هندسه ی کاشی‌کاری

اگر واژه ی کاشی کاری را در لغت نامه جستجو کنید، متوجه می شوید که: کاشی کاری یعنی کنار هم چیدن منظم قطعات کوچک به نحوی که شکل موزائیکی تشکیل شود. معادل این لغت در زبان انگلیسی Tessellate است که از واژه یونانی "Tessers" گرفته شده است. این کلمه ی عجیب و غریب هم یعنی "چهار". چون اولین کاشی ها، چهارگوش یا مربع بودند.

حتماً همه ی شما کاشی کاری های بسیار زیبای مساجد را دیده اید. می توان ساعت ها در مسجد امام یا شیخ لطف الله اصفهان به کاشی های کوچک نگاه کرد واز آن ها لذت برد. اما آیا می دانید کاشی کاری چه ارتباط نزدیکی با هندسه دارد؟

قضیه را باید از چند ضلعی های منتظم شروع کرد. چون "کاشی کاری منتظم" به سطحی گفته می شود که تماماً از چند ضلعی های هم نهشت منتظم پوشیده شده باشد. حتماً به یاد دارید که منتظم بودن یعنی طول همه ی ضلع ها یکسان باشد و دو چند ضلعی هم نهشت دارای شکل و اندازه یکسان هستند.

رابطه ی هندسه و کاشی ناشی از این موضوع است که در فضای اقلیدسی،( یعنی همین فضای سه بعدی معمولی) همه ی شکل های منتظم نمی توانند سطوح را پوشش دهند. این خاصیت تنها در مثلث، مربع و شش ضلعی وجود دارد. ما نمی توانیم تمام صفحه را نشان بدهیم، چون همان طور که می دانید صفحه تا بی نهایت امتداد دارد. به شکل های زیر دقت کنید و تصور کنید که آن ها را از یک سطح کاشی کاری شده، بریده ایم:

وقتی به این سه نمونه دقت می کنید به سادگی متوجه می شوید که کاشی های مربعی به ترتیب در پی هم چیده شده اند. اما مثلث ها و شش ضلعی ها این طور نیستند. ظاهراً برای پوشاندن سطح، لازم بوده آن ها را به سمت هم هل بدهند و در هم فرو کنند. در ضمن اگر هم زمان به 6 مثلث کنار هم نگاه کنید، یک شش ضلعی می بینید. چرا ؟ برای جواب دادن به این سؤال کمی با یک نرم افزار شبیه ساز کار کنید. برای گرفتن این نرم افزار این جا کلیک کنید و temp1 را اجرا کنید. سعی کنید با چند ضلعی های منتظم سطحی را بپوشانید. آیا واقعاً این کار با بعضی از چند ضلعی ها امکان پذیر است؟

با استفاده از دو علامت  و می توانید نوع چند ضلعی را تغیر دهید و با استفاده از کشیدن هر شکل به صفحه ی چپ، شکل بسازید.

 حال یک کار ساده انجام دهید. زوایای داخلی هر چند ضلعی منتظم را اندازه بگیرید و در این جدول یادداشت کنید:

تعداد اضلاع	اندازه ی زاویه ی داخلی (درجه)
3	60
4	90
5	108
6	120
7	5/128
8	135
9	140
10	144
11	150
.	.
.	.
n	180(n-2)/n

رابطه ی اعداد این جدول با چند ضلعی هایی که سطح را می پوشانند، چیست؟ آیا تعداد چند ضلعی های کاشی گون متناهی است؟

