محاسبه جرم مشتری – جلسه چهارم
هندسه ی مسأله و اندکی مثلثات
زمان عملیاتی: 90 دقیقه
روند کار:
در این جلسه می خواهیم بررسی کنیم که حرکت قمرها به دور مشتری، آن طور که در جلسه ی پیش بررسی کردیم، از دید ناظر زمینی چطور دیده می شود. زیرا همان طور که می دانیم ما از مشتری یک قرص کوچک نورانی و و از قمرهای آن چهار نقطه می بینیم که در یک خط، جلو و عقب می روند. قبل از آن اندکی روابط و توابع مثلثاتی که در این پروژه احتیاج داریم را بررسی خواهیم کرد.
در یک مثلث قائم الزاویه (A=90o) روابط زیر برقرارند:
sin B = cos C = AC/BC
cos B = sin B = AB/BC
یک تابعمثلثاتی به صورت زیر رسم می شود. (اگر بخواهیم نمودار چیزی که وابسته به sinθ است را رسم کنیم.)
(برای دانش آموزان راهنمایی و اول دبیرستان لازم است پیش از اینها اندکی مقدمات ریاضی توابع گفته شود.)
خب...
می دانیم که مدار سیاراتمنظومه شمسی تقریباً در یک صفحه قرار دارد. همان صفحه ای که مدار زمین به دور خورشید هم در آن واقع است و آن را دایره البروج می نامیم. اقمار مشتری هم تقریباً در صفحه ی استوای مشتری به دور آن می گردند. اگر تقریب بزنیم و از زاویه ی استوای مشتری با دایره البروج صرف نظر کنیم. (که البته زاویه ی کوچکی است و می توانیم این کار را بکنیم.) می توانیم در نظر بگیریم که راستای دید ما (زمین) روی صفحه ی گردش اقمار به دور مشتری قرار دارد و ما کاملاً از پهلو به این سیستم نگاه می کنیم.
چون مدار قمر دایره ای است، سیاره در زمان های مساوی زاویه های مساوی طی می کند و در زمان T (دوره تناوب) o360 یا 2π رادیان را طی می کند. بنابراین در زمان t، زاویه ی θ را طی می کند، به طوری که:
ω=2π/T=θ/t یا θ=ωt
خطی که قمر از دید ما به صورت رفت و برگشتی طی می کند، در حقیقت تصویر مدار دایره ای از دید ماست. ولی قمر آن را از دید ما با سرعت ثابت طی نمی کند. وقتی از جلو (یا پشت) مشتری رد می شود، جا به جایی آن را بیشتر می بینیم. سپس سرعت آن کمتر می شود، تا انتها می رود، توقف کوتاهی می کند و برمی گردد.
اگر موقعیت آن را در لحظات مختلف رسم کنیم و نمودار آن را بر حسب زمان رسم کنیم، می بینیم که فاصله ی ظاهری قمر تا مشتری، بر حسب زمان، تابعی سینوسی به ما می دهد. دلیل این مطلب را می توانیم در شکل زیر ببینیم.
a = R sin θ = R sin ω
در رابطه ی بالا، ω و R ثابت اند. بنابراین a (فاصله ظاهری از مشتری) بر حسب t، نموداری است که باید رسم کنیم.
کاری که باید در این پروژه انجام شود، اندازه گیری a از روی نرم افزار و رسم نمودار است. از روی نمودار می توان R و ω را حساب کرد و T از روی ω محاسبه می شود.
چند نکته:
- عدد a که نرم افزار می تواند به ما بدهد بر حسب پیکسل یا فاصله افقی از مشتری بر حسب قطر مشتری است. این اندازه باید با احتساب شعاع سیاره به کیلومتر تبدیل شود.
- زاویه ی زمین نسبت به مشتری همیشه ثابت نیست. به دلیل گردش دو سیاره به دور خورشید، راستای دید ما تغییر می کند. این تغییر زاویه را با احتساب زاویه ای که هر کدام در مدارشان طی کرده اند می توان محاسبه نمود و تأثیر داد.
- برای چهار قمر، می توان چهار نمودار متفاوت به دست آورد که هر کدام R و ω خود را دارند. نتیجه ی نهایی برای جرم که از این R ها و T ها به دست می آیند باید یکی باشند.
بخش پژوهش های دانش آموزی سایت تبیان
تنظیم: یگانه داودی
محاسبه جرم مشتری – جلسه اول
محاسبه جرم مشتری – جلسه دوم
محاسبه جرم مشتری – جلسه سوم
محاسبه جرم مشتری – جلسه چهارم
