چک کننده ی مورد استفاده در این کد ها و بلوک های مختلف احتمالی اعداد این کد ها را مشخص کنند.

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

چگونه می فهمید که دانش آموزان، مباحث گفته شده در کلاس را درک کرده اند؟

این درس، نشان دهنده ی نقش مهم ریاضیات در مواردی است که میلیون ها نفر هر روز از آن ها استفاده می کنند. آیا دانش آموزان برای ریاضیات، ارزش قابل توجهی قائل شدند؟ آیا آن ها نسبت به یادگیری در مورد این که چگونه ریاضیات در بخشی از زندگی روزانه مورد استفاده قرار می گیرد، علاقه مند شدند؟

چه دروس دیگری می تواند نشان دهنده ی استفاده ی عملی ریاضیات باشد؟

از چه روش های گروه بندی برای این درس استفاده کردید؟ گروه های 2، 3 و یا 4 نفره؟ آیا روش گروه بندی شما مؤثر بود؟ چه مواردی را در دفعات بعدی تغییر خواهید داد؟

آیا مفاهیم درس، واقعی و یا غیر واقعی بودند؟ شما چگونه آن ها را تغییر می دهید؟

آیا هنگام درس دادن، مواردی را اصلاح کردید؟ چه اصلاحاتی صورت دادید؟ آیا اصلاحات شما مؤثر بودند؟

مترجم: مینا نقش نژاد