اهداف آموزش ریاضی

شاید مناسب باشد در زمانی که ریاضی دانان در دانشگاه ها و مؤسسات عالی، تصمیمات مهمی را درباره برنامه ریاضی مدرسه ای می گیرند، حرف های پروفسور جورج پولیا را بشنویم. جورج پولیا، ریاضی دان و استاد برجسته دانشگاه استانفورد بود که اثرات مهمی در  توسعه نظریه احتمالات، نظریه اعداد، نظریه توابع و حساب تغییرات به وجود آورده است. او مؤلف و به وجود آورنده آثار ماندگاری هم چون: چگونه مسأله را حل کنیم، ریاضیات و استدلال های محتمل و خلاقیت ریاضی می باشد. این آثار، دانشجویان را تشویق و ترغیب کرد تا مسأله حل کن، اندیشمند و مستقل شوند. او عضو افتخاری فرهنگستان مجارستان، جامعه ریاضی لندن، جامعه ریاضی سوئیس، و عضو فرهنگستان ملی علوم آمریکا، فرهنگستان علم و هنر آمریکا و شورای ریاضیات کالیفرنیا، و عضو فرهنگستان علوم پاریس بود.

ما دو نوع هدف در مدارس داریم، هدف های خوب و هدف های محدود. مدارس باید افراد بزرگسالی را که واجد شرایط کار و استخدام هستند تربیت کنند، بزرگسالانی که می توانند جای یک شغل خالی را پر کنند. اما هدف متعالی تر، توسعه تمام منابع درونی کودک در حال رشد به گونه ای است که بتواند شغلی به دست آورد که برای او مناسب ترین باشد. پس مجددا تأکید می کنم که هدف متعالی تر، توسعه تمام منابع درونی کودک است.

بخش اول

می‏خواهم با شما درباره تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی صحبت کنم. در واقع، حرف های من شامل دو بخش خواهد بود. در بخش اول درباره اهداف تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی صحبت می کنم، و در بخش دوم، به چگونگی تدریس ریاضی می پردازم.

تدریس، یک علم نیست، بلکه یک هنر است. اگر تدریس یک علم بود، بهترین روش تدریس وجود داشت و همه باید مانند آن، تدریس می کردند. اما چون تدریس یک علم نیست، آزادی عمل بسیار و احتمال بیش تری برای تفاوت های شخصی وجود دارد.

حال درباره تدریس ریاضی چه می توان گفت؟ تدریس ریاضی در مدارس ابتدایی، یک هدف خوب و محدود را دنبال می کند که کاملاً واضح و آشکار است. یک فرد بزرگسال کاملا بی سواد، قابل استخدام شدن در یک جامعه مدرن نیست. هر کسی تا حدودی، باید بتواند بخواند، بنویسد و حساب کند و شاید هم باید اندکی بیش تر از این ها بداند. در نتیجه، هدف خوب و محدود مدارس ابتدایی، تدریس مهارت های حسابی، یعنی جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و شاید کمی بیش تر از این ها، و هم چنین، تدریس کسرها، درصدها، نسبت ها، و شاید بیش تر از اینهاست. هر کسی باید تا حدودی بداند که چگونه می توان طول، مساحت و حجم چیزی را اندازه گرفت. این هدف خوب و محدود مدارس ابتدایی است، یعنی انتقال این دانش و هرگز نباید این را فراموش کنیم.

با این حال، یک هدف متعالی تر هم داریم. می خواهیم که تمام منابع کودک در حال رشد را پرورش دهیم، و نقشی که ریاضی بازی می کند، بیش تر درباره تفکر است. ریاضی یک مکتب تفکر است. اما تفکر چیست؟ برای مثال، تفکری که می توانید در ریاضی یاد بگیرید این است که از پس تجرید برآیید. ریاضی درباره اعداد است. اعداد یک تجرید هستند.وقتی یک مسأله عملی را حل می کنیم، از آن مسأله عملی، ابتدا باید یک مسأله انتزاعی درست کنیم. ریاضی مستقیماً در تجرید کاربرد دارد. قسمتی از این ریاضیات، باید کودک را قادر سازد که حداقل، با تجرید رودررو شود و از عهده ساختارهای انتزاعی برآید. در حال حاضر، ساختار، یک کلمه مورد پسند است.

شما باید تمام شخصیت دانش آموز را پرورش دهید و تدریس ریاضی به خصوص، باید تفکر را پرورش دهد. هم چنین تدریس ریاضی می تواند شفافیت و مداومت را توسعه دهد. اگر چه ریاضی می تواند تا حدودی، منش را پرورش دهد، اما مهم ترین نقش آن، توسعه تفکر است.

