کسرهای تخم مرغی مساوی
توضیح اولیه
این طرح درس در سه جلسه تنظیم شده است. "شیرینی پزی با یک دو جین تخم مرغ!" جلسه ی اول این سری، " شیرینی پزی با 18 تا تخم مرغ" جلسه ی دوم و "کسرهای تخم مرغی مساوی" جلسه ی سوم این سری است. البته شما می توانید با توجه به شرایط کلاستان فقط یک یا دو جلسه را انتخاب کنید.
اهداف
- دانش آموزان این موضوع را درک خواهند کرد که یک کسر را می توان به صورت جزئی از یک مجموعه از اعضای کاملاً یکسان ( تخم مرغ ها ) نمایش داد.
- آنها خواهند توانست کسرها را با داشتن مقدار کل و جزئی از کل مشخص کنند.
- تشخیص خواهند داد که کسرهای مساوی کدام اند. (مثلاً از یک مجموعه 18 تایی، برابر است با 18/9 از این مجموعه. )
- روابط موجود بین کسرهای مساوی را تعیین خواهند کرد. ( مثلاً را می توانیم در 2 ضرب کنیم تا به کسر معادل 4/2 برسیم، یا اگر 4/2 را بر 2 تقسیم کنیم به کسر معادل . می رسیم. )
وسایل لازم
- یک شانه تخم مرغ 12 تایی با تخم مرغ های پلاستیکی ( یا هر شیء مناسب دیگر ) برای هر گروه دو نفره از دانش آموزان.
- کاغذهای بریده شده به اندازه ی کسرهای مختلفی که می توان در یک شانه تخم مرغ نمایش داد، مانند: 12/1 ، 6/1 ، 4/1 ، 3/1 و .
- برگه ی فعالیت " شانه های تخم مرغ " ( برای نمایش با دستگاه اورهد )
روش تدریس
برگه ی " شانه های تخم مرغ " را با دستگاه اورهد در کلاس نمایش دهید و به مرور کسرهایی از یک مجموعه 12 تایی بپردازید. به عنوان نمونه، از دانش آموزان بپرسید: "
چگونه 2/1 از یک دوجین تخم مرغ را نشان می دهیم؟ (همه شیوه های مختلف چیدن 6 تخم مرغ در شانه تخم مرغ 12 تایی در پاسخ به سوال شما قابل قبول است.)
باریکه های کاغذ را که هر یک بخش معینی از شانه تخم مرغ را می پوشانند، به دانش آموزان بدهید. ( به تصویر زیر نگاه کنید. ) دانش آموزان باید از هر باریکه کاغذ مربوط به هر کسر به تعدادی داشته باشند که بتوان با آنها مقدار کل را نیز نشان داد. مثلاً آنها به دو تا 2/1 ، 6 تا 6/1 ، 4 تا 4/1 و ... نیاز دارند. از دانش آموزان بخواهید تا هر یک از نوارهای کاغذی را بررسی کنند و مشخص کنند که چه کسری را نشان می دهد. آنها را راهنمایی کنید تا روی هر یک از نوارهای کاغذی، ساده ترین کسر مربوط به آن را بنویسند. به عنوان مثال:
دانش آموزان را تشویق کنید تا شروع به جستجوی کسرهایی کنند که سطح مشابهی را می پوشانند، یعنی کسرهای معادل. به عنوان مثال از دانش آموزان بپرسید: " چند تا تکه 12/1 لازم است تا تکه 6/1 را بپوشاند؟ " ( 2 عدد ) . از آن ها بخواهید تا این موضوع را به صورت: 12/2=6/1 در برگه ی خود یادداشت کنند.
از آن ها بپرسید " چند تکه 6/1 برای پوشاندن تکه 3/1 لازم است؟ " ( 2 تا ) و بعد در برگه خود یادداشت کنند: 6/2 = 3/1.
