جعبه ی بسته بندی های آب میوه
در درس های قبلی، دانش آموزان با روشی از چینش قوطی ها آشنا شدند که قوطی ها روی طبقه چیده می شدند. در این درس، روشی را بررسی می کنند که قوطی ها در جعبه ای با دو وجه عمودی چیده می شوند. دانش آموزان به نتایج جالبی خواهند رسید و ثابت می کنند که این نتایج واقعی است.
اهداف
دانش آموزان:
ترتیب چینش قوطی های آب میوه را در جعبه ای که دو وجه عمودی دارد، بررسی می کنند و به هر نتیجه ی جالبی که رسیدید، یادداشت می کنند.
فرضیه هایشان را در مورد نتایج جالبی که به دست می آورند، اثبات می کنند.
وسایل لازم
طرح درس
در درس قبلی، دانش آموزان با روشی از چینش قوطی های آب میوه آشنا شدند که بتوانند مقدار فضایی را که اشغال می کنند، محاسبه کنند. در این درس، روشی از چینش را بررسی می کنند که اساس این درس است:
قوطی های آب میوه در جعبه ای چیده شده اند که کمی بیشتر از چهار قوطی جا دارد اما گنجایش آن به اندازه ی پنج قوطی هم نیست. اولین ردیف این چهار قوطی ته جعبه (قرمز) قرار می گیرد؛ در ردیف دوم، سه قوطی روی ردیف اول قرار می گیرد (سبز)؛ در ردیف سوم، چهار قوطی روی ردیف بعدی قرار می گیرد (نارنجی) و سرانجام یک ردیف سه تایی از قوطی ها در بالا قرار می گیرد (آبی).
برای این که این موقعیت را نشان دهیم، جعبه ای که کمی بزرگ تر از چهار قوطی آب میوه باشد، بردارید و جعبه را با قوطی هایی که در بالا توضیح دادیم، پر کنید. دانش آموزان هم می توانند چنین موقعیتی را درست کنند. می توانند با استفاده از مقوا طرح جعبه را شکل دهند بعد از سکه یا چیز های گرد دیگری استفاده کنند.
اگر دسترسی به کامپیوتر و اینترنت مهیا است، دانش آموزان می توانند از فعالیت قوطی های آب میوه استفاده کنند.
دانش آموزان، صرف نظر از روش هایی که برای بررسی این موقعیت به کار گرفته می شود، باید ترتیب چیدن را بررسی کنند و نتایج جالبی را که به دست می آورند، یادداشت کنند. یک روش مؤثری برای انجام این کار این است که به دانش آموزان اجازه دهیم چند دقیقه ای این کار را به تنهایی انجام دهند. سپس در گروه های دو نفره، درباره ی عقایدشان صحبت کنند و سرانجام عقایدشان را در یک بحث کلاسی مطرح کنند. ممکن است با این روش، نتایج جالبی به دست بیاید.
فهرستی از نتایج بحث دانش آموزان تهیه کنید. پس از این که تمام عقایدشان ثبت شد، می توانید درباره ی آن ها بحث کنید و ببینید کدام عقیده برای کلاس جالب تر است. دو نمونه ای که ظاهراً همیشه برای دانش آموزان جالب تر است، موارد زیر هستند:
- سه قوطی در ردیف بالا همیشه یک خط راست را تشکیل می دهند. صرف نظر از این که قوطی های ردیف پایین چطور چیده شده اند، وقتی نیروی جاذبه، قوطی های دیگر را به سمت پایین می کشد، همیشه یک نتیجه به دست می آید.
- گروه های سه تایی قوطی ها نیز هم راستا هستند. دو تا از این گروه ها در زیر نشان داده شده، بقیه را هم می توان پیدا کرد.
پس از آن که چنین مطالبی مشخص شد، شاید بخواهید به دانش آموزان اجازه دهید تا به تنهایی بررسی کنند. اگردانش آموزان، به تنهایی به چنین نتایجی نرسیدند، به زمان نیاز دارند تا قانع شوند که این نتایج درست است.
پس باقی ساعت کلاس، به این خواهد گذشت که این نتایج همیشه به دست می آید. به خصوص، دلیلی از اولین واقعیت بالا در این جا ارائه شده، اگر چه برای اثبات آن باید نشان داد که گروه های دیگری از قوطی های سه تایی، هم راستا هستند و این نکته به عنوان اولین قدم در اینجا نشان داده شده است.
