سه شنبه 3 اسفند 1395 - 24 جمادي الاول 1438 - 21 فوريه 2017
معادله خط در فضای 3 بعدی زمانی مشخص می شود که یک نقطه روی خط و ...برداری موازی با خط را دشته باشیم.
عکس نویسنده
عکس نویسنده
نویسنده : پروین نظری
بازدید :
زمان تقریبی مطالعه :

معادله خط در فضای سه بعدی

معادله خط در فضای سه بعدی

معادله خط در فضای دو بعدی به صورت y=mx+b  نشان داده می شود.در واقع در فضای دو بعدی برای نوشتن یه معادله خط به یک نقطه از خط و شیب آن خط احتیاج است.اما باید بدانیم بین خط در فضای سه بعدی با خط در فضای دو بعدی کاملاً تفاوت وجود دارد

معادله خط در فضای 3 بعدی زمانی مشخص می شود که:

1- یک نقطه روی خط را داشته باشیم.

3- برداری موازی با خط  که با نام "بردار هادی" آن را می شناسیم، موجود باشد.بردار هادی را معمولا با حرف v یا u نسان می دهند.

معادله خط در فضای سه بعدی

اگر (x0,y0,z0)  یک نقطه از خط  باشد و ( 𝑉⃗ (a,b,c برداری موازی این خط یا همان بردار هادی خط.می توان به  دو روش زیر معادله خط در فضا را بدست آورد،

معادله متقارن یا کانونیک

معادله خط در فضای سه بعدی

معادله پارامتریک

نوع دیگر نمایش معادله ی خط، نمایش پارامتریک معادله ی خط می باشدبرای نمایش پارامتریک معادله ی خط ابتدا معادله ی خط را برابر پارامتر 𝑡 قرار می دهیم و مولفه های 𝑥 ، 𝑦 و 𝑧 را

برحسب 𝑡 بدست میآوریم:

معادله خط در فضای سه بعدی

در معادلات فوق باید گفت که متغیرِ 𝑡 هر چیزی میتواند باشد. یعنی شما به 𝑡 هر مقداری بدهید  مختصات نقطه ای

حاصل می شود که آن نقطه حتما روی خط خواهد بود.

معادله خط در فضای سه بعدیمثال: معادله متقارن و پارامتری خطی را بنویسید که از نقطه (1,2,3) گذشته و با خط v=(2,4,7) موازی باشد:

معادله خط در فضای سه بعدی

اکنون معادله پارامتری خط فوق را بدست می آوریم.

معادله خط در فضای سه بعدی

نکته: برای نوشتن معادله خط ممکن است یکی از مولفه های بردار هادی صفر باشد، در این صورت:
1- گر a=0 باشد معادله متقارن خط به شکل زیر می باشد:

معادله خط در فضای سه بعدی 

برای b=0 و c=0 به طریق مشابه می باشد.

2- اگرa=0  و b=0 در این صورت معادله متقارن خط به شکل زیر می باشد:

معادله خط در فضای سه بعدی

 
معادله خط در فضای سه بعدیمثال: معادله ی خطی را بنویسید که از نقطه ی 𝐴=(1,2,5)  گذشته و موازی بردار 𝑉⃗ =(2,0,6)  باشد.

معادله خط در فضای سه بعدی

برای ادامه می توانیم از نکات فوق استفاده کنیم اما راهی هم که این نکته را حفظ نکنید .گر در معادله ی کانونیکِ خط، مخرجِ کسر برابر صفر شد، صورت را نیز مساوی صفر قرار می دهیم که عبارت 𝒚=𝟐  بدست می آید اما از کجا آمد؟ برای پاسخ به این سوال باید معادله ی پارامتریک این سوال رو هم بنویسیم. و در آخر  به این نتیجه می رسیم چون مخرج کسر قسمت 𝒚 ، صفر شد، قسمت 𝒚 رو از پارامتریک قرض گرفتیم.

معادله خط در فضای سه بعدی

نکته:

برای محاسبه معادله خط با استفاده از دو نقطه از آن کافی ست بردار هادی را از طریق این دو نقطه محاسبه کنیم.
معادله خط در فضای سه بعدیمثال: معادله خطی بنویسید که از دو نقطه 𝐴=(1,2,3)  و 𝐵=(2,3,4)  بگذرد.

معادله خط در فضای سه بعدی

بردار می تواند بردار هادی باشد زیرا منطبق بر خط است و انطباق یکی از حالات موازی می باشد.

معادله خط در فضای سه بعدی

نکته: زمانی مخرج کسرها برابر بردار هادی خواهد بود که ضرایب 𝑥 ، 𝑦 و 𝑧 در صورت مثبت یک (+1 ) باشد.

وضعیت دو خط در فضا به صورت یکی از سه حالت زیر می باشد:

1- متوازی: دو خط همدیگرو قطع نمی کنند و دریک صفحه واقع هستند.

2- متقاطع: دریک نقطه همدیگرو قطع می کنند.

3- متنافر: همدیگرو قطع نمی کنند و در یک صفحه هم نیستند.

در شکل زیر به ترتیب از چپ به راست شماره های 1 تا 3 نشان داده شده اند.

معادله خط در فضای سه بعدی

نکته: زمانی که بردارهای هادی دو خط با هم موازی باشند، دو خط نیز باهم موازی اند. به عبارت دیگر اگر نسبت مولفه های بردارهای هادی برابر باشند، آن دو موازی اند.

معادله خط در فضای سه بعدی

معادله خط در فضای سه بعدیالبته چون انطباق حالتی از توازی است بعد از چک کردن شرط موازی بودن دو خط اگر هر نقطه دلخواه از یک خط در خط دیگر هم صدق کند، آن دو خط منطبق بر هم هستند.

نکته: اگر دو خط موازی نبودند دو خط یا متقاطعند و یا متنافر. برای تشخیص متقاطع یا متنافر بودن باید معادله ی یک خط رو پارامتریک بنویسید،

𝑥 ، 𝑦 و 𝑧 اون خط رو بگذارید توی معادله ی اون یکی. دو تا معادله ازش استخراج می کنیم. از آن 𝑡 را حساب می کنیم. اگر 𝑡های حساب شده با هم برابر بود، دو خط متقاطعند اگر نبود. دو خط متنافر هستند.

مثال: وضعیت دو خط زیر را نسبت به هم چک کنید:

معادله خط در فضای سه بعدی

ابتدا باید موازی بودن را چک کنیم.

معادله خط در فضای سه بعدی

معادله خط در فضای سه بعدی

بنابر این دو خط متنافرند.

تهیه:پروین نظری- مرکز یادگیری تبیان

تلفن : 81200000
پست الکترونیک : public@tebyan.com
آدرس : بلوارکشاورز ، خیابان نادری ، نبش حجت دوست ، پلاک 12

ارتباط با ما

روابط عمومی

درباره ما

نقشه سایت

تعدادبازدیدکنندگان
افراد آنلاین