از دانش آموزان بخواهید تا در گروه های دو نفره کار را ادامه بدهند و هر چند تا کسر معادل که می توانند پیدا کنند. همه گروه ها باید همه کسرهای مساوی را که یافته اند در برگه هایی یادداشت می کنند. پس از اینکه این کار به پایان رسید، از گروه ها بخواهید تا به نوبت کسرهای مساوی خود را برای کلاس بیان کنند و هر گروه که با کسری خارج از مجموعه کسرهای خود برخورد کرد، آن را نیز به فهرست کسرهای گروه خود اضافه کند. اطمینان پیدا کنید که همه کسرهای زیر در فهرست وجود دارند:
12/2 = 6/1
12/3 = 4/1
6/2 = 3/1
12/4 = 3/1
4/2 = 2/1
6/3 = 2/1
12/6 = 2/1
سپس از دانش آموزان بخواهید تا روابط بین کسرهای مساوی را کشف کنند. به عنوان مثال، دانش آموزان ممکن است متوجه این نکته شوند که با ضرب کردن ضربدری ( طرفین – وسطین ) پاسخ های یکسانی بدست می آید. مانند 4/3 و 8/6 ، که با ضرب صورت کسر اول (3) در مخرج کسر دوم (8)، عدد 24 را به دست خواهند آورد و با ضرب دو عدد دیگر، یعنی صورت کسر دوم (6) و مخرج کسر اول (4) نیز عدد 24 حاصل خواهد شد. دانش آموزان باید تحقیق کنند که آیا این " قانون " در مورد همه کسرهای معادل درست است یا نه.
اگر دانش آموزان نتوانستند به تنهایی این رابطه را پیدا کنند، آن ها راهنمایی کنید و پرسش هایی مطرح کنید تا فرایند کار را برایشان ساده تر کند. ( این کشف، دانش آموزان را به مفاهیمی راهنمایی می کند که برای فراگیری مباحث دیگری نیز مهم هستند.) مثلاً آنها ممکن است برای به دست آوردن عدد مجهول در یک تناسب از طرفین – وسطین استفاده کنند:
| x | 2 |
| 8 | 4 |
دانش آموزان ابتدا معین خواهند کرد که 16=8×2 و سپس با استفاده از جبر، معادله 16=4X را حل خواهند کرد. ممکن است لازم باشد که توضیح دهید چرا با استفاده از این روش می توان به پاسخ درست رسید:
| 4 | = | 2 |
| 8 | 4 |
یا
| a | = | c |
| b | d |
وقتی که شما طرفین – وسطین می کنید، در واقع هر طرف از تساوی را در یک n/n ضرب کرده اید که n همان مخرج کسر دیگر است.
یعنی
| 4 | x | 4 | = | 2 | x | 8 |
| 4 | 8 | 4 | 8 |
و یا
| d | x | a | = | c | x | b |
| d | b | d | b |
که پس از ساده کردن خواهیم داشت:
| 16 | = | 16 |
| 32 | 32 |
و یا
| ad | = | bc |
| bd | bd |
از آنجا که مخرج هر دو کسر مساوی است و هر دو طرف بر یک عدد تقسیم شده اند، می توانیم مخرج ها را حذف کنیم و فقط صورت کسرها را در نظر بگیریم. یعنی ab=bc و یا 16=16 و این همان نتیجه ای است که شما از طرفین – وسطین کردن بدست می آورید.
به دانش آموزان در بسط و گسترش درک چنین مفاهیمی از طریق استدلال کمک کنید. این موضوع برای ایجاد یک پایه و زمینه مهم در ریاضیات آینده آنان سودمند خواهد بود.
پرسش هایی برای دانش آموزان:
کسرهای 2/1 و 12/6 از یک دوجین چه رابطه ای با هم دارند؟ ( دانش آموزان باید قادر باشند که براساس گزارشهای خود بگویند: 2/1 و 12/6 کسرهای مساوی و معادل هستند. )
چه رابطه ای بین 3/1 از یک دوجین و 12/4 از یک دوجین وجود دارد؟ ( باز هم باید بتوانند پاسخ دهند که این کسرها با هم برابرند. )
چه رابطه ای بین 4/1 از یک دوجین و 12/3 از یک دوجین وجود دارد؟ ( پاسخ همان است. )
چه رابطه ای بین 6/1 از یک دوجین و 12/2 از یک دوجین وجود دارد؟ ( پاسخ همان است. )
چه کسرهای مساوی دیگری با استفاده از 12 عدد تخم مرغ توانستید پیدا کنید؟
چه کسرهای مساوی ای را با استفاد از 18 عدد تخم مرغ توانستید پیدا کنید؟ آیا هیچ کسر مشابهی وجود دارد؟
چه رابطه هایی بین کسرهای مساوی مشخص شده در این درس می بینید؟ آیا شما وقتی که صورت یک کسر را در مخرج کسر دیگر ضرب می کنید، هیچ الگویی می توانید پیدا کنید؟
