برای تعیین جهت لنگر باید از قاعده دست راست استفاده کرد به این ترتیب که امتداد دست راست در امتدادی که نیرو بر آن وارد شده است قرار گیرد ...
عکس نویسنده
عکس نویسنده
بازدید :
زمان تقریبی مطالعه :

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

اهداف: بیان مفاهیم بردارها و حل مسائلی از بردارها و نیرو و تعادل و همچنین حل مسائل مربوط به لنگر و کوپل

 

در این بخش پس از بررسی و حل مسائل مربوط به بردارها از طریق بردارها و نیروها به تحلیل مسائل لنگرها و کوپل ها و تعادل می پردازیم.

مثال 1: نیروی 10KN به نقطه A وارد می شود، مطلوب است تعیین لنگر F حول نقطه O. نقاطی را روی محورهای x و y تعیین کنید که لنگر F حول آن ها صفر است.

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

جواب:

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
 
از تشابه مثلث ها داریم:
 
طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
 

نکته: برای تعیین جهت لنگر باید از قاعده دست راست استفاده کرد به این ترتیب که امتداد دست راست در امتدادی  که نیرو بر آن وارد شده است قرار گیرد و دست به سمت جهت نیرو خم شود (بچرخد) در این صورت جهتی که شصت در آن قرار می گیرد جهت گشتاور را نشان می دهد و از روی آن گشتاورها را از هم کم می کنیم یا با هم جمع می کنیم مانند مثالی که حل کردیم ولی ابتدا باید یک جهت چرخش را جهت مبنا یا مثبت فرض کرد و بقیه گشتاورها را طبق آن علامت + یا – فرض کرد.

 

مثال 2: مطلوب است تعیین لنگر نیروی  200N حول نقطه A و O

جواب:

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

نمودار آزاد:

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

مثال 3: کره ی صاف 20kg مطابق شکل، روی دو سطح شیب دار قرار دارد. نیروهای تماسی را در نقاط A و B تعیین کنید. ابتدا طبق همان تعریف تعادل عمل می کنیم. به این شکل که طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارمباشد امّا در این مسئله ابتدا تمام نیروها در راستای x باید صفر شود و بعد در راستای Y.

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

نمودار آزاد:

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

 
مثال 4: در این مثال می خواهیم دو مفهوم لنگر و تعادل را با هم مخلوط کنیم و با استفاده از ترکیب این دو مفهوم مسئله زیر را حل کنیم.

تیر یکنواخت به جرم 50kg بر متر طول مفروض است. مطلوب است محاسبه واکنش ما در تکیه گاه O. نیروهای نشان داده شده در صفحه ی عمودی واقع اند.

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

جواب:

اول باید نمودار آزاد آن را رسم کنیم و تمام نیروها و لنگرها را در آن نمایش دهیم بعد چرخش مثبت یا مبنا را انتخاب می کنیم بعد قوانین تعادل را می نویسیم. بعد باید توجه کنیم که مسئله  جرم هر متر را به ما داده مثلاً اگر بخواهیم جرم نیم متر را بدست آوریم باید 50 را به 2 تقسیم کنیم و بعد برای بدست آوردن نیرو آن را باید در g (شتاب گرانشی زمین) ضرب کنیم 

(F=ma) یا (F=mg)

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

تعریف مفاهیم مربوط به بردارها

 تعریف نیرو و بردار نیرو

نیرو نماینده کنش یک جسم بر جسم دیگر است و به طور کلی با نقطه اثر، بزرگی و راستایش مشخص می شود. نیروهایی که بر یک ذره معین وارد می شود نقطه اثر مشترکی دارند.

بزرگی نیرو با عددی از یکاها مشخص می شود. یکاهای SI که مهندس ها برای اندازه گیری بزرگی نیرو به کار می برند عبارتند از: نیوتن (N) و کیلو نیوتن (KN)، راستای نیرو را خط اثر و جهت نیرو مشخص می کند.

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
شکل 1-1
طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

شکل 1-2    

 

جمع بردارها

نیروها از قواعد معمول جمع در حساب و جبر پیروی نمی کنند. به عنوان مثال حاصل جمع دو نیروی عمود بر هم 4 نیوتنی و 3 نیوتنی 5N می شود نه 7N.