شرط پوشانده شدن صفحه این است که در هر رأس، یعنی در جایی که ضلع های کاشی های مختلف به هم می رسند، مجموع زوایای داخلی برابر 360 درجه باشد. پس تنها چند ضلعی هایی که زاویه ی داخلی آن ها مقسوم علیه صحیح 360 درجه است، برای کاشی کاری مناسب هستند. از طرف دیگر با افزایش تعداد اضلاع، زاویه ی داخلی بزرگ تر می شود و برای پوشاندن سطح در یک رأس به کاشی های کم تری نیاز داریم. مثلاً اگر بخواهیم این کار را با 11 ضلعی انجام دهیم، فقط به دو کاشی احتیاج داریم (چون نزدیک ترین عدد صحیح کوچک تر از 360 که بتوان از تقسیم 360 بر 150 به دست آورد، عد 2 است). اما اگر به شکل زیر نگاه کنید، متوجه می شوید که این کار غیر ممکن است:

زیرا زاویه ی داخلی هیچ چند ضلعی ای نمی تواند بیش تر از 180 درجه باشد. پس تعداد چند ضلعی های کاشی مانند چند عدد است؟ برای شمارش آن ها انگشتان یک دست کافی است!

البته اگر کار در همین نقطه متوقف می شد، هنر شکل های تکراری از حد پیراهن چهارخانه فراتر نمی رفت! نکته در این جاست که برای این کار ما مجبور نیستیم فقط از یک نوع چند ضلعی منتظم استفاده کنیم. ترکیب های زیادی از انواع چند ضلعی ها ممکن است. اما می دانید که همه ی آن ها مناسب نیستند. حال قانون ریاضی این مسأله را پیدا می کنیم.

برای حل این مسأله می توانیم ابتدا تمام ترکیب های 3 تایی ممکن را پیدا کنیم. سپس ترکیب های چهارتایی ها، پنج تایی ها و... این کار را تا جایی ادامه می دهیم که دیگر بیش تر از آن تعداد، امکان پذیر نباشد.
به اشکال زیر دقت کنید. گاهی در اثبات ریاضی، ترسیم اشکال بسیار موثر خواهد بود.

اگر تعداد شکل ها را بشمارید، عدد 21 را به دست خواهید آورد. اما در واقع فقط 17 ترکیب مختلف وجود دارد. چرا؟

حال باید ببینیم کدام شکل ها قابلیت کاشی شدن را دارند.
برای راحتی کار یک روش نام گذاری برای این اشکال معرفی می کنیم. بدیهی است که نقاط رأس مشترک، پایه ی نام گذاری ما هستند.

1. ابتدا یک رأس مشترک را انتخاب می کنیم و کم ضلع ترین کاشی اطراف آن را پیدا می کنیم.
2. بیش ترین تعداد تکرار این چند ضلعی را پیدا می کنیم.
3. سپس تعداد اضلاع این چند ضلعی را در نظر می گیریم و به تعدادی که از آن چند ضلعی وجود دارد، کنار هم قرار می دهیم. مثلاً 3.3 یعنی 3 مثلث.
4. در یک جهت (مثلأ جهت عقربه های ساعت) حرکت می کنیم و تعداد اضلاع چند ضلعی های بعدی را به ترتیب یادداشت می کنیم.
5. مشخصه ی اصلی کارشی کاری تکرار شدن الگوی واحد است. بنابراین شرطی که به ما کمک می کند، این است که در همه ی رأس ها به ترکیبی از چند ضلعی ها برسیم. حال شروع به امتحان اشکال کنید. این کار به سادگی ممکن است. فقط کافی است آن ها را کپی کرده و در برنامه ای مانند Paint چندین بار Paste کنید و سعی کنید آن ها را کنار هم بچینید.

-

-

چند عدد چند ضلعی مناسب برای کاشی پیدا کردید؟

خسته شدید؟ حال بازی کنید!

با download کردن یکی از این نرم افزارها می توانید هر شکل دلخواهی را بسازید و به کمک آن کاشی و کاغذ دیواری  درست کنید. نحوه ی کار با آن ها مثل امکانات هر نرم افزار گرافیکی دیگری است. ممکن است بعد از بازی یا همین الان سوالی در ذهنتان باشد و آن این که چه طور می شود از اشکال غیر هندسی الگوهای تکراری ساخت؟