قبل از به دست آوردن دلیل، جالب است درباره ی این که چه حقایقی معلوم شده اند، صحبت کنیم. این کار فرصتی برای دانش آموزان مهیا می کند تا فهرستی از موارد "داده شده" تهیه کند. مثلاً دانش آموزان باید توجه کنند که هر دایره بر دو خط و یک دایره؛ به یک خط و دو دایره، یا به چهار دایره ی دیگر مماس است. (توجه داشته باشید دایره هایی که در بالای تصویر هستند در این معیار ها نمی گنجند، اما اگر این ترتیب چینش با دایره های بیشتری در بالای آن ها ادامه پیدا می کرد، آن ها هم در این معیار می گنجیدند. این واقعیت به درستی حقایق دیگری منجر می شود، به خصوص این که اتصال مرکز دایره های مجاور، چند لوزی را شکل می دهد که طول هر ضلعشان با دو شعاع برابر است. (بسیار اتفاق می افتد که زوج های مختلف از این لوزی ها، هم نهشت باشند. گاهی دانش آموزان بر اساس مشاهده به این نتیجه می رسند که لوزی ها هم نهشت هستند ولی این نتیجه باید اثبات شود. اما این هم باید ثابت شود. بعضی از لوزی ها که به نظر می رسد هم نهشت هستند، در واقع هم نهشت نیستند.)
شاید بخواهید به کمک دانش آموزان، فهرستی از مشاهدات را درست کنید. به خصوص مشاهدات زیر در اثبات این که X و Y و Z هم راستا هستند، مفید است:
- تمام دایره ها هم نهشت هستند.
- هر دایره ای بر خط و دایره ی مجاورش مماس است. (توجه داشته باشید که این واقعیت، نتیجه ی نیروهای فیزیکی است. نیروی جاذبه باعث می شود هر قوطی آب میوه به ضلع پایینی جعبه یا قوطی های پایین آن بیفتد.)
- طول پاره خطی که از اتصال مراکز دایره های مماس ایجاد می شود، برابر دو شعاع است.
با توجه به این مشاهدات، دانش آموزان باید بتوانند مشخص کنند که چه چیزی را ثابت می کنند. دسته بندی افکارشان، آن ها را به این مسئله هدایت می کند.
قضیه: چهارده دایره ی هم نهشت در یک مستطیل قرار می گیرد. هر دایره بر دایره یا خط مجاور، مماس است.
حکم: X و Y و Z هم راستا هستند.
وقتی این مسئله را مطرح کردید، به دانش آموزان فرصت دهید تا به دنبال دلیل بگردند. برای این مسئله، با توجه به پایه ی درسی دانش آموزان، چندین راه وجود دارد. اولین راه این است که بگذارید به تنهایی یا گروهی در فرصت باقی مانده از ساعت کلاس، به دنبال دلیل بگردند. اگر دلیلی پیدا نکردند، می توانند آن را به عنوان تکلیف شب همراه ببرند. در جلسه ی بعد می توان تمام مشاهدات را جمع آوری کرده و دلیل را از پیدا کرد. شما هم می توانید دانش آموزان را در این مرحله راهنمایی کنید. اگر خواستید راهنمایی شان کنید، باید نتایج دلیل، به دست آمده از پیشنهادات دانش آموزان باشد نه از عقاید خودتان. بگذارید دانش آموزان برای ادامه ی کار، در مورد چیزهای جالبی که متوجه می شوند و روش هایی که ممکن است مؤثر باشد، پیشنهاداتی بدهند.
وقتی تصمیم می گیرید قالبی را اجرا کنید، آن را روی درس پیاده کنید. یک روش اثبات در زیر آورده شده، اما مسلماً روش های دیگری نیز وجود دارد.
در تصویر بالا، حروف کوچک، اندازه ی زاویه را نشان می دهد.
نزدیک به گوشه ی پایینی سمت چپ نمودار، حرف y نشان دهنده ی اندازه ی یکی از زوایای مثلث است. دو زاویه ی دیگر از این مثلث برابر با y (چون این مثلث متساوی الساقین است.) و 180 – 2y (زیرا مجموع زوایای داخلی مثلث 180 درجه است.) است.
