ترکیبات
ترکیبات و یا آنالیزترکیبی یکی از شاخههای جذاب ریاضیات است که به بررسی مسائلی مانند شمارش، روی مجموعههای متناهی میپردازد. یکی از اصول اساسی شمارش قاعده حاصل ضرب می باشد.
اصل ضرب
در حالت کلی اگر انجام یک کار در چند مرحله اتفاق بیفتد طوریکه مرحله اول به n1 طریق مرحله دوم به n2 طریق .....مرحله k به nk طریق قابل انجام باشد، در این صورت کل کار به n 1×n 2×…..×nk روش قابل انجام است.
مثال: دو تاس مختلف و یک سکه پرتاب می کنیم به چند طریق می توان این آزمایش را انجام داد؟
جواب: 6×6×2=72
مثال: با ارقام 1234
الف)چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟ جواب: 4×4×4=64
ب) چند عدد سه رقمی می توان ساخت به طوریکه ارقام مجاور متمایز باشند؟ جواب: 4×3×2=24
اصل شمارش مکمل
گاهی تعداد حالت های جواب مساله بسیار زیاد است و یا محاسبه آن پیچیده است، در این حالت از روش متمم استفاده می کنیم. یعنی وقتی حالت های جواب زیاد می شود پس حالت های غیر جواب کم می شود بنابر این می توانیم کل را از غیر جواب کم کنیم.در شکل زیر مطلوب ما قسمت A است که می توانیم به صورت زیر آن را بدست آوریم:
A=U-A'
گاهی تعداد حالت های جواب مساله بسیار زیاد است و یا محاسبه آن پیچیده است، در این حالت از روش متمم استفاده می کنیم. |
مثال: در چند عدد سه رقمی رقم تکراری وجود دارد؟
جواب: در این مساله تعداد حالات محاسبه سخت می شود زیر ممکن است رقم اول و دوم تکراری باشد یا رقم دوم و سوم یا رقم اول و سوم یا کل ارقام.در این حالت کافی ست ارقام متمایز را از کل کم کنیم.
10 ×10×9 - 9×9×8 = 900-648=252
جایگشت
فاکتوریل
به ازای هر عدد صحیح n (n≥0)، n فاکتوریل که با نماد ! n نشان می دهند به طریق زیر تعریف می شود:
اکنون تعریف ریاضی جایگشت را بیان می کنیم:
تعداد همه جایگشت های غیر تکراری n شی متمایز برابر است با n! .
مثال: با حروف کلمات aabbbc چند کلمه می توان ساخت؟
مثال: به چند طریق می توان 3 کتاب ریاضی مختلف و 4 کتاب فیزیک مختلف را در کنار هم چید به طوریکه:
الف) کتاب های ریاضی کنار هم باشند؟
ب) کتاب های هم موضوع کنار هم باشند:
مثال: در یک کنفرانس 3 مهندس و 4 دکتر می خواهند سخنرانی کنند. به چند روش می توان سخنرانی این افراد را برنامه ریزی کرد به طوریکه مهندس ها پشت هم سخنرانی کنند.
ترکیب و ترتیب
تعریف ترکیبدر جایگشت می خواهیم همه n شئ متمایز را کنار هم بچینیم اما ترکیب تعداد حالات انتخاب تعدادی معین از اعضای یک مجموعه n عضوی است.
به هر انتخاب غیر مرتب r شی ازn شی داده شده یک ترکیب r شی ازاین n شی گفته می شود. ترکیب را با نمادهای زیر نمایش میدهند و آن را انتخاب r از n می نامند.
تعریف ترتیب
به تعداد حالت های انتخاب k شئ از n شئ متمایز به طوری که ترتیب انتخاب ها مهم باشد، ترتیب می گویند و برابر است با:
مثال: از بین 3 مهندس و 4 دکتر به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد ؟
ب) به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد که هم دکتر داشته باشند و هم مهندس؟
ج) به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد که فقط یک مهندس باشد؟
پاسخ:
مثال: در یک اداره که 10 نفر مشغول به کار هستند:
الف) به چند طریق می توان سه نفر از آنها را انتخاب کرد؟
ب) به چند طریق می توان یک رئیس ، یک معاون، و یک منشی انتخاب کرد؟
در قسمت الف انتخاب و جایگاه افراد اهمیت ندارد پس با یک مساله ترکیب روبرو هستیم . حاصل برابر است با: