آهنگ تغییر در قضیه ی پیک

دانش آموزان از صفحه ی گسترده برای بررسی آهنگ تغییر در میان اشکال مختلف ایجاد شده بر روی تخته ی میخی استفاده می کنند. به کمک آهنگ تغییر، به راحتی می توان ضریب قضیه ی پیک را پیدا کرد.

اهداف

پس از اتمام این درس دانش آموزان می توانند:

صفحه ی گسترده ای برای بررسی قضیه ی پیک ایجاد کنند.

با تغییر مقادیر سطر و ستون به دنبال تفاوت مساحت ها بوده و با کمک آن درباره ی آهنگ تغییر بحث کنند.

وسایل لازم

تخته ی میخی و نوار لاستیکی (یا وسیله ی دیگری)

صفحه ی گسترده ی قضیه ی پیک

رایانه با برنامه ی صفحه گسترده (اختیاری)

هدف این درس، کاربرد صفحه ی گسترده به عنوان ابزار مشاهده ی الگوها در چندین خانه ی جدول است. از آن جا که مساحت به دو متغیر یعنی تعداد نقاط داخلی و محیطی وابسته است، استفاده از شیوه ی ارائه صفحه ی گسترده، طبیعی است.

وقتی از تخته ی میخی فیزیکی استفاده می کنید، دانش آموزان به طور طبیعی بر روی نقاط محیطی متمرکز می شوند، زیرا افزایش مقادیر نقاط محیطی آسان تر از افزایش نقاط داخلی است. وقتی از صفحه ی گسترده استفاده می کنید، دانش آموزان ابتدا تأثیر نقاط داخلی را مشاهده می کنند.

کلاس را گروه بندی کنید و از هر گروه بخواهید صفحه ی گسترده ای ایجاد کرده و مقادیر نقاط محیطی را در سطر اول و مقادیر نقاط داخلی را در ستون اول درج کنند. وقتی دانش آموزان می فهمند با مقدار 0، 1و 2 برای نقاط داخلی، هیچ شکلی نمی توانند بسازند، بحث گرمی بین آن ها ایجاد می شود. بعد از آن، می فهمند که مقادیر نقاط داخلی را باید از 3 شروع کرد. اما شکل های مختلفی با مقدار صفر برای نقاط داخلی می توان ساخت. بنابراین مقادیر نقاط داخلی از صفر شروع می شود. دانش آموزان می توانند با استفاده از برنامه ی اکسل، Quattro یا دیگر برنامه های کاربردی برای ایجاد صفحه ی گسترده بر روی رایانه، صفحه ی گسترده ای بسازند یا این که از برگه ی فعالیت صفحه ی گسترده ی پیک استفاده کنند. (با استفاده از برنامه ی ایجاد صفحه ی گسترده در رایانه، دانش آموزان پس از تعیین الگو، می توانند باقی ستون ها را به طور خودکار پر کنند.)

ممکن است گروه ها بخواهند خانه های جدول را به طور نامنظم پر کنند یا آن که به صورت منظم و به ترتیب، ابتدا سطرها و سپس ستون ها را پر کنند. البته با استفاده از روش منظم، زودتر می توان به فرضیه ی آهنگ ثابت تغییر رسید. در شکل زیر نتایج به صورت منظم و مرتب نشان داده شده است.

پس از این که دانش آموزان حدس زدند که افزایش مقادیر خانه های هر سطر به اندازه ی 2/1 واحد و مقادیر خانه های هر ستون به اندازه ی 1 واحد است، از آن ها بخواهید تا عددی را وارد جدول کنند و ببینند آیا مساحت شکلی با این اندازه ها، برابر با مقدار پیش بینی شده است یا نه. برای مثال، ممکن است یکی از دانش آموزان با توجه به الگو، حدس بزند که مساحت شکلی با 11 نقطه ی محیطی و 9 نقطه ی داخلی 2/1 13 واحد سطح است. اعضای گروه باید چنین شکلی را یافته و درستی یا نادرستی حدس دوست خود را ثابت کنند.

