هرگاه عملی به m طریق و عمل دوم به n طریق قابل اجرا باشد، در آن صورت انجام همزمان این دو عمل به mn طریق امکان پذیر است. ...
بازدید :
زمان تقریبی مطالعه :

ترکیبات

ترکیبات و یا آنالیزترکیبی یکی از شاخه‌های جذاب ریاضیات است که به بررسی مسائلی مانند شمارش، روی مجموعه‌های متناهی می‌پردازد. یکی از اصول اساسی شمارش قاعده حاصل ضرب می باشد.

ترکیبیات

اصل ضرب

هرگاه عملی به m طریق و عمل دوم به n طریق قابل اجرا باشد، در آن صورت انجام همزمان این دو عمل به m.n طریق امکان پذیر است.
در حالت کلی اگر انجام یک کار در چند مرحله اتفاق بیفتد طوریکه مرحله اول به n1 طریق مرحله دوم به n2 طریق .....مرحله k به nk طریق قابل انجام باشد، در این صورت کل کار به  n 1×n 2×…..×nk روش قابل انجام است. 
ترکیبیات
مثال: دو تاس مختلف و یک سکه پرتاب می کنیم به چند طریق می توان این آزمایش را انجام داد؟ 
جواب: 6×6×2=72
مثال: با ارقام 1234 
الف)چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟  جواب:  4×4×4=64 
ب) چند عدد سه رقمی می توان ساخت به طوریکه ارقام مجاور متمایز باشند؟  جواب: 4×3×2=24
ترکیبیات

اصل شمارش مکمل

گاهی تعداد حالت های جواب مساله بسیار زیاد است و یا محاسبه آن پیچیده است، در این حالت از روش متمم استفاده می کنیم. یعنی وقتی حالت های جواب زیاد می شود پس حالت های غیر جواب کم می شود بنابر این می توانیم کل را از غیر جواب کم کنیم. 
در شکل زیر مطلوب ما قسمت A است که می توانیم به صورت زیر آن را بدست آوریم:
             A=U-A'                                                                                      

ترکیبیات

گاهی تعداد حالت های جواب مساله بسیار زیاد است و یا محاسبه آن پیچیده است، در این حالت از روش متمم استفاده می کنیم.

 

ترکیبیات

مثال: در چند عدد سه رقمی رقم تکراری وجود دارد؟
جواب: در این مساله تعداد حالات محاسبه سخت می شود زیر ممکن است رقم اول و دوم تکراری باشد یا رقم دوم و سوم یا رقم اول و سوم  یا کل ارقام.در این حالت کافی ست ارقام متمایز را از کل کم کنیم.
 10 ×10×9 - 9×9×8 = 900-648=252                                    

جایگشت

اگر تعدادی شئ متمایز داشته باشیم. به هر طریق قرار گرفتن این اشیا کنار هم جایگشت می گویند. برای محاسبه تعداد کل جایگشت ها به تعریف فاکتوریل احتیاج داریم.

ترکیبیات


فاکتوریل
به ازای هر عدد صحیح n (n≥0)، n فاکتوریل که با نماد ! n نشان می دهند به طریق زیر تعریف می شود:
 

ترکیبیات

مثال های زیر را مشاهده بفرمایید:
 

ترکیبیات

اکنون تعریف ریاضی جایگشت را بیان می کنیم:

ترکیبیات  تعداد همه جایگشت های غیر تکراری  n شی متمایز برابر است با   n!  .
حال اگر در n شئ همگی متمایز نباشند و n1 تا از یک نوع اول ، n2 تا از نوع دوم و ...  nkتا از نوع kام باشد، در آن صورت تعداد همه جایگشت های متفاوت برابر است با :

ترکیبیات


مثال:  با حروف کلمات aabbbc چند کلمه می توان ساخت؟

ترکیبیات


مثال: به چند طریق می توان 3 کتاب ریاضی مختلف و 4 کتاب فیزیک مختلف را در کنار هم چید به طوریکه:
الف) کتاب های ریاضی کنار هم باشند؟
ترکیبیات
ب) کتاب های هم موضوع کنار هم باشند:
ترکیبیات
مثال: در یک کنفرانس 3 مهندس و 4 دکتر می خواهند سخنرانی کنند. به چند روش می توان سخنرانی این افراد را برنامه ریزی کرد به طوریکه مهندس ها پشت هم سخنرانی کنند.
 ترکیبیات

ترکیب و ترتیب

تعریف ترکیب
در جایگشت می خواهیم همه n شئ متمایز را کنار هم بچینیم اما  ترکیب تعداد حالات انتخاب تعدادی معین از اعضای یک مجموعه n عضوی است.
به هر انتخاب غیر مرتب r شی ازn شی داده شده یک ترکیب r شی ازاین n شی گفته می شود. ترکیب را با نمادهای زیر نمایش می‌دهند و آن را انتخاب r از n می نامند.

ترکیبیات


تعریف ترتیب
به تعداد حالت های انتخاب k شئ از n شئ متمایز به طوری که ترتیب انتخاب ها مهم باشد، ترتیب می گویند و برابر است با:
 

ترکیبیات


مثال: از بین 3 مهندس و 4 دکتر به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد ؟
ب) به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد که هم دکتر داشته باشند و هم مهندس؟
ج) به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد که فقط یک مهندس باشد؟
پاسخ:

ترکیبیات

مثال: در یک اداره که 10 نفر مشغول به کار هستند:
الف) به چند طریق می توان سه نفر از آنها را انتخاب کرد؟
ب) به چند طریق می توان یک رئیس ، یک معاون، و یک منشی انتخاب کرد؟
در قسمت الف انتخاب و جایگاه افراد اهمیت ندارد پس با یک مساله ترکیب روبرو هستیم . حاصل برابر است با:

ترکیبیات

اما در قسمت ب انتخاب افراد به واسطه جایگاهشون مهم است پس با یک مساله ترتیب روبرو هستیم و داریم:

ترکیبیات

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان