اعداد اول

دهمین دوره از پروژه های دانش‌آموزی تبیان نیز با یاری خداوند و حضور پرشور شما دوستان و علاقه‌مندان به پایان رسید اما کار ما هنوز تمام نشده است! این دوره نیز همچون سال های گذشته دوستان بسیاری با ثبت طرح ها و ایده های خلاقانه خود در منوی "پیشنهاد موضوع" ما را در ارتقای تنوع پروژه ها یاری نموده‌اند. هم چون گذشته بر آن شدیم تا با گردآوری این ایده های جالب، علاوه بر قدردانی از این دوستان نوآور، زمینه‌ای را برای ایده پروری سایر پژوهشگران علاقه‌مند فراهم آوریم. فراموش نکنید که ما همیشه منتظر طرح های جدید شما عزیزان هستیم.

نام ایده: اعداد اول
نام ارائه‌دهنده/دهندگان: مهرسا راسخ
زمینه و نوع پروژه: ریاضی
درجه سختی: متوسط
نام مدرسه: دبیرستان دخترانه غیردولتی هما (دوره اول)

در این پروژه بحث تاریخچه اعداد اول، الگوریتم ها و اهمیت آن مورد بررسی قرار می گیرد و آشنایی با بعضی از قضایای مربوطه که دانش آموز دوره راهنمایی توانایی درک آن را داشته باشد. اعداد اول یکی از اساسی ترین تعاریف در ریاضیات هستند. آن ها پس از قرن ها مطالعه هنوز دارای رموز بسیاری اند. ساختار مجموعه اعداد اول هنوز به درستی شناخته شده نیست.

اعداد اول در قلب ریاضیات قرار دارند و نقش های مهمی برای مثال در زمینه رمز گشایی دارند. برای مطالعه در مورد اعداد اول محققین چیزی که به نام لنز ریاضیاتی معروف است را توسعه داده‌اند که به آن ها اجازه می دهد تا در منظره های خاصی بر روی اعداد اول فوکوس کنند.

به تازگی دو ریاضیدان به نام های جان فریدلندر از دانشگاه تورونتو و هنریک ایوانیچ از دانشگاه روتگرز نیوجرسی دنیای ریاضیات را با خبر ساختن لنز جدیدی برای پالودن هرچه بیشتر اعداد اول متحیر ساختند. کار آن ها مخصوصا از این لحاظ شگفت انگیز است که مسئله مهمی در ریاضیات که پیشرفتی در آن در صد سال اخیر رخ نداده را حل می کند. اهمیت کار فریدلندر و ایوانیچ را در تاریخچه آن می توان دید. اقلیدس اولین کسی بود که نشان داد بینهایت عدد اول در بین اعداد صحیح وجود دارد.

مدت ها بعد در سال 1837 گوستاو لجن دیریکله نشان داد که اگر a و d نسبت به هم اول باشند در تصاعد حسابی a, a+d, a+2d, a+3d,…بی نهایت عدد اول وجود دارد.

با توجه به کارهای دیریکله دو سوال به ذهن می رسد: "در چه دنباله های دیگری از اعداد می توان بی نهایت عدد اول یافت؟" کسی می تواند چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول در این دنباله ها را تعیین کند؟"

تکنیک هایی که در دهه 1890 اختراع شد به ریاضیدانان اجازه می داد تا تقریب خوبی در مورد چند وقت به چند وقت ظاهر شدن اعداد اول در اعداد صحیح و هم چنین دنباله هایی که دیریکله بررسی نمود به دست آورند.

این تکنیک ها را می توان تغییر داد تا نشان دهیم که بی نهایت عدد اول در هر نوع دنباله‌ای از اعداد وجود دارد برای مثال در دنباله اعداد به فرم a2+21b2  و دنباله های مشابه.

ولی به هرحال همه دنباله هایی که به این روش ها بررسی می شد یک خاصیت مشترک داشتند آن ها تنک نبوده و شامل تعداد بسیار زیادی عدد غیر اول بودند بنابر این به عنوان لنز نمی توانستند فوکوس خیلی دقیقی را فراهم کنند.

مهارت های کسب شده

آشنایی با شیوه انجام پژوهش
آشنایی با الگوریتم های اعداد اول

بخش پژوهش های دانش آموزی تبیان

تهیه: مهدی رحمانی

تنظیم: علی سرمدی