اما نکته ای هست که حتی از این هم مهم تر است. همان طور که می دانید، ریاضی یک ورزش بدون تماشاگر است. فهمیدن ریاضی به معنی انجام دادن ریاضی است، اما انجام دادن ریاضی به چه معنی است؟ در وهله اول، انجام دادن ریاضی یعنی توانایی حل مسایل ریاضی. برای اهداف متعالی تر، تعدادی شیوه های عمومی برای مسایل وجود دارد، داشتن یک طرز فکر و تلقی صحیح نسبت به مسایل و توانایی حمله به همه نوع مسأله، نه فقط مسایل خیلی ساده که با مهارت های کسب شده در مدارس ابتدایی قابل حل هستند، بلکه مسایل پیچیده تر مهندسی، فیزیک و غیره که در دبیرستان، گسترده تر خواهند شد. اما مبانی آن، می تواند از مدارس ابتدایی شروع شود. به این ترتیب، نکته اساسی در مدارس ابتدایی، آشنا کردن کودکان با تاکتیک های حل مسأله است، نه این که این نوع مسأله یا آن نوع مسأله را حل کنند و یا این که تقسیمات متوالی و مانند آن را انجام دهند، بلکه به این معنا که یک طرز تلقی عمومی برای حل مسأله در کودکان ایجاد کنیم.

بخش دوم

چون تدریس یک علم نیست، آزادی عمل بسیار و احتمال بیش تری برای تفاوت های شخصی وجود دارد. در یک دست نوشته قدیمی بریتانیایی، جمله زیر وجود داشت، " موضوع هر چه باشد، آن چه که معلم واقعا درس می دهد، مختص خودش است. "

به تعداد معلمان خوب، تدریس های خوب وجود دارد. شاید اولین نکته ای که همگان قبول دارند، این باشد که تدریس باید فعال باشد، یا به عبارت صحیح تر، یادگیری باید فعال باشد، که این، اصطلاح بهتری است.

شما نمی توانید تنها به وسیله خواندن، یاد بگیرید. نمی توانید تنها با گوش کردن به سخنرانی ها، یاد بگیرید. نمی توانید تنها با نگاه کردن به فیلم ها، چیزی یاد بگیرید. شما باید از عمل و ذهن خود چیزی به آن ها اضافه کنید تا یاد بگیرید. می توانید این روش را روش سقراطی بنامید، چرا که در دو هزار سال پیش، سقراط می گفت که فکر و ایده، باید در ذهن دانش آموز زاده شود و معلم باید به عنوان یک ماما عمل کند .اندیشه باید در ذهن دانش آموز به صورت طبیعی زاده شود و ماما نباید زیادی و پیش از موعد مقرر دخالت کند. اما اگر وضع حمل طول بکشد، ماما باید دخالت کند. این یک اصل بسیار قدیمی است و یک اسم مدرن برای آن وجود دارد؛ روش اکتشافی. دانش آموز به وسیله عمل، خودش یاد می گیرد. مهم ترین عمل، نوعی از یادگیری است که خود، آن را کشف کنید. این مهم ترین قسمت تدریس خواهد بود. یعنی اگر شما خودتان چیزی را کشف کنید، آن یادگیری ماندگارتر است و درک آن نیز، عمیق تر است.

اصول دیگری هم برای تدریس وجود دارد. اگر شما کلمه اصول را دوست ندارید، از واژه " قوانین سرانگشتی" استفاده کنید. یادگیری باید فعال باشد. اصل دیگری که به وسیله تمام مربیان بزرگ و معروف؛ به وسیله سقراط، افلاطون، کمنیوس، مونته سوری  گفته شده است، وجود اولویت های خاص است. برای مثال، اشیا قبل از کلمات ظاهر می شوند و نظایر آن. این جمله بارها و بارها و در اشکال مختلف، بیان شده است. اما اجازه دهید از کانت نقل قول کنم که گفت: " تمام شناخت انسان، با شهود آغاز می شود، سپس به فهم و درک منجر شده و بالاخره به ایده ها ختم می شود. یادگیری با عمل و آگاهی شروع می شود، به کلمات و مفاهیم می رسد و باید به عادت های ذهنی خوب،ختم شود.

این، هدف عمومی تدریس ریاضی است، توسعه عادت های ذهنی خوب در هر دانش آموز تا حد امکان، به طوری که از پس هر نوع مسأله برآید.

