انرژی در حرکت نوسانی ساده

هدف:

درک مفهوم انرژی در موج و حرکت نوسانی ساده و ارتباط آن با دامنه موج

شرح درس:

ابتدا با یک تعریف شروع می کنیم:
به انرژی منتقل شده در محیط ، موج می گوییم؛ که این انتقال انرژی بدون جا به جایی ماده اتفاق می افتد. برای این که مفهوم انرژی و موج را بهتر متوجه شویم، باید ابتدا دینامیک و مفهوم انرژی در دینامیک را خوب فهمیده باشیم تا در این قسمت نیز به مشکل برخورد نکنیم.

انرژی منتقل شده در حرکت نوسانی:

یک فنر و جسم متصل به آن را طبق شکل زیر در نظر بگیرید:

تصور کنید سطحی که نوسان روی آن انجام می شود، کاملا بدون اصطکاک است؛ بنابراین طبق آن چه از دینامیک و بقای انرژی مکانیکی به یاد داریم، تصورمان این است که انرژی مکانیکی مجموعه فنر و جرم، یک مقدار ثابت باشد تا بقای انرژی برقرار باشد.

انرژی جنبشی جسم از رابطه K = (1/2)mv² به دست می آید. همان طور که از مطلب "معادلات حرکت نوسانی ساده" به یاد دارید، معادله سرعت با توجه به تابع موجی x=Asin(ωt)  به صورت زیر بود:

v(t) = dx(t)/dt= ωAcos(ωt)

حال در رابطه انرژی جنبشی داریم:

K = (1/2)mv2 = (1/2)mω2A2cos2ωt

چون فنر خاصیت کشسانی دارد و از قانون هوک F=-kx پیروی می کند، پس انرژی پتانسیل کشسانی آن از رابطه

U = (1/2)kx2  به دست می آید(k= mω²):

U = (1/2)kx² = (1/2)mω²x² = (1/2)mω²A²sin²ωt

می دانیم که انرژی مکانیکی کل به صورت مجموع انرژی پتانسیل و جنبشی تعریف می شود:

E = K + U = (1/2)mω²A²(cos²ωt + sin²ωt) = (1/2)mω²A²

پس با توجه به اینکه k= mω² است، انرژی مکانیکی سیستم با مجذور دامنه متناسب خواهد بود و به زمان وابسته نیست(k عدد ثابتی است(ثابت فنر) و فقط به جنس فنر بستگی دارد):

E = (1/2)kA²

بنابراین برای هر جسمی که حرکت نوسانی ساده ای با فرکانس ω دارد، نیروی بازگرداننده F =-kx= -mω²x  از قانون هوک پیروی می کند و به همین دلیل یک نیروی پایستار است.

در شکل 1 و قسمت راست آن، تغییرات انرژی جنبشی و پتانسیل و مجموع آن ها یعنی انرژی مکانیکی را نسبت به مکان می بینیم.
در این شکل منظور از xm همان دامنه A است.
شکل 2 نشان دهنده ی تغییرات انرژی جنبشی و پتانسیل است؛ همان طور که می بینید، مجموع آن ها یعنی انرژی مکانیکی مجموعه مستقل از زمان است:

انرژی نوسانگر ساده چطور با دامنه ارتباط دارد؟

مقدار انرژی که با یک موج منتقل می شود، به دامنه آن موج مربوط است. هر چه موج، پر انرژی باشد، دامنه آن بزرگتر است و برعکس. همانگونه که قبلا نیز گفتیم، دامنه یک موج با بیشترین مقدار جا به جایی که ذره در محیط نسبت به نقطه تعادل و سکون خود انجام می دهد، مربوط است.

زمین لرزه ها و دیگر اختلالات وابسته به زمین شناسی به دلیل موج های لرزه ایی اتفاق می افتند. موج لرزه ایی، موجی است که در آن، انرژی از طریق زمین و بر روی سطح آن منتقل می شود و زمین لرزه اتفاق می افتد.

سوال 1:
دامنه موجی در اقیانوس 2/5 متر است. تغییرات آب و هوایی باعث می شوند دامنه تا ٠/٥ متر افزایش پیدا کند. مقدار انرژی منتقل شده توسط موج:

• الف) نصف می شود
• ب) دو برابر می شود
• ج) چهاربرابر می شود
• د) همان مقدار قبل باقی می ماند.

جواب:
گزینه ج صحیح است. انرژی منتقل شده توسط موج به طور مستقیم با مجذور دامنه مرتبط است.

سوال 2:
جرمی از یک فنر آویزان شده و با فرکانس زاویه ای 2 rad/s  نوسان می کند. فنر از سقف یک آسانسور آویزان شده و هنگامی که آسانسور با سرعت ثابت 1/5 m/s  پایین می آید، نسبت به آن، بی حرکت است. ناگهان آسانسور می ایستد؛ اگر از جرم فنر صرف نظر کنیم:

• الف) جرم آویخته به فنر با چه دامنه ای نوسان می کند؟

• ب) معادله حرکت ذره را بنویسید (جهت حرکت جرم را مثبت در نظر بگیرید).

جواب الف)
وقتی آسانسور با سرعت ثابت حرکت می کند، نیروی خالص وارد بر جرم آویخته به فنر صفر است. بزرگی نیروی وارد بر فنر با نیروی گرانشی وارد بر جرم برابر است. فنر به حالت عمودی و در حالت تعادلی است. زمانی که آسانسور ناگهان می ایستد، انتهای فنر که به سقف آسانسور وصل شده است، از حرکت می افتد.

اما جرم آویخته به آن دارای اندازه حرکت p = mv است و برای همین شروع به کشیدن فنر می کند. فنر از نقطه تعادلی خود در حالت عمودی عبور می کند و بیشینه سرعت آن vmax = 1.5 m/s  است.

معادله سرعت به عنوان تابعی از زمان به صورت زیر است:

v(t) = -ωAcosωt

به دلیل این که v_max = ωA و ω =2 rad/s ، پس دامنه نوسان خواهد بود: A = 0.75 m

ب) معادله حرکت ذره d²x/dt² = -(k/m)x = -ω²x است. جواب این معادله:

x(t) = Asinωt = (0.75 m)sin (2/s)t

اگر در لحظه t=0 آسانسور متوقف شود و جهت حرکت مثبت را رو به بالا بگیریم، x(0) = 0 و v(0) = -1.5 m/s خواهد بود.

سوال 3:

مجموع فنر و جرم متصل به آن با دامنه 3/5 cm نوسان می کند. اگر ثابت نیروی فنر 250 N/m و جرم متصل به آن 0.5 kg باشد:

• الف) انرژی مکانیکی سیستم

• ب) بیشترین سرعت جرم و بیشترین شتاب آن

حل الف:

حل ب)

مرکز یادگیری سایت تبیان - تهیه: خدیجه آلچالانلو
تنظیم: مریم فروزان کیا