پس از آن که دانش آموزان با موفقیت الگو را تمرین کردند، از همه بخواهید تا در مورد آهنگ تغییر بحث کنند. سپس از گروه ها بخواهید تا با علایم جبری، برای الگوی خود، فرمولی به دست بیاورند. اگر دانش آموزان، درس های قبلی این مجموعه یعنی قضیه ی پیک به عنوان یک دستگاه معادلات و کشف الگوی قضیه ی پیک را مطالعه نکرده باشند، یافتن این فرمول برایشان دشوار خواهد بود. اما اگر این دروس را مطالعه کرده باشند، به سرعت می توانند این فرمول را به دست آورند. توجه به ضریب P می تواند بحث داغی بین دانش آموزان ایجاد کند.

با توجه به این که این ضریب، آهنگ تغییر را نشان می دهد می توان آن را به صورت r/s نشان داد که r تغییر در مساحت و s تغییر در تعداد نقاط محیطی است.

بنابراین، هر وقت تعداد نقاط محیطی به اندازه ی 1 واحد زیاد می شود، ضریب P نشان دهنده ی 2/1 واحد مربع تغییر در مساحت است. یعنی:

به همین ترتیب هر بار که تعداد نقاط داخلی به اندازه ی 1 واحد زیاد می شود، مساحت به اندازه ی 1 واحد مربع افزایش می یابد. پس ضریب P یک است. با این حساب فرمول به صورت زیر است: A = 1/2 P + 1 I . دانش آموزان با توجه به الگوها می فهمند که مساحت هر شکل 1 واحد کم تر از مقداری است که با فرمول محاسبه می شود. پس شکل صحیح فرمول به شکل زیر است:

A = 1/2 P + I - 1

در کلاس جبر یا حسابان، ساخت فرمول و بحث درباره ی شیب، نقطه ی توقف خوبی است. در کلاس حسابان که فضا برای تشریح مفهوم مشتق جزیی آماده است، پرسش های زیر را مطرح کنید: "مفهوم این که یک متغیر را ثابت نگه می داریم و متغیر دیگر را تغییر می دهیم، چیست؟"

محاسبه ی مشتق جزیی، بخشی از معرفی و توضیح موضوع است. معادله ی A = 1/2 P + I – 1 داده شده است. اگر I ثابت نگه داشته شود، مشتق جزئی A نسبت به P، برابر با 2/1 می شود. این نتیجه، همان پدیده ای است که دانش آموزان در صفحه ی گسترده به آن می رسند. به همین روش اگر P ثابت نگه داشته شود، مشتق جزیی A نسبت به I، برابر با 1 می شود. البته چون قضیه ی پیک پیوسته نیست، نمی توان از آن مشتق جزئی گرفت. اما مثال و بحث در مورد ثابت نگه داشتن یک متغیر در حالی که متغیر دیگر می تواند تغییر کند، م?ثر است. این موضوع را می توان برای ایجاد بحث داغی درباره ی پیوستگی به کار برد.

پرسش هایی برای دانش آموز

چه مقادیری برای P قابل قبول است؟ چه مقادیری برای I قابل قبول است؟

[هیچ شکلی را نمی توان با کم تر از سه نقطه ی محیطی درست کرد. بنابراین مقادیر 0، 1 و 2 برای P قابل قبول نیست. از سوی دیگر، با هر تعداد نقاط داخلی، می توان شکلی ساخت. بنابراین همه ی مقادیر صحیح برای I قابل قبول است.]

بهترین روش برای پر کردن صفحه ی گسترده چیست؟

[با توجه به این که تعداد الگوها در این جا محدود است، تکمیل سطرها و ستون های این جدول آسان است. دانش آموزان باید توجه کنند که مقادیر به اندازه ی 2/1 از یک ستون به ستون بعدی و به اندازه ی 1 از هر سطر به سطر بعدی افزایش می یابد. با این اطلاعات تکمیل صفحه ی گسترده آسان تر می شود.]

