قضیه ی پیک به عنوان دستگاه معادلات
اهداف
دانش آموزان پس از تکمیل این درس می توانند:
سه شکل بسازند و تعداد نقاط محیطی، نقاط درونی و مساحت آن را پیدا کنند.
از داده ها برای ایجاد دستگاه معادله استفاده کنند.
با کمک روابط جبری، دستگاه معادلات را حل کرده و ضریب قضیه ی پیک را بیابند.
وسایل لازم
تخته ی میخی و نوارهای لاستیکی (یا چیزی شبیه به آن)
طرح درس
مسئله ی اصلی در این درس، تعیین مقادیر ضرایب و عبارت ثابت در قضیه ی پیک است. به ویژه، تعیین مقادیر ضرایب a و b و نیز ثابت c در معادله ی زیر:
c + (تعداد میخ های داخلی) b + (تعداد میخ های محیطی) a = مساحت
یا به شکل ساده تر:
A = aP + bI + c
شاید بهتر باشد ابتدا درباره ی تفاوت میان ضرایب a، b و c و متغیرهای P و I بحث کنیم. دانش آموزان باید بدانند که a، b و c فقط علایمی برای نمایش کلی مقادیری هستند که در مسئله ای خاص، معلومند، در حالی که P و I مجهول های واقعی اند.
این مسئله مانند تعیین سهمی با سه نقطه ی معلوم است. اما به نظر می رسد این فعالیت برای بیشتر دانش آموزان جالب تر است.
از دانش آموزان بخواهید تا بر روی تخته ی میخی سه شکل مختلف بسازند که تعداد نقاط محیطی، تعداد نقاط درونی و مساحت آن ها با هم متفاوت باشد. (دانش آموزان می توانند از تخته ی میخی، کاغذهای نقطه چین و یا اپلت تخته ی میخی استفاده کنند.) همان گونه که در بخش کشف الگوی قضیه ی پیک اشاره شد، مشکل ترین بخش، تعیین صحیح مساحت است. ممکن است در این مرحله، دانش آموزان برای اطمینان از درستی محاسبات خود، پاسخ های هم کلاسی های خود را امتحان کنند.
دانش آموزان با سه شکل و مقادیر P، I و A مربوط به این اشکال، می توانند یک دستگاه سه معادله ای ایجاد و آن را حل کنند.
برای مثال، سه شکل با مقادیر زیر را در نظر بگیرید:
با این مقادیر، دستگاه سه معادله ای زیر حاصل می شود:
P = 4, I = 0, A = 1
P = 8, I = 1, A = 4
P = 8, I = 4, A = 7
که می توان آن را به شکل زیر نوشت:
1 = a(4) + b(0) + c
4 = a(8) + b(1) + c
7 = a(8) + b(4) + c
به عبارت دیگر، a = 1/2، b = 1 و c = -1 .بنابراین قضیه ی پیک به صورت زیر است:
1 =(a(2) + b(0) + c(0
1 = (a(0) + b(1) + c(0
1 = (a(0) + b(0) + c(-1
علاوه بر روشی که در بالا استفاده شد، روش ترکیب خطی یا ماتریس ها را نیز می توان به کار برد. (در روش ماتریس ها، استفاده از ماشین حساب گرافیکی مفید است). دستگاه معادلات به شکل ماتریسی، به صورت زیر نشان داده می شود:
برای یافتن ضرایب، به صورت زیر، معکوس ماتریس ضرایب را در ماتریس اعداد ثابت ضرب کنید. با این کار نتایج زیر حاصل می شود:
همان طور که این رابطه نشان می دهد، a = 1/2، b = 1 و c = -1 است.
سپس از دانش آموزان بخواهید تا شکل های یکدیگر را امتحان کنند تا مطمئن شوند معادله هایشان درست جواب می دهد. ممکن است در هنگام انجام عملیات ریاضی، دستگاه معادلات یا تعیین مساحت اولیه اشتباهاتی رخ دهد که هر کدام از اشتباهات باعث ایجاد فرمول نادرستی می شود.
