سه شنبه 3 اسفند 1395 - 24 جمادي الاول 1438 - 21 فوريه 2017
معادله هر صفحه با یک نقطه از آن و یک بردار عمود بر صفحه که به آن بردار نرمال می گویند ،بدست می آید....
عکس نویسنده
عکس نویسنده
نویسنده : پروین نظری
بازدید :
زمان تقریبی مطالعه :

معادله صفحه در فضای سه بعدی

معادله هر صفحه با یک نقطه از آن و یک بردار عمود بر صفحه که به آن بردار نرمال می گویند ،بدست می آید.

معادله صفحه در فضای سه بعدی

 از هر نقطه در فضا دقیقاً یک صفحه میگذرد که  بر یک بردار مفروضی عمود باشد.

در مقاله قبل گفتیم معادله خط در فضای 3 بعدی زمانی مشخص می شود که یک نقطه روی خط را داشته باشیم.و برداری موازی با خط  که با نام "بردار هادی" آن را می شناسیم، موجود باشد.معادله صفحه نیز با یک نقطه از آن و بایک بردار اما عمود بر صفحه مشخص می شود. که به آن بردار نرمال می گویند.

معادله صفحه ای که از نقطهp0(x0,y0,z0)   می گذرد و عمود بر بردار نرمال n (a,b,c) می باشد، برابر است با

a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0                                                           

معادله صفحه در فضای سه بعدی

معادله صفحه در فضای سه بعدیاثبات: در شکل فوق میبینیم که نقطه p و p0 روی صفحه هستند و بردارواصل این دو نقطه برابر است با:

pp0=(x-x0,y-y0,z-z0)                                                                      

در ضمن می دانیم اگر دو برادر برهم عمود باشند، ضرب داخلی آنها برابر صفر است پس ضرب داخلی بردار فوق با بردار n برابر صفر است.

معادله صفحه در فضای سه بعدی

بنابر این معادله صفحه در حالت کلی برابر a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0  می باشد ولی بعد از ساده سازی به فرم استاندارد ax+by+cz+d=0 تبدیل می شود.                        

معادله صفحه در فضای سه بعدیمثال: معادله صفحه ای بنویسید که شامل نقطه A(1,2,3)  باشد و بر بردار n(-2,2,1)  عمود باشد. 
 

معادله صفحه در فضای سه بعدی

معادله صفحه در فضای سه بعدیمثال : معادله صفحه ای را بنویسید که از نقطه A(-3,2,1) گذشته و بر خط زیر عمود باشد:
 

معادله صفحه در فضای سه بعدی

پاسخ: بردار نرمال صفحه همان بردار هادی خط یعنی(3,2,-1)  می باشد.
 

معادله صفحه در فضای سه بعدی

معادله صفحات در حالت های خاص

1- معادله صفحه عمود بر یکی از محورهای مختصات:
هرگاه صفحه ای عمود بر یکی از محورهای مختصات باشد بردار یکه متناظر آن محور می تواند نقش بردار نرمال صفحه را داشته باشد مثلا صفحه ای که از نقطهp0(x0,y0,z0) گذشته و عمود بر محور  xها  باشد دارای بردار نرمالn(1,0,0) است و در نتیجه معادله صفحه برابر است با :     x-x0=0   یا x=x0     .
2- معادله صفحه عمود بر یکی از صفحات مختصات:
هرگاه صفحه ای عمود بر یکی از صفحات مختصات باشد مثلا صفحه ای که از نقطه p0(x0,y0,z0) گذشته و عمود بر صفحه xy باشد آنگاه بردار نرمال صفحه ، موازی صفحه xy و عمود بر محور zها می باشد در نتیجه مولفه z بردار نرمال برابر صفر می باشد یعنی بردار نرمال به شکل n(a,b,0)  است و معادله صفحه عبارتست از:   a(x-x0)+b(y-y0)=0  .

حالت های مختلف محاسبه بردار نرمال صفحه

1- هنگامی که سه نقطه C,B,A از صفحه را می دهند طوریکه این سه نقطه متمایز و غیر واقع بر یک خط راست باشند ، بردار نرمال از ضرب خارجی هر دوبرداری که از این سه نقطه بسازیم بدست می آید مثلا:
 

معادله صفحه در فضای سه بعدی

یاد آوری: ضرب خارجی دو بردار به شکل زیر تعریف می شود:
مولفه های بردار اول بالا و مولفه های بردار دوم پایین قرار می گیرند:

معادله صفحه در فضای سه بعدی

2- حالتی که یک خط با بردار هادی u و یک نقطه A درون صفحه داده می شود یک نقطه اختیاری از خط مانند B را در نظر می گیریم بردار نرمال صفحه از ضرب خارجی دو بردار u و AB بدست می آید.

معادله صفحه در فضای سه بعدی

3 -هنگامی که دو خط موازی با بردار هادی u، موازی یا داخل صفحه باشند از هر کدام از دوخط یک نقطه مانند B,A را در نظر می گیریم بردار نرمال از ضرب خارجی بردارهای uوAB بدست می آید.

معادله صفحه در فضای سه بعدی

4- حالتی که دو خط متقاطع با بردارهای هادی u1 وu2  موازی یا داخل صفحه باشند بردار نرمال صفحه از ضرب خارجی بردارهای هادی دو خط u1 وu2  بدست می آید.

معادله صفحه در فضای سه بعدی

وضعیت دو صفحه نسبت به هم

دو صفحه در فضا یکی از دوحالت زیر را دارند:

1 -موازی: هنگامی موازیند که بردار های نرمال آنها با هم موازی باشندبه عبارتی یکی ضریبی از دیگری باشد.

2 -متقاطع: هنگامی متقاطعند که موازی نباشند.

در این صورت از برخورد این دو صفحه یک خط ایجاد می شود که به آن خط فصل مشترک دو صفحه می گویند. از آنجایی که این خط در هر دو صفحه وجود دارد پس بر بردارهای نرمال هر دو صفحه عمود می باشد(چون بردار نرمال بر تمام خطوط صفحه عمود است بر فصل مشترک هم عمود است).

نتیجه: چون بردار هادی فصل مشترک دو صفحه بر هردو بردار نرمال عمود است از ضرب خارجی دو بردار نرمال بردار هادی فصل مشترک بوجود می آید.

تهیه: مرکز یادگیری تبیان

تلفن : 81200000
پست الکترونیک : public@tebyan.com
آدرس : بلوارکشاورز ، خیابان نادری ، نبش حجت دوست ، پلاک 12

ارتباط با ما

روابط عمومی

درباره ما

نقشه سایت

تعدادبازدیدکنندگان
افراد آنلاین