آهنگ تغییر در معادله ی ریاضی چگونه است؟

[ضریب 2/1 در جلوی P، نشان می دهد که با افزایش تعداد نقاط داخلی به اندازه ی 1 واحد، مساحت به اندازه 2/1 در تعداد نقاط داخلی افزایش می یابد. به همین ترتیب، ضریب 1 در جلوی I نشان می دهد که با افزایش تعداد نقاط محیطی به اندازه ی 1 واحد، مساحت به اندازه ی 1 واحد مربع افزایش می یابد.]

ارزشیابی

1-از دانش آموزان بخواهید تا نامه ای به دوست غایب خود بنویسند و ضمن راهنمایی برای انجام این فعالیت، مفاهیم کلیدی و روش های جلوگیری از اشتباه را برای وی توضیح دهند. از آن ها بخواهید تا مطالب را با ادبیاتی بنویسند که هم کلاسی شان درس را بفهمد و در صورت لزوم می توانند از مثال استفاده کنند.

2-پرسش هایی مطرح کنید که دانش آموزان مجبور شوند برای حل آن، به جای فرمول نهایی از آهنگ تغییر استفاده کنند. برای مثال "فرض کنید مساحت شکلی 2/1  4 است. اگر شکل دیگری با همان تعداد نقاط محیطی و با تعداد نقاط داخلی که 1 واحد از تعداد نقاط محیطی آن بیشتر است، بسازیم، مساحت آن چه قدر می شود؟" دانش آموزان را تشویق کنید تا بدون مراجعه به صفحه ی گسترده به این پرسش پاسخ دهند. پس از آن بپرسید: "مساحت شکلی با 10 نقطه ی داخلی بیشتر چقدر است؟ " سپس امتحانی کوتاه با پرسشی درباره ی کاربرد آهنگ تغییر برای نقاط محیطی بگیرید و از آن ها بخواهید تا راه حل مسئله را کامل بنویسند.

توسعه

1-ممکن است دانش آموزان بخواهند بعضی از ستون یا سطرهای جدول را رنگی کنند تا بعضی از الگوها را متمایز کنند. از این کار می توان برای ترسیم نمودار معادله با دو متغیر مستقل استفاده کرد. از دانش آموزان بخواهید تا از مکعب ها برای ایجاد ارتفاع در خانه های جدول صفحه ی گسترده استفاده کنند. این کار، درک مفهوم سرعت تغییر را با تغییر سطرها و ستون ها تقویت می کند.

2-از دانش آموزان بپرسید: "چه کسی می تواند این فعالیت را طوری کامل کند که آهنگ تغییر در خطی مانند y = 3x – 5

یا y = -3/4 x + 1 را نشان دهد؟" این کار کمک می کند تا درک دانش آموزان از مفهوم آهنگ تغییر تقویت شده و دانش آموزان میان این مفاهیم و مفاهیم پیشین ارتباط برقرار کنند.

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

آیا فناوری آموزشی صفحه ی گسترده نیازهای آموزشی را به صورت کامل برطرف می کند؟ آیا دوباره از این فناوری استفاده می کنید یا این فعالیت را بر روی کاغذ انجام می دهید؟

آیا دانش آموزان جدول را به صورت نامنظم پر کردند؟ آیا این کار مفید است یا باید آن ها را به سمت رهیافت منظم تری هدایت کرد؟

چگونه انتقال الگوی صفحه ی گسترده به معادله ی ریاضی، کار را ساده تر می کند؟

دانش آموزان در بحث آهنگ تغییر با چه مشکلاتی مواجه شدند؟ چگونه می توان به آن ها کمک کرد تا بیشتر درگیر بحث شوند؟

مترجم:‌راضیه کریمی