یافتن مساحت متوازی الاضلاع
اهداف
از دانش خود درباره فرمول های مربوط به مستطیل استفاده می کنند تا به فرمول مساحت متوازی الاضلاع برسند.
روش های جایگزین دیگری برای پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع کشف می کنند.
از فرمولی که به دست آورده اند برای محاسبه مساحت متوازی الاضلاعی با ارتفاع و قاعده مشخص استفاده می کنند و یا یکی از ابعاد آن را با داشتن اندازه مساحت و بعد دیگر حساب می کنند.
وسایل لازم
- خط کش
- قیچی
- ماشین حساب
- برگه فعالیت "مستطیل ها و متوازی الاضلاع ها"
- برگه "گزارش مساحت چهارضلعی ها"
- فعالیت کامپیوتری "برش دهنده شکل ها"
طرح درس
در این درس دانش آموزان از فرمول مساحت مستطیل استفاده می کنند تا فرمول مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنند. اگر لازم است مفهوم مساحت و همین طور فرمول مساحت مستطیل ( S=bh ) را یادآوری کنید.
مروری بر ویژگی های متوازی الاضلاع و ارتباط آن ها با سایر چهارضلعی ها نیز می تواند سودمند باشد. شما می توانید چنین پرسش هایی را با بچه ها مطرح کنید: "آیا هر مربع یک متوازی الاضلاع است؟" یا " آیا هر متوازی الاضلاع یک لوزی هم هست؟".برای کمک به بچه ها در دادن پاسخ، می توانید از نمودار زیر استفاده کنید یا می توانید با صرف مقداری وقت، این نمودار را به همراه خود دانش آموزان به دست آورید.
برای شروع درس، از دانش آموزان بخواهید به نقشه استان های ایران نگاه کنند و بگویند آیا هیچ یک از استان ها شکلی تقریباً شبیه متوازی الاضلاع دارد؟ آن ها را به گروه های سه نفره تقسیم کنید تا روشی برای تخمین مساحت آن پیدا کنند. (در انتهای درس دانش آموزان به این مسئله برمی گردند و یافته های خود را در کلاس به بحث می گذارند. )
برگه های فعالیت "مستطیل ها و متوازی الاضلاع ها" و "گزارش مساحت چهارضلعی ها" را بین بچه ها پخش کنید. به آن ها زمان دهید تا مساحت شکل هایA تا E را به دست آوردند و از آن ها بخواهید تا اطلاعات خود را در برگه گزارش ثبت کنند.
برای هر مستطیل، آن ها به سادگی می توانند تعداد مربع ها را بشمارند یا تعداد مربع های طول و عرض را در هم ضرب کنند. همچنین می توانند با استفاده از یک خط کش و واحد اندازه گیری متریک طول و عرض مستطیل ها را اندازه بگیرند و مساحت آنها را به دست آورند. برای تعیین مساحت متوازی الاضلاع ها، احتمالا به شمردن تعداد مربع هاخواهند پرداخت. آنها باید چند مربع ناقص را به جای یک مربع کامل بشمارند تا بتوانند مساحت شکل ها را تخمین بزنند.
سپس از هر دانش آموز بخواهید تا شکل های C ،B ، A را با قیچی ببردو بعد در مستطیل A، خطی را که از رأس پایین سمت چپ به نقطه ایاز ضلع بالایی به فاصله 3 واحد از رأس وصل می شود، ببرد. این برش روی خطی با زاویه 45 درجه خواهد بود که هر مربع را دقیقاً به 2 نیمه مساوی تقسیم می کند.
بعد در مستطیل های B و C، برشی از رأس پایین سمت چپ تا یک نقطه دلخواه روی ضلع بالایی ایجاد کنند و مثلث بریده شده را مثل شکل زیر در سمت راست مستطیل قرار دهند(بهتر است بچه ها قبلا خط برش را با خط کش رسم کنند تا برش صاف انجام شود). بچه ها را تشویق کنید که برش های متفاوتی نسبت به هم گروه های خود ایجاد کنند.
حالا دانش آموزان باید مساحت متوازی الاضلاع بهدست آمده را مشخص کنند و نتیجه را در برگه "گزارش مساحت چهارضلعی ها" یادداشت کنند.
در فعالیت بعدی، از دانش آموزان بخواهید که در شکل های D و E با بریدن مثلث های قائم الزاویه از یک طرف آن ها و انتقال آن به سمت دیگر شکل، متوازی الاضلاع را به مستطیل تبدیل کنند. دانش آموزان باید این نکته را درک کنند که با این تغییر و جابه جایی، هر متوازی الاضلاع به مستطیلی بامساحت مساوی تبدیل می شود.
این بار هم دانش آموزان باید مساحت مستطیل بهدست آمده را حساب کنند و مقدار آن را در برگه خود ثبت کنند. همان طور که بچه ها برگه گزارش خود را کامل می کنند، درستی و دقت اندازه گیری و محاسبات آن ها را بررسی کنید. بدون اندازه های درست، دانش آموزان نمی توانند کشف کنند که فرمول مساحت مستطیل و متوازی الاضلاع به هم شبیه است.
