ترکیبات

مثال: در چند عدد سه رقمی رقم تکراری وجود دارد؟
جواب: در این مساله تعداد حالات محاسبه سخت می شود زیر ممکن است رقم اول و دوم تکراری باشد یا رقم دوم و سوم یا رقم اول و سوم  یا کل ارقام.در این حالت کافی ست ارقام متمایز را از کل کم کنیم.
 10 ×10×9 - 9×9×8 = 900-648=252                                   

اکنون تعریف ریاضی جایگشت را بیان می کنیم:

  تعداد همه جایگشت های غیر تکراری  n شی متمایز برابر است با   n!  .
حال اگر در n شئ همگی متمایز نباشند و n1 تا از یک نوع اول ، n2 تا از نوع دوم و ...  nkتا از نوع kام باشد، در آن صورت تعداد همه جایگشت های متفاوت برابر است با :

مثال:  با حروف کلمات aabbbc چند کلمه می توان ساخت؟

مثال: به چند طریق می توان 3 کتاب ریاضی مختلف و 4 کتاب فیزیک مختلف را در کنار هم چید به طوریکه:
الف) کتاب های ریاضی کنار هم باشند؟

ب) کتاب های هم موضوع کنار هم باشند:

مثال: در یک کنفرانس 3 مهندس و 4 دکتر می خواهند سخنرانی کنند. به چند روش می توان سخنرانی این افراد را برنامه ریزی کرد به طوریکه مهندس ها پشت هم سخنرانی کنند.
 

ترکیب و ترتیب

تعریف ترکیب
در جایگشت می خواهیم همه n شئ متمایز را کنار هم بچینیم اما  ترکیب تعداد حالات انتخاب تعدادی معین از اعضای یک مجموعه n عضوی است.
به هر انتخاب غیر مرتب r شی ازn شی داده شده یک ترکیب r شی ازاین n شی گفته می شود. ترکیب را با نمادهای زیر نمایش می‌دهند و آن را انتخاب r از n می نامند.

تعریف ترتیب
به تعداد حالت های انتخاب k شئ از n شئ متمایز به طوری که ترتیب انتخاب ها مهم باشد، ترتیب می گویند و برابر است با:

مثال: از بین 3 مهندس و 4 دکتر به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد ؟
ب) به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد که هم دکتر داشته باشند و هم مهندس؟
ج) به چند طریق می توان یک کمیته 3 نفره تشکیل داد که فقط یک مهندس باشد؟
پاسخ:

مثال: در یک اداره که 10 نفر مشغول به کار هستند:
الف) به چند طریق می توان سه نفر از آنها را انتخاب کرد؟
ب) به چند طریق می توان یک رئیس ، یک معاون، و یک منشی انتخاب کرد؟
در قسمت الف انتخاب و جایگاه افراد اهمیت ندارد پس با یک مساله ترکیب روبرو هستیم . حاصل برابر است با:

اما در قسمت ب انتخاب افراد به واسطه جایگاهشون مهم است پس با یک مساله ترتیب روبرو هستیم و داریم:

تهیه: پروین نظری- مرکز یادگیری سایت تبیان