تقلب انتخاباتی
از زمانی که حق حاکمیت انسان ها بر سرنوشت‌شان در جوامع بشری به رسمیت شناخته شده است، روش‌های برگزاری انتخابات همیشه یکی از اصلی‌ترین مسأله‌های حکومت‌های مردمی بوده است. در این مقاله می‌خواهیم تعدادی از روش های انتخاباتی و تفاوت‌های آن ها را بررسی کنیم.
در Applet بالا می‌توانید چند روش انتخاباتی را با هم مقایسه کنید. در سمت چپ لیست، برگ‌های رأی مختلف و تعداد آن‌ها را می‌بینید. تعداد هر برگ رأی در ردیف بالا درج شده است. شما می‌توانید با کلیک کردن در سمت چپ یا راست، تعداد آن را کم و زیاد کنید. هم چنین محتوای برگ رأی ( یعنی اولویت نامزدها ) را می‌توانید با کلیک کردن روی مثلث‌های قرمز عوض کنید. حال با علامت زدن هر روش در ردیف راست و پایین می‌توانید نتیجه ی شمارش آرا با آن روش را در سمت راست ببینید.
در انگلیس انتخابات این گونه برگزار می‌شد که نامزدها معرفی می‌شدند و مردم به یکی از آن ها رأی می‌دادند. کسی که بیش ترین رأی را کسب می کرد، پیروز بود. این روش را با نام جمع بندی (Plurality) می‌توانید درApplet بالا ببینید. به نظر شما آیا این نوع انتخابات بیانگر عقیده ی مردم است؟
عقیده ی مردم!؟
برای دو نامزد، عقیده ی مردم یعنی این که اکثریت مردم کدام فرد را بر دیگری ترجیح می‌دهند. در حقیقت انتخابات جمع بندی برای دو نامزد بیانگر عقیده ی مردم است. آیا برای سه نامزد و بیش تر نیز این گونه است؟ این سؤال را با یک مثال پاسخ می دهیم.
در مثال‌ها، عبارت a > b > c نشان دهنده ی آن است که رأی دهنده، نامزد a را به b و نامزد b را به c ترجیح می‌دهد. مثال‌هایی که در این مقاله می‌بینید، می‌توانند به واقعیت نزدیک باشند، کافی است ۱۰ رأی را ۱۰ میلیون رأی در نظر بگیرید!
| ۱۰ نفر | a | > | b | > | c |
| ۶ نفر | b | > | c | > | a |
| ۵ نفر | c | > | b | > | a |
در این مثال a رأی می‌آورد؛ اما ۲۱/۱۱ مردم b و c را به a ترجیح می‌دهند. آن ها مایلند بین a و b یا a و c، یا b و یا c انتخاب شود تا a! پس می‌بینید که انتخابات جمع بندی در همه ی موارد بیانگر عقیده ی مردم نیست!
آیا راه بهتری وجود دارد؟
انتخابات حذفی (Elimination ) که فرانسوی‌ها آن را ابداع کردند و می‌توانید آن را در Applet مشاهده کنید، به این طریق است: هر نامزد که بیش از نیمی از آرا را به دست آورد، پیروز است و گر نه دو نفر با بیش ترین آرا به دور بعد می‌روند. توجه کنید که در دو روش بالا حالت تساوی در نظر گرفته نمی شود! (چرا؟)
حال مثال بالا را دوباره بررسی می‌کنیم. این بار، b با ۱۱ رأی پیروز می‌شود که به عقیده ی مردم نزدیک تر است! ( a و b به مرحله ی دوم راه پیدا می کنند و b با ۱۱ رأی ردیف دوم و سوم برنده می‌شود ).
آیا انتخابات حذفی بیانگر عقیده ی مردم است؟ بدیهی است که اگر نامزدی در همه ی رقابت های دو‌به‌دو پیروز شود، عقیده ی مردم است و باید پیروز انتخابات باشد. چنین نامزدی را یک پیروز قاطع می‌نامند. هم چنین کسی که در همه ی رقابت های دو به دو بازنده است را بازنده ی قطعی گویند. پس a در مثال بالا یک بازنده ی قطعی است!
دوباره مثالی می‌زنیم.
| ۱۰ نفر | b | > | a | > | c | > | d |
| ۶ نفر | c | > | a | > | d | > | b |
| ۵ نفر | a | > | d | > | b | > | c |
b در روش حذفی پیروز انتخابات است ولی a پیروز قاطع می‌باشد! به دلیل این که این نوع انتخابات در اغلب کشورها از جمله کشور خودمان برگزار می‌شود، مثال جالب دیگری می‌زنیم.
| ۶ نفر | a | b | c | ||
| ۵ نفر | c | a | b | ||
| ۴ نفر | b | c | a | ||
| ۲ نفر | b | a | c |
c حذف می‌شود وa با ۱۱ رأی انتخاب می‌شود. حال با جا به جایی a و b در ردیف آخر به نفع a تقلب می‌کنیم، وضعیت به این شکل درمی‌آید.
| ۶ نفر | a | b | c | ||
| ۵ نفر | c | a | b | ||
| ۴ نفر | b | c | a | ||
| ۲ نفر | b | a | c |
b حذف می‌شود و c با 9 رأی پیروز! چه اتفاقی افتاد؟
برای این که بتوان روش های کاراتر ارائه کرد، می‌توان از مردم خواست به جای یک نام، لیست افراد انتخابی خود را -مانند آن چه در مثال ها آمده است- در برگه های رأی بنویسند. توجه کنید که در مثال های بالا می‌خواستیم عقیده ی هر کس را داشته باشیم و نتیجه ی انتخابات را با عقیده ی مردم بسنجیم، نه فقط با انتخاب اول آن ها! برای انجام این کار باید وقت و هزینه ی بسیاری صرف شود که در یک انتخابات بزرگ مقرون به صرفه نیست. این قبیل موضوعات در هر جایی که بحث انتخاب پیش آید، ظاهر می‌شوند، مانند تصمیم گیری هیأت مدیره ی یک کارخانه در مورد بستن قرارداد یا انتخاب رئیس دانشکده توسط اعضای هیأت علمی آن و... .