پس " می شنوم و فراموش می کنم." چیزهایی که فقظ می شنوید، سریع فراموش می کنید. نصیحت خوب، به سرعت فراموش می شود. چیزهایی که با چشمان خودتان می بینید، بهتر به خاطر آورده می شود، اما وقتی که آن را با دست های خودتان انجام می دهید، واقعاً آن را درک می کنید. بنابراین، شعار این است که:

شما باید تمام شخصیت دانش آموز را پرورش دهید و تدریس ریاضی به خصوص، باید تفکر را پرورش دهد. هم چنین تدریس ریاضی می تواند شفافیت و مداومت را توسعه دهد. اگر چه ریاضی می تواند تا حدودی، منش را پرورش دهد، اما مهم ترین نقش آن، توسعه تفکر است.

نظر من این است که مهم ترین قسمت تفکر که در ریاضی پرورانده می شود، طرز تلقی صحیح در برخورد با مسأله ها و دست و پنجه نرم کردن با آن هاست. مسایلی در زندگی روزانه داریم. مسایلی در علوم داریم. مسایلی در سیاست داریم. همه جا مسایلی داریم. طرز تلقی صحیح نسبت به تفکر، ممکن است از حیطه ای به حیطه دیگر متفاوت باشد، با این حال، ما فقط یک سر داریم، و بنابراین، طبیعی است که بالاخره، باید فقط یک روش برای دست و پنجه نرم کردن با انواع مسایل وجود داشته باشد.

نظر شخصی من این است که نکته اصلی در تدریس ریاضی، رشد و توسعه تاکتیک های حل مسأله است.

در تمام جهت گیری های تدریس ریاضی که اکنون موسوم هستند و تأثیر گذار هم می باشند، دو اصل یادگیری فعال، اولویت عمل و آگاهی، مورد توجه قرار گرفته اند.

بنابراین امروز، مدارس مخصوصاً مدارس ابتدایی، در حال تطور و تکامل هستند. در حال حاضر، درصد قابل توجهی، حدود ده تا بیست درصد مدارس، روش جدیدی برای تدریس دارند که می توان در مقایسه با روش قدیمی تدریس، ویژگی های آن را به صورت زیر بیان کرد: شیوه قدیمی تدریس، آمرانه و معلم محور است، شیوه جدید تدریس، منعطف و دانش آموز محور است. در زمان های قدیم، معلم در مرکز یا جلوی کلاس بود. همه به او و چیزی که می گفت، نگاه می کردند. امروزه، تک تک دانش آموزان باید در مرکز کلاس باشند، و باید اجازه داشته باشند که هر ایده خوبی را که به ذهنشان می رسد، انجام دهند. باید به آن ها اجازه داد تا این ها را به روش خودشان و به تنهایی یا در گروه های کوچک، دنبال کنند. اگر در بحث کلاسی، دانش آموزی ایده جالبی داشت، در آن صورت، معلم برنامه خود را عوض می کند و وارد آن ایده خوب می شود و پس از آن، کلاس، آن ایده را ادامه می دهد.

در یک چنین کلاس منعطف و دانش آموز محوری، هر گروه از بچه ها کار متفاوتی انجام می دهد. آن ها بازی می کنند ( آن ها فکر می کنند که بازی می کنند، اما در واقع در حال یادگیری هستند. )

معلم به آن ها مواد مختلف می دهد. مدت زمان کلاس، شامل دادن مواد گوناگون به بچه هاست. آن ها بازی می کنند و ایده های خود را در حین بازی، رشد و توسعه می دهند. برای مثال، یکی از این مواد، کاغذ شطرنجی و تعداد قابل توجهی مکعب است، تعداد بسیار زیادی مکعب هایی به ضلع نیم اینچ، شاید صد دوجین. به این ترتیب، بچه ها با آن ها بازی می کنند. این تدریس، همراه با فعالیت است، تدریس به وسیله عمل و آگاهی.

یک نمونه برای این فعالیت: کلاس درباره مستطیل های کوچک بحث می کند. نکته اصلی این است که مستطیل  باید توسط عمل و تصور فهمیده شود.

درک مفهوم مستطیل باید از چیزهایی که بچه ها قبلاً به قدر کافی دیده و لمس کرده اند، حاصل شود. مثلا، همه بچه ها یک اتاق را دیده اند و دیوارهای یک اتاق معمولی، مستطیل یا تقریباً مستطیل شکل هستند. پس بچه ها یاد می گیرند که مستطیل چیست. کف یک اطاق معمولی مستطیل است. هر دیواری یک مستطیل است. سقف اطاق به شکل مستطیل است. درنتیجه، یکی از اهداف خوب تدریس، درک مفهوم طول و مساحت است. طول مستطیل ها را اندازه می گیرند و به مفهوم محیط مستطیل می‏رسید. سپس به مسأله مساحت مستطیل ها می پردازید. مستطیل ها را از مربع های برابر،می سازید و به ایده مساحت می رسید. به هر حال، ما الآن در کلاسی هستیم که تا حدودی با مفاهیم مساحت و محیط، آشنا است. روی همان برگ کاغذ، مستطیل هایی را که با یکدیگر همپوشانی دارند و محیط آن ها یکسان است، رسم کنید. مثلاً محیط 20 باشد. متوجه می شوید که با این محیط، 9 مستطیل وجود دارد. این مستطیل ها با عرض 1 و ارتفاع 9 شروع می شوند و سپس، عرض 2 و ارتفاع 8 و به همین ترتیب تا عرض 9 و ارتفاع 1.

