پوشاندن صفحه با کاشی های تکراری

در این فعالیت دانش آموزان نوع جدیدی از پوشاندن (یا کاشی کردن) صفحه را کشف می کنند.

شکل های هندسی ای هستند که در آن ها n شکل هم نهشت می توانند در کنار هم به نحوی قرار بگیرند که همان شکل را در ابعاد بزرگ تر درست کنند. دانش آموزان این کار را با شکل های مختلف و n های مختلف آزمایش خواهند کرد. تجسم فضایی دانش آموزان با نیاز به تصویر ذهنی و به هم ریختن مکان شکل ها، تقویت می شود.

اهداف:

دانش آموزان قادر خواهند بود :

به طور دقیق روابط بین انواع شکل های دو بعدی را با استفاده از مشخصات شکل ها  توصیف، دسته بندی و درک کنند.

شباهت شکل ها را با به هم ریختن مکان آن ها، امتحان کنند.

وسایل لازم:

قاب های الگو یا طلق های رنگی شفاف

کاغذهای رنگی، خط کش، نقاله

برگه ی فعالیت کاشی های تکراری

طرح درس

هنر کاشی کاری به علت زیبایی و تناسب از قدیم تا به امروز انسان ها را به خود جذب کرده است. موزائیک کاری های باقی مانده از امپراطوری روم و بناهای مذهبی اسلامی از نمونه های بسیار قدیمی کاشی کاری هستند. نمونه های امروزی کاشی کاری را می توانیم در آثار هنرمند آلمانی، "اشر" ببینیم. زنکال (1990) اشاره می کند که دانش کاشی کاری نه تنها در ریاضیات بلکه در علوم و هنر هم به کار می آید. معمولاً از کاشی کاری در پوشاندن دیوارها، کف ها، سقف ها، خیابان ها و پیاده رو ها استفاده می شود.

با استفاده از تعریف گرون باوم (Grunbaum) و شفارد (Shephard) می توان گفت کاشی کاری عبارت است از تقسیم کردن صفحه به نواحی کوچک و یا همان کاشی ها. به سادگی می توان نشان داد که به وسیله شش ضلعی منتظم، همه ی چهار ضلعی ها و همه مثلث ها می توان صفحه را کاشی کرد. کاشی کردن یک صفحه، به طوریکه کاشی ها روی هم نیستند و بین شان فاصله نباشد، با شکلی غیر از این شکل ها، ساده نیست. گلمب (Golomb) (1964) نوع جدیدی از کاشی یعنی کاشی تکراری را پیشنهاد داد.

یک کاشی تکراری ، شکل هندسی ای است که کپی هایی از آن می توانند به طور مناسب کنار هم قرار بگیرند و همان شکل را در ابعاد بزرگ تر بسازند. مثلاً چهار مربع هم اندازه می توانند طوری در کنار هم قرار بگیرند که یک مربع بزرگ تر بسازند. به مربع کوچک یک کاشی تکراری می گویند. در ضمن چهار مربع بزرگ ( که خود از چهار مربع کوچک ساخته شده) می توانند کنار هم قرار بگیرند و یک مربع بزرگ تر دست کنند. با بی نهایت بار تکرار این کار می توانیم صفحه را کاشی کنیم.

مثال دیگر مثلث است. با داشتن چهار مثلث یکسان می توان مشابه همان مثلث را در ابعاد بزرگتر ساخت. و باز هم می توان این فرآیند را برای ساختن مثلث های مشابه بزرگتر و بزرگ تر استفاده کرد و با تکرار این فرآیند تا بی نهایت، می توان صفحه را کاشی کرد. (شکل 1را ببینید) توجه کنید که چهار مثلث یکسان می توانند شکل مشابه خود را بسازند به همین علت به مثلث یک چهار کاشی تکراری می گوییم. به طور مشابه در شکل 1 می بینیم که با چهار کپی از هر متوازی الاضلاع می توان متوازی الاضلاع مشابهی ساخت. بنابراین هر متوازی الاضلاع یک چهار کاشی تکراری است.

شکل 1. دو چهار کاشی تکراری یک مثلث و یک متوازی الاضلاع

در شکل 2. کاشی های تکراری جدیدی نشان داده شده اند. شکل 2-الف نشان دهنده ی دو کاشی تکراری است که از مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین تشکیل می شود در حالی ه شکل 2-ب یک نمونه سه کاشی تکراری را نشان می دهد. در این شکل سه مثلث قائم الزاویه با زوایای 30 و 60 و 90 درجه در کنار هم قرار گرفته اند و مثلث 30 و 60 و 90 درجه ی بزرگ تری را درست کرده اند. شکل 2-ج که شبیه مجسمه ی ابوالهول است از 6 مثلث متساوی الاضلاع درست شده است و یک چهار کاشی تکراری است. ذوزنقه ی شکل 2-د از اتصال یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین به یک مربع ساخته شده و با کنار هم قرار دادن 4 کپی از آن، یک ذوزنقه ی مشابه به دست آمده است. در شکل 2-ه یک پنج کاشی تکراری می بینیم که مثلث قائم الزاویه ای است با اضلاع 1، 2 و جذر 5. شش کاشی تکراری در شکل 2-ی از حذف کردن یک چهارم یک متوازی الاضلاع به دست آمده است. همانطور که می بینید هر چند مثال های ساده ای از کاشی های تکراری آورده شده اما در شکل 2، با اشکال پیچیده تری نسبت به شکل 1، مواجه می شویم. البته نویسندگان این مقاله در آزمایش های خود دریافته اند که وقتی دانش آموزان به طور گروهی کار می کنند، می توانند تمامی این اشکال را بسازند و نشان دهند که هر کدام از آن ها یک کاشی تکراری هستند.