روش دیگری که توسط Jean-Charles de Borda معرفی شد به این صورت است که اگر تعداد نامزدها m باشد، هر ستون از لیست ترجیحات رأی دهندگان به ترتیب از۱ تاm امتیاز دارد. امتیاز هر نامزد به این ترتیب محاسبه می شود و کسی که مجموع امتیازاتش بیش تر باشد، پیروز است. برای روشن تر شدن مطلب مثال اول را دوباره بررسی می‌کنیم.
| ۳ امتیاز | ۲ امتیاز | ۱ امتیاز | |||
| ۱۰ نفر | a | > | b | > | c |
| ۶ نفر | b | > | c | > | a |
| ۵ نفر | c | > | b | > | a |
a : ۱۰×۳ + ۶×۱ + ۵×۱ = ۴۱
b : ۱۰×۲ + ۶×۳ + ۵×۲ = ۴۸
c : ۱۰×۱ + ۶×۲ + ۵×۳ = ۴۳
آیا روش Borda، پیروز قاطع را پیروز می‌داند؟ در مثال بعد خواهید دید که این گونه نیست. آیا روشی وجود دارد که پیروز قاطع، فرد پیروز باشد؟
روش دو به دو یا Pairwise که مانند یک تورنمنت ورزشی رفتار می‌کند، پیروز قاطع را پیروز می‌داند. (چرا؟) در این روش دو به دوی نامزدها در مقایسه با هم قرار می‌گیرند، فرد پیروز 2 امتیاز می‌گیرد و اگر تساوی برقرار شد، هر کدام یک امتیاز می‌گیرند. نامزد با بیش ترین امتیاز، پیروز انتخابات است. حال سؤالی که مطرح می‌شود این است که پس چرا از این روش که به عقیده ی مردم نزدیک تر است! استفاده نمی شود؟
مشکل این است که حالت های تساوی در این روش بسیار اتفاق می‌افتد که برای یک روش انتخاباتی مناسب نیست! به طور مثال اگر تعداد نامزدها ۷ و تعداد رأی دهندگان به اندازه کافی زیاد باشد، آن گاه در حدود %۴۰ حالت ها، روش دو به دو، نامزدی را پیروز اعلام نمی کند. در حقیقت نامزدهایی وجود دارند که امتیاز آن ها بیش ترین و با هم مساوی است!
قبل از هر چیز بهتر است مثال دیگری بزنیم که در آن نتیجه ی هر چهار روش متفاوت است!
| ۸ نفر | c | > | b | > | a | > | d |
| ۶ نفر | d | > | b | > | c | > | a |
| ۵ نفر | a | > | b | > | c | > | d |
| ۴ نفر | a | > | c | > | b | > | d |
| ۲ نفر | d | > | b | > | a | > | c |
| ۲ نفر | d | > | c | > | b | > | a |
برنده در روش
جمع بندی: d
برنده در روش
حذفی: aبرنده در روش
دو به دو: c که پیروز قاطع هم هست.برنده در روش
بردا: bاحتمالاً از هر روش انتخاباتی خوب سه ویژگی زیر را انتظار داریم:
همه رأی‌ها دارای ارزشی یکسان باشد، و رأی هیچ کس بر دیگران برتری نداشته باشد.
اگر همه رأی دهندگان a را به b ترجیح دادند، روش انتخاباتی هم a را به b ترجیح دهد.
اگر دو رأی گیری نظر یکسانی در مورد دو نامزد داشتند، نتیجه ی حاصل از روش انتخاباتی در مورد آن دو نیز یکسان باشد. در حقیقت همه ی نامزدها دارای شرایط برابر باشند.
Kenneth J Arrow در ۱۹۶۱ ثابت کرد که اگر تعداد نامزدها از ۲ نفر بیش تر باشد، هیچ روش انتخاباتی وجود ندارد که دارای سه ویژگی مذکور باشد. در حقیقت او نشان داد که تلاش ما برای پیدا کردن یک روش انتخاباتی خوب بی حاصل است!!! و هر روشی حداقل فاقد یکی از سه ویژگی بالاست.
اگر با رابطه‌های ریاضی در کتاب‌های درسی آشنا شده اید، موضوع به زبان فنی‌تر از این قرار است:
اگر مجموعه ی نامزدها را X بنامیم، آن گاه هر برگ رأی دهنده رابطه ای کامل و متعدی روی X است. زیرا ترجیح دادن، یک رابطه بین نامزدهاست که بین همه ی آن ها وجود دارد، یعنی رابطه کامل است. و اگر به طور مثال a به b ترجیح داده شود و b به c، آن گاه بدیهی است که a به c ترجیح دارد، یعنی رابطه متعدی است.
فرض کنید که R مجموعه ی همه ی رابطه های کامل و متعدی روی X باشد. هر انتخابات با شرکت n رأی دهنده، متناظر با یک n-تایی مرتب مانند (T1,T2,....Tn) است که 
. و یک روش انتخاباتی تابعی است که به این n-تایی مرتب یک رابطه در R نسبت می‌دهد.(چرا؟) در حقیقت Arrow ثابت کرد تابعی که هر سه شرط یالا را برآورده کند، وجود ندارد.
بررسی کنید که هر کدام از روش های معرفی شده، کدام یک از ویژگی های بیان شده را دارند.
