فراکتال در مثلث خیام – پاسکال

این مبحث برای ارائه در سال اول دبیرستان جهت کسب مهارت در حل مسأله پیشنهاد می‌شود. مطالب برای دو جلسه تنظیم شده است.

جلسه ی اول: جدول (شکل 1) را در اختیار دانش آموزان قرار دهید و از آن ها بخواهید با کشف الگوی چگونگی ساخته شدن جدول، سه سطر بعدی آن را کامل کنند. از دانش آموزان بخواهید خانه هایی که عدد فرد دارند را در جدول مذکور رنگ آمیزی کنند. سپس بدون پیدا کردن عدد مربوط به هر خانه در سطرهای بعدی، حدس بزنند در کدام خانه ها عدد فرد قرار دارد و این خانه‌ها را نیز رنگ کنند. الگوی به دست آمده در این فعالیت را با استفاده از applet زیر به سادگی می‌توانید مشاهده کنید.

شکل 1

شما می‌توانید با استفاده از دکمه های + و - تعداد سطرهای جدول را زیاد و کم کنید. با تغییر تعداد رنگ ها نیز الگوهای مختلفی به دست خواهید آورد. در جدول دو رنگ این applet، اعداد زوج و فرد از هم متمایز شده اند. دانش آموزان الگوی جدول دو رنگ را در 20 سطر ساخته اند. شما می‌توانید همین الگو را در تعداد بیش تری سطر به آن ها نشان دهید. حال جدول زیر را در اختیار دانش آموزان قرار دهید و از آن ها بخواهید به جای هر عدد، باقی مانده ی تقسیم آن بر 2 را در جدول قرار دهند. (  یعنی صفر یا یک )

شکل 2

دانش آموزان باید بتوانند به سرعت و با به کارگیری طرح نشان داده شده در شکل زیر، جدول را تکمیل کنند:

اکنون با استفاده از applet بالا، جدول سه رنگ را در 20 سطر به آن ها نشان دهید. از آن ها بخواهید توضیح دهند که این سه رنگ نشان دهنده ی چه اعدادی هستند؟ سپس جدول دیگری مانند شکل زیر در اختیار آن ها قرار دهید و از آن ها بخواهید به جای هر عدد، باقیمانده ی تقسیم آن بر 3 را در جدول قرار دهند یا با سه رنگ مختلف، اعداد را بر حسب باقی مانده شان بر 3 از هم جدا کنند.

دانش آموزان باید بتوانند طرح نشان داده شده در شکل زیر را برای پر کردن جدول (شکل 3) به کار برند.

شکل 3

می توانید با طرح سؤالاتی مانند آن چه که در زیر آورده شده و بحث راجع به آن ها، کلاس را به پایان ببرید:

- آیا می‌توان در جدول 20 سطریی که بر اساس باقی مانده ی اعداد بر 2 تنظیم شده است، مثلثی به صورت  یافت که همه ی اعداد داخل آن صفر و همه ی اعداد اطراف آن یک باشد؟ مثلثی به صورت  چه طور؟

- آیا می‌توان در همین جدول مثلثی به صورت  یافت که همه ی اعداد داخل آن یک و همه ی اعداد اطراف آن صفر باشد؟ مثلثی به صورت  چه طور؟

- ده مثلث در این جدول پیدا کنید که همه ی اعداد داخل آن یک و همه ی اعداد اطراف آن صفر باشد!

آیا اندازه ی این ده مثلث با هم مساوی است؟

آیا می‌توانید یک مثلث بزرگ تر با همین خصوصیات در 100 سطر اول مثلث خیام - پاسکال بیابید؟

جلسه ی دوم: جدول 20 سطریی که براساس باقی مانده ی اعداد بر 2 تنظیم شده است و در زیر آمده است را در اختیار دانش آموزان قرار دهید و از آن ها بخواهید تعداد اعداد فرد هر سطر را پیدا کنند.(شکل 4)

شکل 4

اگر تعداد اعداد فرد هر سطر را بیابیم و به دنبال هم بنویسیم به سری (رشته) اعداد زیر خواهیم رسید:

...،1،2،2،4،2،4،4،8،2،4،4،8،4،8،8،16،2،4،4،8

چگونه می‌توان عدد بعدی را حدس زد؟ دانش آموزان با دقت در سری اعداد بالا می‌توانند دریابند که همه ی این اعداد توان هایی از 2 هستند. و اگر این اعداد را در دسته های دوتایی در نظر بگیریم، عدد دوم در هر دسته دو برابر عدد اول است، یعنی2ⁿ و  .

به عنوان مثال دسته ی اول شامل اعداد 1 و 2 و دسته بعدی شامل اعداد 2 و 4 است.

برای یافتن الگویی جهت دسته های دوتایی بعدی، از دانش آموزان بخواهید اولین عدد هر دسته را جدا کنند و در یک سری جدید بنویسند.

...،1،2،2،4،2،4،4،8،2،4

از دانش آموزان بخواهید با دقت به این سری اعداد توجه کنند!

نکته این جاست که این رشته، همان رشته ی اعداد اولیه است. آیا می‌توانید عدد بعدی در این رشته و در نیتجه، عدد های بعدی در رشته اعداد بالاتر را حدس بزنید؟

این سری اعدد را نیز می‌توان به دسته های دوتایی تقسیم کرد و سری اعداد جدیدی با اولین عدد هر یک از این دسته‌ها ساخت. این سری به صورت زیر خواهد بود:

...,1,2,2,4

در واقع مانند این است که بگوییم سری اعداد اولیه را می توان به دسته های چهارتایی به صورت تقسیم کرد و اعداد اول هر یک از این دسته های چهارتایی را در کنار هم به صورت زیر نوشت.

...,1,2,2,4

این سری اعداد هم، همان سری اعداد اولیه است!

به همین ترتیب می‌توان سری اعداد اولیه را به دسته های هشت تایی به صورت تقسیم کرد و اولین عدد هر دسته را در یک سری نوشت که باز هم همان سری اعداد اولیه به دست خواهد آمد!

با توجه به شکل جدول دو رنگ، می توان در مورد دلیل این الگو بحث نمود :

به شکل 5 توجه کنید:

شکل 5

همان طور که در شکل مشخص است، سطر دوم از دوبار تکرار سطر اول به دست می‌آید، سطر سوم و چهارم از دوبار تکرار سطر اول و دوم و به همین ترتیب چهار سطر دوم از دوبار تکرار چهار سطر اول و هشت سطر دوم از دوبار تکرار هشت سطر اول به دست می‌آید!

پس از بحث درباره ی الگوی اعداد فرد در مثلث خیام - پاسکال، از دانش آموزان بخواهید تعداد اعداد فرد در 100 سطر اول این جدول را بیابند! این سؤال به معنی یافتن مجموع 100 عدد اول در سری اعداد معرفی شده در بالا می باشد.

ممکن است دانش آموزان راه حل های متفاوتی برای حل این مسأله ارائه دهند. یکی از این راه حل ها به این ترتیب است:

می توان 100 عدد را به 25 دسته چهارتایی تقسیم کرد که هر دسته به صورت  است. مجموع اعداد در هر دسته چهارتایی 9 برابر عدد اول این دسته است. چرا؟

پس کافی است مجموع 25 عدد اول سری اولیه را به دست آوریم و در 9 ضرب کنیم. اما این 25 عدد را هم می‌توان به دسته های چهارتایی تقسیم کرد:

پس مجموع 25 عدد اول سری برابر (1+2+2+4+2+4)*9+4 است! چرا؟

مجموع 100 عدد اول سری، یعنی تعداد اعداد فرد در 100 سطر اول جدول خیام - پاسکال نیز برابر 1251 خواهد شد.

می توانید این بحث را با طرح سؤالات زیر به پایان ببرید.

در جدول 20 سطریی که بر اساس باقی مانده ی اعداد بر 3 تنظیم شده است، چه الگویی می‌توان یافت؟

چند عدد در 100 سطر اول جدول وجود دارد که باقی مانده ی آن ها بر 3 برابر 1 است؟

صفحه قبل