√(4^2+3^2 )=5

بردارها طبق قانون متوازی الاضلاع به هم افزوده می شوند. بنابراین مجموع دو بردار P و Q را می توان با اتصال آن ها به نقطه ای مثل A و رسم متوازی الاضلاع نیروها بدست آورد، به طوری که P و Q دو ضلع مجاور این متوازی الاضلاع باشند مطابق شکل زیر:

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

 
برآیند چند نیروی هم رس

یک ذره A را در نظر بگیرید که به آن چند تا نیروی هم صفحه (یعنی نیروهایی واقع در یک صفحه) اثر می کنند.

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

چون همه این نیروها از A می گذرند. آن ها را اصطلاحا همراس می گویند. مجموع بردارهای نماینده نیروهای وارد بر A را می توان با استفاده از قاعده چند ضلعی بدست آورد. از آنجا که استفاده از قاعده ی چند ضلعی عملا معادل با کاربرد مکرر قانون متوازی الاضلاع است، پس بردار R که به این ترتیب بدست می آید، نماینده برآیند نیروهای همراس وارد بر A خواهد بود. یعنی نیرویی که به تنهایی بر ذره A همان اثر نیروهای اولیه را دارد.

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

  تجزیه یک نیرو به مولفه های آن

تا این جا دیدیم که دو یا چند نیروی وارد بر یک ذره را می شود به یک تک نیرو تبدیل کرد که همان اثر را بر روی ذره دارد. بر عکس هر تک نیروی F را که به یک ذره اثر می کند می توان به دو یا چند نیرو تبدیل کرد که (با هم) همان اثر را بر ذره می گذارند. این نیروها را مولفه های نیروی اصلی F می گویند و به فرآیند جایگزینی آن ها به جای F ، تجزیه نیروی F به مولفه ها می گویند.

 

Fx: مولفه نیروی F در راستای محور x

Fy: مولفه نیروی F در راستای محور y

 

چگونه مساله حل کنیم؟

برای حل مساله طبق مراحل زیر عمل کنید:

1- تمام نیروهای وارد بر جسم را مشخص می کنیم  و نیرو برآیند آن ها را معین می کنیم. بهتر است معادله برداری وابستگی نیروها را بنویسید.

مثلا برای شکل زیر: R=P+Q-

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
 

2- یک متوازی الاضلاع بکشید که دو ضلع مجاورش همان دو نیروی مورد نظر (Q,R) و قطر متوازی الاضلاع برابر با برآیند این دو نیرو (R) باشند.(شکل فوق)

یا از قاعده مثلث استفاده کنید. یعنی نیروها را به طریق سر به دم رسم کنید و برای پیدا کردن برآیندشان دم اولین بردار را به سر دومین بردار وصل کنید. مطابق شکل زیر:

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

3- همه مقادیر عددی را نشان بدهید. یکی از مثلث های دو نیمه متوازی الاضلاع یا مثلث حاصل از قاعده مثلث را در نظر بگیرید و همه ابعاد را، اعم از ضلع و زاویه روی آن نشان دهید و اندازه های مجهول را به روش ترسیمی یا مثلثاتی بدست آورید.اگر از روش مثلثاتی استفاده می کنید، یادتان باشد که در صورت معلوم بودن دو ضلع و زاویه بین آن ها، اول قانون کسینوس ها را به کار ببرید و اگر یک ضلع و دو زاویه معلوم بود از قانون سینوس ها استفاده کنید.

 

مسئله نمونه 1:

دو نیروی P و Q مطابق شکل به پیچ A اثر می کنند برآیند آن ها را تعیین کنید.

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

حل:

الف) حل ترسیمی: متوازی الاضلاع نیروها را با دو ضلع P و Q به مقیاس درست رسم می کنیم و بعد بزرگی و راستای برآیند را اندازه می گیریم، به این ترتیب نتیجه می شود که

 

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

R= 98 N , α= 35°

از قاعده مثلث هم می توانیم استفاده کنیم. نیروهای P و Q را به شیوه سر به دم رسم کنید و مجددا بزرگی و راستای برآیند آن ها را اندازه می گیریم. (به عهده دانش آموز)

 

ب) حل مثلثاتی: باز هم از قاعده مثلث استفاده می کنیم؛ دو ضلع و زاویه بین آن ها معلوم است؛ با استفاده از قانون کسینوس ها داریم:

