تبیان، دستیار زندگی
به هر یک از این اعضا دو نیرو اثر می کند ، که هر یک از آن ها به یک سر عضو وارد می شود. این نیروها بزرگی مساوی، خط اثر یکسان ...
عکس نویسنده
عکس نویسنده
بازدید :
زمان تقریبی مطالعه :

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

اهداف: تحلیل خرپاها و آموزش حل مسائل مربوط

روش تحلیل خرپاها

همان طور که گفته شد می توانیم هر خرپا را به مجموعه ای از پین ها و اعضا تقسیم کنیم و می توانیم برای هر پین و هر عضو، جداگانه نمودار جسم آزاد رسم کنیم. به هر یک از این اعضا دو نیرو اثر می کند ، که هر یک از آن ها به یک سر عضو وارد می شود. این نیروها بزرگی مساوی، خط اثر یکسان دارند و در خلاف جهت یکدیگرند.

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

علاوه بر این، قانون سوم نیوتن نشان می دهد که نیروهای عمل و عکس العمل بین یک عضو و یک پین برابر و در خلاف جهت هم اند. بنابراین، نیروهای وارد از یک عضو بر دو پین، در تماس با آن، باید در امتداد آن عضو و برابر و در خلاف جهت هم باشند. از آن جا که خط اثر کلیه نیروهای داخلی خرپا معلوم اند، تحلیل آن خلاصه می شود به محاسبه نیروها در عضوهای گوناگون و تعیین اینکه آیا هر یک از عضو تحت کشش است یا تحت فشار. در این جلسه و جلسه بعد مثال هایی از تحلیل خرپا و تعیین نیروهای اعضای خرپا آورده شده است.

چون کل خرپا در وضع تعادل است، بنابراین هر پین باید در تعادل باشد. در تعادل بودن یک پین را می توانیم با رسم نمودار جسم آزاد و نوشتن دو معادله تعادل بیان کنیم (تعادل نیرو در راستای x و تعادل نیرو در راستای y).

اگر خرپا n تا پین داشته باشد آنوقت 2n معادله تعادل خواهد داشت، که آن ها را با 2n مجهول می شود حل کرد. در مورد خرپای ساده داریم:m=2n-3 یعنی 2n=m+3 ، و در نتیجه تعداد مجهول هایی که می شود از روی نمودار جسم آزادانه پین ها بدست آورد برابر است با m+3.

یعنی نیروهای همه عضوها و همچنین دو مولفه عکس العمل RA و عکس العمل RB را می شود با در نظر گرفتن نمودار جسم آزادانه پین ها بدست آورد.

از این واقعیت که کل خرپا جسمی صلب و در حالت تعادل است، می توانیم برای نوشتن سه معادله اضافی دیگر شامل نیروهای نشان داده شده در نمودار جسم آزاد شکل (1-3) استفاده کنیم.

چون این معادله ها اطلاعات جدیدی نمی دهند، از معادله های مربوط به نمودارهای جسم آزاد پین ها مستقل نیستند. با وجود این، آن ها را می توانیم برای تعیین مولفه های عکس العمل ها در تکیه گاه ها بکار ببریم . آرایش پین ها و عضوها در هر خرپای ساده طوری است که همیشه می شود مفصلی پیدا کرد که فقط دو تا نیروی مجهول داشته باشد. این نیروها را می شود با استفاده از روش هایی که در مثال ها می بینید، تعیین کرد و مقدارشان را به مفصل های مجاور انتقال داد و در این مفصل ها با آن ها به عنوان مقدارهای معلوم رفتار کرد، و با تکرار این روش می شود همه نیروهای مجهول را بدست آورد.

به عنوان مثال خرپای شکل (1-3) را با در نظر گرفتن پیاپی تعادل هر پین تحلیل خواهیم کرد. از مفصلی که فقط 2 مجهول دارد شروع می کنیم. در مورد این خرپا، همه پین ها دست کم تحت تاثیر سه نیروی مجهول قرار دارند. بنابراین، ابتدا باید عکس العمل ها در تکیه گاه ها را با در نظر گرفتن کل خرپا به عنوان جسم آزاد و به کار بردن معادله های تعادل جسم صلب تعیین کرد. به این ترتیب معلوم می شود که RA عمودی است و بزرگی های RA و RB نیز تعیین می شود.

بنابراین تعداد نیروهای مجهول در مفصل A به دو تا کاهش می یابد و این نیروها را می شود با در نظر گرفتن تعادل پین A تعیین کرد. عکس العمل RA و نیروهای FAC و FAD که عضوهای AC و AD به پین A وارد می کنند باید مثلث نیروها را تشکیل بدهند. ابتدا RA را رسم می کنیم (شکل 2-3)

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

با توجه به این که FAC و FAD به ترتیب در امتداد AC و AD قرار دارند ، مثلث را تکمیل می کند و بزرگی و جهت FAC و FAD را بدست می آوریم. مقادیر FAC و FAD نشان دهنده نیروها در عضوهای AC و AD هستند. چون FAC به طرف پایین و سمت چپ یعنی به طرف مفصل A است. عضو AC پین A را می فشارد و در فشار است. از طرف دیگر، چون FAD از مفصل دور می شود عضو AD پین A را می کشد و در کشش است.