پرسش هایی برای دانش آموزان
همان طور که مشاهده کردید، تنها تعداد نقاط محیطی و نقاط درونی برای تعیین مساحت اشکال مورد استفاده قرار گرفت، پس چرا سه متغیر در معادله وجود دارد؟
[متغیر سوم، ثابت معادله را نشان می دهد. این متغیر، ضریب نیست.]
چرا از شما خواسته شد تا سه شکل بسازید. آیا می توان این فعالیت را با دو شکل انجام داد؟ با چهار شکل چطور؟
[در معادله، سه مجهول a، b و c وجود دارد. برای تعیین مقادیر سه مجهول، حداقل به سه معادله نیاز است؛ بنابراین دو شکل کافی نیست. با چهار شکل، می توان به نتیجه رسید ولی یک شکل، اضافی است.]
حالتی را توضیح دهید که یکی از دانش آموزان ممکن است تصور کند سه شکل مجزا ساخته؛ اما در واقع فقط دو شکل ساخته است. یعنی در چه حالتی، دانش آموز فکر می کند مثال کافی دارد، اما نمی تواند دستگاه معادله را حل کند؟
[ممکن است در اشکالی که دانش آموز استفاده می کنند، تعداد نقاط درونی و محیطی یکسان باشد. اگر این اشکال تنها به ظاهر متفاوت باشند و مقادیر P و I برای هر دو یکسان باشد، دستگاه بی نهایت جواب دارد. برای مثال، دو شکل زیر را که در هر دو P = 4 و I = 1 است در نظر بگیرید:
معادله ی حاصل از هر دو شکل 2 = 4a + b + c است؛ بنابراین این معادله، دو بار در سیستم ظاهر می شود. اگر این دو معادله را از هم کنید، معادله بی معنی 0 = 0 نتیجه می شود.]
ارزشیابی
از دانش آموزان بخواهید تا در نامه ای، فنون کاربردی در این درس، دلیل کاربرد آن ها و اشتباهاتی را که باید در تولید این دستگاه معادلات از آن ها اجتناب کرد، برای یکی از دانش آموزان غایب توضیح دهند.
توسعه
از دانش آموزان بخواهید تا دو نقطه روی صفحه انتخاب کنند و شیب خط و عرض از مبدأ خط حاصل از این دو نقطه را تعیین کنند. معادله ی این خط به صورت زیر است: y = ax + b. بنابراین با داشتن مقادیر x و y و جایگزین کردن آن در معادله، می توان a و b را یافت. با این کار می توان بحث خوبی را درباره ی این که چرا برای تعیین یک خط، داشتن دو نقطه الزامی است، بین دانش آموزان ایجاد کرد.
با همین روش می توان از سه نقطه برای تعیین ضرایب سهمی استفاده کرد. معادله ی سهمی به صورت زیر است: y = ax2 + bx + c . دانش آموزان می توانند با جایگزین کردن x و y در معادله، a، b و c را بیابند.
بررسی اجرای طرح درس در کلاس
آیا دانش آموزان متوجه شده اند که برای یافتن سه مجهول به سه معادله نیاز است؟ اگر نه، چه راهی پیشنهاد می کنید تا دانش آموزان این مسئله را بفهمند؟
آیا دانش آموزان مفهوم ضریب c، ثابت معادله و نقش آن در معادله را فهمیده اند؟ در بسیاری از موارد، آن ها تصور می کنند نیازی به محاسبه ی c نیست، زیرا تنها P و I به ضریب نیاز دارند؟ چگونه می توان مفهوم ثابت معادله را به دانش آموزان توضیح داد؟
آیا دانش آموزان در تمام مدت درگیر فعالیت بودند یا انتقال از تخته ی میخی به دفتر و مداد، موجب شد تا سرعت آن ها پایین بیاید؟ اگر بخواهید دوباره این فعالیت را انجام دهید، چگونه این مسئله را حل می کنید؟
مترجم: راضیه کریمی