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
R² = P² + Q² - 2PQ cos β

R² = (40N)² + (60N)² - 2(40N)(60N) cos 155°

R = 97.73 N

حالا با به کاربردن قانون سینوس ها می نویسیم:

sin A ⁄ Q = sin B / R sin A ⁄ 60N = sin 155° / 97.73 1

از حل معادله فوق بر حسب SinA ، نتیجه می شود:

sin A = (60) sin 155° / 97.73 N

با استفاده از ماشین حساب ابتدا خارج قسمت کسر، بعد آرک سینوس آن را محاسبه می کنیم که نتیجه می شود:

A= 15.04° α = 20° + A = 35.04°

پاسخ ها را فقط تا سه رقم با معنی ثبت می کنیم.

R = 97.7N , α= 35°

حل دیگر مثلثاتی: مثلث قائم الزاویه BCD را رسم و مقادیر زیر را محاسبه می کنیم:

CD = (60N) sin25° = 25.36 N

BD = (60N) cos25° = 54.38 N

حال با استفاده از مثلث ACD، داریم:

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

tan A = 25.3 N / 94.38 N A= 15.04°

R = 25.36 / sinA R= 97.73 N

باز هم به نتیجه قبلی می رسیم:

α = 20° + A = 35.04°

R = 97.7N , α= 35°

توجه: مساله نمونه 2 به عنوان تمرین به دانش آموزان داده شود.

 

مسئله نمونه 2:

قایق B توسط دو یدک کش A و C کشیده می شود. اگر برآیند نیروهایی که یدک کش ها وارد می کنند 5000N و در امتداد محور قایق باشد،

الف) کشش در هر یک از طناب ها را تعیین کنید. α=45°

ب) مقدار a را طوری تعیین کنید که کشش در طناب 2 حداقل باشد.

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

حل:

الف) حل ترسیمی: از قانون متوازی الاضلاع استفاده می کنیم؛ قطر متوازی الاضلاع (یا برآیند نیروها) معلوم و برابر با 5000N به طرف راست است، اضلاع آن را موازی با طناب ها رسم می کنیم. اگر شکل را به مقیاس درست رسم کنیم. با اندازه گیری این مقدارها را بدست می آوریم.

T1=3700N T2=2600N

ب)حل مثلثاتی: می توانیم از قاعده مثلث استفاده کنیم. توجه می کنیم که این مثلث نمایانگر نیمی از متوازی الاضلاع پایین است. با استفاده از قانون سینوس ها می نویسیم:

T1 / sin 45° = T2 / sin 30° = 5000N / sin 105°

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

ابتدا با ماشین حساب خارج قسمت کسر آخر را حساب می کنیم و نتیجه را به حافظه می دهیم. سپس این مقدار را به ترتیب در sin 45° وsin 30° ضرب می کنیم که نتیجه می شود:

T1=3660N T2=2590N

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

مقدار a برای اینکه T2 حداقل باشد. برای انیکه a را طوری تعیین کنیم که کشش در طناب 2 حداقل باشد، باز هم از قاعده مثلث استفاده می کنیم. در شکل زیر خط 1-1 امتداد معلوم کشش T1 است. T2 می تواند راستاهای مختلفی داشته باشد که در شکل با خطوط 2-'2 نشان داده شده اند.
 
طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم
 

می بینیم که مقدار T2 وقتی حداقل می شود که T1 و T2 بر هم عمود باشند. مقدار حداقل T2 برابر است با:

T2 = (5000N) sin 30° = 2500 N

و مقدارهای متناظر T1و خ± برابرند با:

T2 = (5000N) cos 30° = 4330 N

α = 90° - 30° = 60°

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه چهارم

تکلیف: مسائل بیش تر از مسائل تعادل و لنگر حل کنید

منابع مطالعه: کتاب های استاتیک بخش های تعادل و سیستم های نیرو

 

مطالب مرتبط:

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه اول

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه دوم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه سوم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه پنجم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه ششم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه هفتم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه هشتم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه نهم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه دهم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه یازدهم

طراحی و ساخت سازه های ماکارونی - جلسه دوازدهم

 

بخش پژوهش های دانش آموزی تبیان - تنظیم: فاطمه گودرزی