شکل 2. مثال هایی دیگر از کاشی های تکراری

لازم به ذکر است که یک n کاشی تکراری به ازای هر عدد طبیعی n ، که بزرگتر از یک باشد، وجود دارد. به عبارت دیگر به ازای هر عدد طبیعی n  بزرگتر از 1 ، یک کاشی وجود دارد که n کپی از آن می توانند با هم جمع شوند و همان کاشی را در ابعاد بزرگتر بسازند.

نکته ی جالب توجه این است که چهار کاشی مثلثی تکراری در شکل 1، یک کاشی مثلثی نه بار تکراری هم هست. این را می توان به سادگی با اضافه کردن یک ردیف 5 تایی از از کاشی ها به قاعده ی مثلث بزرگ تر در شکل 1، نشان داد. (نگاه کنید به شکل 3-الف) حقیقت جالب درباره ی کاشی های تکراری این است که هر کدام از چهار کاشی تکراری، یک نه کاشی تکراری هم هست. بر عکس، هر کدام از نه کاشی های تکراری یک چهار کاشی تکراری هم هست. (گاردنر 1991، گلمب 1964) شکلهای 3-ب و 3-ج این مطلب را نشان می دهند.

شکل 3. نه کاشی های تکراری که قبلا نشان داده شد، چهار کاشی های تکراری هستند.

کاشی های تکراری نه تنها راه متفاوتی برای کاشی کردن صفحه هستند، بلکه به دانش آموزان کمک می کنند تا تجسم فضایی به دست بیاورند. نویسندگان این مقاله فعالیت زیر را برای معرفی کاشی های تکراری در کلاس درسشان به کار برده اند.

دانش آموزان مقطع دوم و سوم راهنمایی، این فعالیت را چالش برانگیز و محرک دانسته اند.

بعد از اینکه معلم در کلاس مفاهیم مربوط به کاشی های چهار ضلعی ، شکل های هم نهشت و یکسان را دوره کرد، می توان کاشی های تکراری را با استفاده از مربع ها، مثلث های متساوی الاضلاع و متوازی الاضلاع ها، معرفی کند. برای مثال الگوهای نمونه را می توان روی دستگاه اورهد (Overhead) به دانش آموزان نشان داد. قالب های الگو را می توان روی طلق های رنگی کشید و جدا کرد. بعد از اینکه دانش آموزان به گروه های کوچک تقسیم شدند، معلم می تواند برگه های فعالیت کاشی های تکراری را بین بچه ها پخش کند. دانش آموزان موظفند پاسخ های خود را به طور مفصل توضیح دهند. این کار به توانایی دنبال کردن مباحث کمک می کند.

 

بعد از اینکه دانش آموزان برگه ی فعالیت خود را پر کردند، می توان با شروع کردن بحث در کلاس، آن ها را به حرف واداشت و نتایج مفید فعالیت آن ها را خلاصه کرد. دانش آموزان باید درک کنند که همه ی شکل های مشابه، بدون توجه به اندازه شان ، می توانند، صفحه را بپوشانند و کاشی کنند.

به عنوان یک پروژه ی شخصی، هر دانش آموز می تواند کاشی های تکراری مورد علاقه خود را انتخاب کند و با آن یک پوستر درست کند که در آن کاشی کردن صفحه را نشان دهد. جالب ترین پوسترها آن هایی هستند که دانش آموز بتواند کاشی ها را به عنوان یک کاشی تکراری مشخص کرده و رنگ کند. این پروژه نه تنها درک آن ها را از مفهوم کاشی های تکراری تقویت می کند بلکه به آن ها کمک می کند تا بین ریاضیات و اصول هنری ارتباط برقرار کنند. حتی ممکن است پس از انجام این پروژه، دانش آموز به ساختن طرح های کامپیوتری از کاشی کاری های خود علاقه نشان بدهد. شکل های 4 و 5 و 6 نمونه های طرح های کامپیوتری از کاشی کاری را نشان می دهند.

طرح های کامپیوتری کاشی کاری

با معرفی کردن کاشی های تکراری در کلاس درس، شاگردان قادر به تجسم و تشریح اشکال هندسی خواهند بود. همچنین می توانند جابجایی های مختلف اشکال هندسی را دنبال کرده و چینش دلخواه خود را پیدا کنند. ساختن یک طرح کاشی کاری نیاز به مجسم کردن انواع چرخش ها و جابجایی های یک کاشی در آن طرح را دارد که به پیشرفت قدرت تجسم فضایی منتج می شود. به علاوه ساختن یک کاشی کاری به وسیله کاشی های تکراری به دانش آموزان این اجازه را می دهد تا ببینند که چطور چند ضلعی های یکسان و هم نهشت می توانند در کنار هم قرار گیرند و چند ضلعی های مشابه و بزرگ تری را بسازند. بعد از پیدا کردن راهکار، دانش آموزان متوجه این نکته می شوند که هر کاشی می تواند به شکل های کوچکتری شبیه به خود تقسیم شود. بنابراین کشف می کنند که چگونه شکل های همسان می توانند برای ایجاد یک کاشی کاری استفاده شوند.

مترجم: سحر حمیدی