چیزهای زیادی برای مشاهده کردن وجود دارد، عمل و آگاهی. بعضی از بچه ها از مشاهده این که تمام گوشه های این مستطیل ها روی یک خط راست هستند، شوکه می شوند .پس متوجه خواهند شد که یکی از این مستطیل ها، دوضلعش با هم برابرند، و شما می توانید سؤال های زیادی درباره این مستطیل بپرسید. یکی از نکات جالب این است که معلم نباید سؤال کند، بلکه بچه ها باید سؤال کنند. محیط همه مستطیل ها یکسان است.آیا مساحت هایشان هم یکسان است؟ کدام یک بیش ترین مساحت را دارد؟

در این جا، فعالیت دیگری با مستطیل ها آورده شده است. دوباره کاغذ شطرنجی را بگیرید و مستطیل های متفاوت را با مساحت یکسان مثلاً 24 واحد مربع، ببرید. آن ها را روی یک برگ کاغذ در کنار هم قرار دهید. حالا گوشه های مقابل گوشه ای که در آن با یکدیگر همپوشانی دارند، روی یک خط راست نیست، یک خط منحنی جالب درست شده است.

بچه ها با قوه تخیل قوی خود، این ها را به هم وصل می کنند تا خطوط منحنی درست کنند. پس این نیز، یک ملاحظه دیگر می طلبد. این نمونه ای از یک فعالیت با مستطیل هاست که بچه ها انتخاب خودشان را دارند. آن ها اظهارات خود را بیان می کنند و معلم، فقط اندکی به آن ها کمک می کند یا سرنخ می دهد. اگر بچه ها هیچ ایده ای نداشته باشند، در این صورت یک معلم خوب آموزش دیده که به تدریس دانش آموز محور، خو گرفته است، می تواند چند سرنخ به آن ها بدهد.

شاید نکته ای که بنیاد نوفیلد به قدر کافی بر آن تأکید نمی کنند، قاعده حدس زدن است. حدس زدن به طور طبیعی به سراغ ما می آید. هر کسی سعی می کند که حدس بزند و لازم نیست که حدس زدن به او آموزش داده شود. چیزی که باید آموزش داده شود، حدس منطقی است،و مخصوصاً چیزی که باید آموزش داده شود، این است که به فرد اعتماد نکنید و آن ها را، آزمایش کنید. اگر با حدس زدن شروع کنید، فعالیت دانش آموزان بهتر شروع می شود.

در این جا مثالی از یک فعالیت اندازه گیری طول و عرض کلاس می زنم. ممکن است برای تعدادی از بچه ها که قبلاً با معلم سابق خود این فعالیت را انجام داده باشند، انجام دوباره آن کسالت بار باشد. اگر با یک حدس شروع کنید، می توانید اندکی توجه آن ها را جلب کنید. ممکن است به کلاس بگویید، " به نظر می رسد که طول این کلاس دوبرابر عرضش باشد. واقعاً این طور است؟" امیدوارم بعضی از بچه ها بگویند: " نه طول آن از دوبرابر عرضش بیش تر است". عده دیگر خواهند گفت: " نه، کوتاه تر است ". تعداد بسیار کمی هم خواهند گفت: " دقیقا ". بعد از این حدس ها، بچه ها اندازه گیری را با علاقه بسیار بیش تری انجام خواهند داد، زیرا هر کسی علاقه مند است بداند که حدس او درست است یا خیر. این یک مورد بسیار خاص در مورد تاکتیک های حل مسأله است. اگر کمی در این مورد تعمیق کنید، متوجه خواهید شد که حدس زدن، نقش مهمی را بازی می کند. به طور طبیعی، همیشه راه حل یک مسأله، با یک حدس شروع می شود، نه همیشه با یک حدس خوب. برعکس، معمولاً حدس همیشه به طور کامل، خوب نیست. این یعنی اندکی از مدار خارج شدن، و هنر حل مسأله تا حد زیادی، شامل تصحیح کردن حدس های شماست.

منبع اصلی

http://mathematicallysane.com/horne

سخنران: جورج پولیا

مترجمان: علیرضا طالب زاده، مرکز آموزش ضمن خدمت میاندوآب

زهرا گویا، دانشگاه شهید بهشتی

مجله رشد