دانش آموزان می توانند برای کاوش درباره شکل های دیگر، از فعالیت کامپیوتری "برش دهنده شکل ها" استفاده کنند. در این فعالیت، آن ها می توانند با برش های مناسب و دوباره چیدن تکه ها، متوازی الاضلاع یا مستطیل بسازند. علاوه بر این، دانش آموزان حتی می توانند با برش های دیگری این موضوع را نشان دهندکه دو متوازی الاضلاع (بدون زاویه قائمه) با ارتفاع و قاعده های مساوی، مساحت های مساوی دارند.در شکل زیر این موضوع نشان داده شده است.(با انتقال قسمت قرمز رنگ به سمت دیگر، متوازی الاضلاع متفاوتی به وجود می آید.)
بعد از این کاوش ها، آنچه اتفاق افتاده است را در کلاس به بحث بگذارید و پرسش های زیر را مطرح کنید:
- آیا شکل ها تغییر کرده اند؟ (بله)
- آیا اندازه ها تغییر کرده اند؟ (طول ضلع ها تغییر کرده است، ولی ارتفاع و قاعده تغییری نکرده است.)
- آیا مساحت تغییری کرده است؟ (خیر)
- آیا دوستان دیگر شما در گروه برش های متفاوتی انجام داده اند؟ اگر این طور است آیا مساحتی که به دست آورده اند با شما متفاوت است؟(مساحت ها باید یکسان باشد، صرف نظر از این که برش چه طور بوده است.)
در نتیجه این بحث، دانش آموزان باید بفهمند که فرمول مساحت مستطیل(S=bh)با فرمول مساحت متوازی الاضلاع تفاوتی ندارد.
در آخر دانش آموزان حتی می توانند ارتباط بین فرمول مساحت ذوزنقه و متوازی الاضلاع را مشخص کنند. فرمول مساحت ذوزنقه این است:
A=1/2(b1+b2)h
در متوازی الاضلاع، قاعده هابا هم مساوی هستند، پس b1=b2. بنابراین با استفاده از فرمول مساحت ذوزنقه، فرمول مساحت متوازی الاضلاع بهدست می آید:
A=1/2(b1+b2)h=1/2(b1+b1)h=b1h
در پایان درس به پرسش اولیه ای که برای ایجاد انگیزه پرسیده بودید برگردید: مساحت استانی که شبیه به شکل متوازی الاضلاع بود، چقدر است؟ در این مرحله دانش آموزان باید روی نقشه ارتفاع و قاعده را اندازه بگیرند و بااستفاده از مقیاس نقشه و فرمول،مساحت تقریبی استان را بهدست آورند.
پرسش هایی برای دانش آموزان
چه روابط مشترکی بین متوازی الاضلاع و مستطیل وجود دارد که شما می توانید یک فرمول را برای محاسبه مساحت هر دو استفاده کنید؟ ( یک مستطیل و متوازی الاضلاع با ارتفاع و قاعده یکسان مساحت هایی مساوی دارند. وقتی یک مثلث را از مستطیلی جدا می کنیم و آن را به گونه ای قرار می دهیم که شکل به صورت متوازی الاضلاع درآید? اندازه ارتفاع و قاعده و در نتیجه مساحت ثابت می ماند.)
به غیر از استفاده از فرمول، چه روش های دیگری را برای پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع پیشنهاد می کنید؟ بایک مثال روش خود را مرحله به مرحله توضیح دهید و بگویید چگونه مساحت متوازی الاضلاع را به دست آوردید. کدام آسانتر است؟ روش شما یا استفاده از فرمول؟ (یک متوازی الاضلاع می تواند به چند روش تقسیم شود. یک روش? تقسیم آن به یک مستطیل با دو مثلث در دو طرف آن است که در شکل زیر نشان داده شده است. به این ترتیب می توان مساحت هر تکه را به دست آورد و بعد مساحت ها را با هم جمع کرد.
اگر چه این روش پاسخ درستی به ما می دهد? ولی ما باید به جای یک بار? سه بار از فرمول های مساحت استفاده کنیم. بنابراین استفاده از فرمول مساحت متوازی الاضلاع احتمالاً آسان تر است.)
برای پیدا کردن مساحت، چرا باید قاعده را در ارتفاع ضرب کنیم و قاعده را در ضلع ضرب نمی کنیم؟ (ارتفاع، فاصله عمودی بین قاعده و ضلع بالایی است. در حالی که طول ضلع متوازی الاضلاع بر حسب شیب آن می تواند تغییر کند، اما ارتفاع آن تغییری نمی کند.)
آیا با کمک فرمول مساحت متوازی الاضلاع می توان مساحت لوزی را هم بدست آورد؟ چرا بله و چرا خیر؟ (بله زیرا لوزی نوعی متوازی الاضلاع است که چهار ضلع آن با هم برابر است.)
توسعه
برخی از دانش آموزان می توانند با داشتن مختصات نقاط، متوازی الاضلاع هایی را در دستگاه مختصات رسم کنند و یکی دیگر از دانش آموزان مساحت آن را با استفاده از فرمول حساب کند. آنابلامیلبنک به عنوان " شاهزاده متوازی الاضلاع ها " شناخته شده است. دانش آموزان می توانند در مورد او از اینترنت تحقیق کنند. یک سایت ممکن می تواند این آدرس باشد The Mac tutor History of Mathematicsاگر چه این صفحه به دختر او اختصاص دارد ولی دارای اطلاعات چشم گیری در مورد مادرش است دانش آموزان می توانند برای کلاس گزارشی تهیه کنند که چرا میلبنک را شاهزاده متوازی الاضلاع می دانند.
