بهینه سازی

بهینه‌سازی ریاضی، در ساده‌ترین شکل تلاش میکند که با گزینش نظام مند داده‌ها از یک مجموعه قابل دستیابی و محاسبه مقدار یک تابع حقیقی مقدار بیشینه و کمینه آن به دست آید‌.

در اواخر فصل مشتق کتاب دیفرانسیل با مسایلی بر می خوریم که باید مینیمم یا ماکزیمم سازی در آنها اتفاق بیافتد. اما مشکلی که پیش میاد اینه که یک متغیر نداریم! در این جور مسایل اول یکی از متغیرها رو بر اساس دیگری بدست میاریم، مشتق میگیریم و مشتق رو مساوی با صفر قرار می دهیم. به عبارت دیگر در این مسایل دو عبارت شامل دو متغیر به دست می آید که یکی از آنها مقدار ثابتی دارد و عبارت دیگر مرتباٌ تغییر می کند و ما می خواهیم تعیین کنیم عبارت دوم چه موقع min یا max می شود.

برای حل اینگونه مسائل باید کاری کنیم که:

1- عبارتی که بر حسب دو متغیر در حال تغییر است به یک متغیر تبدیل شود و این عمل با به دست آوردن یکی از متغیرها بر حسب دیگری از آن عبارت ثابت و جای گذاری در عبارتی که تغییر می کند ، انجام خواهد شد.

2- با مشتق گیری از این عبارت min یا max آن بدست می آید .

بخش مثال ها

در این قسمت با بعضی از کاربردهای مشتق min,max در مسائل نظری و عملی آشنا خواهیم شد.

به عنوان مثال می خواهیم ببینیم بین مستطیل هایی که دارای محیط ثابت می باشند ، کدام یک دارای بیشترین مساحت است؟

محیط مستطیل(عبارت ثابت)p=2(x +y) <-

مساحت مستطیل (عبارت در حال تغییر) -> S =xy

عبارت p=2(x +y) مقداری ثابت است و عبارت S =xy در حال تغییر . می خواهیم max S  را بدست آوریم :

از رابطه ثابت p=2(x +y) مقدار y را بر حسب x پیدا کرده و در رابطه در حال تغییر S =xy قرار می دهیم و بعد با استفاده از مشتق ، ماکزیمم s را محاسبه می کنیم .