در زیر این مثلث یک پنج ضلعی متقارن با دو زاویه ی قائمه است، چون اندازه ی زاویه ی اصلی y است، اندازه ی زاویه ی مجاور به آن در پنج ضلعی که در همان راستا قرار می گیرد،180 - y است. بنا به تقارن، اندازه ی زاویه ی ضلع دیگر این پنج ضلعی هم 180 - y می شود. مجموع زوایای یک پنج ضلعی 540 درجه است، بنابراین اندازه ی زاویه ی بالایی پنج ضلعی با 2y برابر خواهد بود:
این، نتیجه ی بسیار مهمی است. زیرا اندازه ی این زاویه 2y است، اندازه ی زاویه ی مجاور به آن 180 – 2y می شود، تا مجموع زوایا 180 درجه شود. این ثابت می کند که سه نقطه در طول پاره خط سبز، هم راستا هستند. زیرا دو لوزی هم نهشت با دو پاره خط سبز مجاور شده اند، نقاط P , Q , X نیز در طول پاره خط سبز دیگر هم راستا هستند.
چنین استدلالی را می توان برای پاره خط آبی در سمت راست نمودار ارائه داد. به این ترتیب، P , R , Z نیز هم راستا هستند.
می توان با استفاده از مثلث XPZ نشان داد که نقطه ی Y نقطه ی میانی XZ است. با اثبات این امر، می توان به این نتیجه رسید که نقاط X و Y و Z هم راستا هستند.
نقاط Q و R به ترتیب نقاط میانی PX و PZ هستند. (توجه کنید این، نتیجه ی هم راستایی است که در بالا ثابت شد که ثابت می کند Q و R در طول اضلاع مثلث قرار می گیرند. آن ها نقاط میانی هستند، زیرا فاصله با هر رأس مجاور برابر با دو شعاع است.) در نتیجه QR با XZ موازی است. علاوه بر این YQ=RZ زیرا طول هر دو، برابر با دو شعاع است. ترکیب این دو نتیجه نشان می دهد که QRZR یک متوازی اضلاع است؛ قطر YR متوازی الاضلاع را به دو مثلث هم نهشت تقسیم می کند. بنابراین QYR = ?ZRY?. استدلالی مشابه این نشان می دهد که XQRY متوازی الاضلاع است و QYR = ?YQX?. در نهایت QYRP یک لوزی است زیرا هر ضلعش برابر با طول دو شعاع است. بنابراین قطر QR لوزی را به دو مثلث هم نهشت تقسیم می کند، بنابراین QYR = ?RPQ?. توجه داشته باشید که این سه مثلث مختلف، با QYR? هم نهشت هستند. در نتیجه تمام چهار مثلث هم نهشت هستند، به عبارت دیگر QYR = ?ZRY = ?YQX = ?RPQ?.
چون هر چهار مثلث هم نهشت هستند، پس، Y نقطه ی میانی XZ است. این ثابت می کند که X,Y,Z هم راستا هستند.
پرسش هایی برای دانش آموزان
چطور می توان نشان داد که سه نقطه، هم راستا هستند؟
[یک روش این است که نشان دهیم یکی از این نقطه ها باید بر خطی که از دو نقطه ی دیگر می گذرد، منطبق باشد. این، روشی است که در متن درس، در قسمتی که نقطه ی Y به عنوان نقطه ی میانی XZ نشان داده شده، استفاده شده است.
روش دیگر این است که دو نقطه ی داده شده را با یک خط راست به هم وصل کنیم. سپس از سه خط استفاده کنیم که با هم موازی اند و هر یک از آن خط ها از یکی از نقطه های داده شده می گذرند. اگر زاویه ی بین خطی که شما رسم کرده اید و هر یک از این خطوط موزای، یکسان باشد، بنابراین نقطه ها هم راستا هستند.]
ارزشیابی
از دانش آموزان بخواهید یک صفحه مجله درست کنند و در آن تمام مشاهدات جالب خود را که در طول این درس دیده اند، بنویسند.
از دانش آموزان بخواهید فهرستی از قضیه هایی را که برای اثبات این مسئله به کار برده اند، درست کنند.