حالا به مفصل D می رسیم، که در آن تنها دو نیروی FDC و FDB هنوز مجهول اند، نیروهای دیگر عبارتند از: بار P که معلوم است، و نیروی FDA وارد بر پین توسط عضو AD. چنانکه در بالا نشان دادیم، این نیرو برابر و در خلاف جهت نیروی FAD وارد از همین عضو بر پین A است. پس می توان چند ضلعی نیروی مربوط به مفصل D را ، چنانکه در شکل (2-3) نشان داده شده است رسم کرد و نیروهای FDC وFDB را از چند ضلعی بدست آورد.

با وجود این، وقتی بیش از سه نیرو در مفصل وجود دارد، معمولا نوشتن معادله های تعادل و حل کردن آن ها برای یافتن دو نیروی مجهول آسانتر است. چون هر دو این نیروها به طرف خارج مفصل D هستند. عضوهای DC و DB پین را می کشند و در کشش اند.

بعد مفصل C را در نظر می گیریم. نمودار جسم آزاد C در شکل 2-3 نشان داده شده است، یادآوری می کنیم که هر دو نیروی FCD و FCA از تحلیل مفصل های قبلی معلوم اند و تنها FCB مجهول است. چون تعادل هر پین اطلاعات کافی برای تعیین دو مجهول را فراهم می کند، تحلیل ما در این مفصل تایید می شود. مثلث نیروها را رسم، و بزرگی و جهت FCB را تعیین می کنیم. چون جهت FCB به طرف مفصل C است، عضو CB بر پین C فشار وارد می کند و در فشار است. با بررسی اینکه نیروی FBC و عضو CB موازی اند وارسی مورد نظر انجام می شود.

در مفصل B همه نیروها معلوم اند. از آن جا که پین مربوطه در حالت تعادل است، مثلث نیروها باید بسته باشد باز هم صحت تحلیل ما تایید می شود.

باید توجه داشته باشید که چند ضلعی های نیروی نشان داده شده در شکل 2-3 یگانه نیستد. هر یک از آن ها را می توان جایگزین دیگری کرد. برای مثال مثلث متناظر با مفصل A را می توان مانند شکل 3-3 رسم کرد. مثلث نشان داده شده در شکل 2-3 از طریق رسم سه نیروی RA ، FAC و FAD به شیوه سر به دم رسم شده است، به طوری که خط اثرهای آن ها، وقتی در پیرامون مفصل A در جهت ساعت گرد حرکت کنند با یکدیگر برخورد می کنند. چند ضلعی دیگر نیرو در شکل 2-3 به همین شیوه رسم شده است و می توان مانند شکل 4-3 آن را به نموداری تنها تبدیل کرد.

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

حل مسئله 2

مسئله نمونه

با استفاده از روش مفصل ها، نیرو در هر یک از عضوهای خرپای نشان داده شده را تعیین کنید.

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

شکل 5-3

حل:

جسم آزاد: کل خرپا: نمودار جسم آزاد کل خرپا را رسم می کنیم، نیروهای خارجی وارد بر جسم آزاد عبارتند از بارهای وارد شده و عکس العمل ها در C و E معادله های تعادل زیر را می نویسیم.

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

شکل 6-3
مجموع لنگرها حول نقطه C در جهت پاد ساعتگرد مثبت
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

جسم آزاد: مفصل A: این مفصل تحت تاثیر تنها دو نیروی مجهول است، یعنی نیروهای وارد از عضوهای AB و AD . برای تعیین FAB و FAD از مثلث نیرو استفاده می کنیم. می بینیم که عضو AB مفصل را می کشد و بنابراین در کشش است و عضو AD مفصل را می فشارد و بنابراین در فشار است بزرگی این نیروها از تناسب زیر بدست می آید.

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

شکل 7-3
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم
جسم آزاد: مفصل D: چون نیروی وارد از عضو AD تعیین شده است، حالا فقط دو نیرو در این مفصل مجهول است. دوباره با استفاده از مثلث نیرو نیروهای عضوهای DB و DE را تعیین می کنیم.
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

شکل 8-3

جسم آزاد: مفصل B: چون بیش از سه نیرو به این مفصل وارد می شود، دو نیروی مجهول FBC و FBE را با حل معادله های تعادل تعیین می کنیم. به دلخواه فرض می کنیم که هر دو نیروی مجهول به طرف خارج A عمل می کنند. یعنی فرض می کنیم که عضوها در کشش اند. مقدار FBC مثبت، نشان می دهد که فرض ما صحیح بوده، و عضو BE در کشش است. مقدار منفی FBE نشان می دهد که فرض ما صحیح نبوده و عضو BE در فشار است.

ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم
شکل 9-3
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم

جسم آزاد: مفصل E: فرض می کنیم مجهول FEC به طرف بیرون از مفصل است، با جمع مولفه های x می نویسیم:
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم
شکل 10-3
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم
با جمع مولفه های y صحت محاسبه هایمان را امتحان می کنیم:
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم
جسم آزاد: مفصل C: با استفاده از مقادیر محاسبه شده FCB و FCE می توانیم عکس العمل های CX و CY را با در نظر گرفتن تعادل این مفصل تعیین کنیم. چون عکس العمل ها را قبلا از تعادل کل خرپا به دست آورده ایم.
می توانیم دوباره محاسبه هایمان را امتحان کنیم.
می توانیم تنها با استفاده از مقادیر محاسبه شده همه نیروهای وارد بر مفصل C (نیروها در عضوها و عکسل العمل ها) برقراری تعادل در این مفصل را تحقیق کنیم:
ساخت پل ماکارونی - جلسه سوم
شکل 11-3
نتیجه گیری: چگونه مسئله حل کنیم:

در این درس، طرز استفاده از روش مفصل ها را برای محاسبه نیروها در عضوهای یک خرپای ساده یاد گرفتید، یعنی خرپایی که می توان آن را از یک خرپای مثلثی اولیه، با افزودن هم زمان دو عضو جدید و اتصال آن ها به یک مفصل جدید به وجود آورد.

مراحل حل مسئله از این قرار است:

1) نمودار جسم آزاد کل خرپا را رسم کنید، و از این نمودار برای تعیین عکس العمل ها در تکیه گاه ها استفاده کنید.

2) مفصلی پیدا کنید که تنها دو عضو را به هم متصل کرده باشد، و نمودار جسم آزاد پین آن را رسم کنید. از این نمودار برای تعیین نیروی مجهول در هر یک از این دو عضو استفاده کنید. اگر تنها سه نیرو داشتید دو نیروی مجهول و یک نیروی معلوم. احتمالا بهتر خواهید دید که مثلث نیروی مربوط را رسم و حل کنید. اگر بیش از سه نیرو وجود داشت، باید معادله های تعادل

را برای پین مورد نظر بنویسید و حل کنید، فرض کنید که عضوها تحت کشش اند. اگر جواب مثبت باشد معنایش این است که عضو در کشش است و جواب منفی یعنی که عضو تحت فشار است. مقادیر نیروهایی را که بدست آورده اید بر روی طرحی از خرپا وارد کنید و نیروهای کشش را با T و نیروی فشاری را با C مشخص کنید.

3) سپس مفصلی را پیدا کنید که نیروها فقط در دو تا از عضوهای متصل به آن، مجهول باشند. نمودار جسم آزاد پین مربوطه را رسم کنید و مطابق آنچه در بالا گفتیم از آن برای تعیین دو نیروی مجهول استفاده کنید.

4) این عمل را تا پیدا کردن نیروهای تمام عضوهای خرپا ادامه بدهید. از آن جا که پیش از این برای تعیین عکس العمل ها در تکیه گاه ها برای جسم آزاد کل خرپا سه معادله نوشته بودید، در آخر کار سه معادله اضافی می ماند. از این معادله ها می توانید برای تحقیق درباره درستی جواب ها استفاده کنید.

5) توجه داشته باشید که انتخاب اولین مفصل یگانه نیست. وقتی عکس العمل ها را در تکیه گاه های خرپا تعیین کردید، می توانید یکی از دو مفصل را به عنوان نقطه شروع تحلیل، انتخاب کنید. همانند مسئله نمونه در صفحات قبل در حل مسئله می توانستیم از مفصل دیگر شروع کرده و دیگر پین ها (مفصل ها) را تحلیل کنیم.

اما در بعضی موارد ممکن است با انتخاب مفصل اول در حین تحلیل به نقطه ای برسیم که بعد از آن نتوانیم کار را ادامه بدهیم. در این صورت باید دوباره از مفصل دیگر شروع کنیم تا حل مسئله کامل شود. به خاطر داشته باشید که خرپای ساده را همیشه می شود با استفاده از روش مفصل ها تحلیل کرد. همچنین یادتان باشد که تهیه طرح کلی حل مسئله نمونه ذکر شده، قبل از محاسبات موثر واقع می شود.

محل بازدید/اردو/خرید: سقف یک سالن ورزشی یا سالن نمایشگاه بین المللی

منابع مطالعه: کتاب استاتیک بیرجانسون ( برای دانلود آن اینجا کلیک کنید )

مطالب مرتبط:

ساخت پل ماکارونی - جلسه اول

ساخت پل ماکارونی - جلسه دوم

ساخت پل ماکارونی - جلسه چهارم

ساخت پل ماکارونی - جلسه پنجم

ساخت پل ماکارونی - جلسه ششم

ساخت پل ماکارونی - جلسه هفتم

ساخت پل ماکارونی - جلسه هشتم

ساخت پل ماکارونی - جلسه نهم

ساخت پل ماکارونی - جلسه دهم

نرم افزار سازه ماکارونی

نرم افزار تحلیل سازه ماکارونی

بخش پژوهش های دانش آموزی تبیان - تنظیم: فاطمه گودرزی