سرعت لحظه‌ای

ما تا قبل از این، با كم نمودن بازه زمانی بررسی حركت، تندی متوسط را به تندی لحظه‌ای تبدیل نمودیم. در آنجا بازه زمانی  را به سمت صفر میل دادیم. اكنون همان فرآیند حدگیری را برای محاسبه سرعت لحظه‌ای به كار می‌گیریم.

زنبور عسل (در شكل زیر) در بازه زمانی  از نقطه P_i به P_f حركت می‌كند و جا به جایی آن در این حركت  می‌باشد.

اگر اجازه دهیم زمان پرواز  كوچك و كوچكتر شود آنگاه زنبور نخواهد توانست مسافت طولانی را طی كند و P_i به P_f نزدیك شده و تقلیل می‌یابد.

بر همین اساس ما سرعت لحظه‌ای را در هر نقطه P_i به عنوان حد جا به جایی جسم تقسیم بر بازه زمانی تعریف می‌كنیم منوط بر اینكه  باشد. یعنی:

به عبارتی مشتق بردار جا به جایی نسبت به زمان سرعت لحظه‌ای است. پس سرعت یك جسم آهنگ تغییر بردار موقعیت آن می‌باشد. از آنجا كه :

بنابراین رابطه فوق را می‌توان بر اساس بردار موقعیت نوشت:

روابط فوق را می‌توان بر حسب مۆلفه‌های بردار موقعیت بیان نمود.

كه  همان مۆلفه سرعت در راستای x (یا V_x )،  مۆلفه سرعت در راستای y (یا V_y) و  مۆلفه سرعت در راستای z (یا V_z) می‌باشد.

اكنون كه رابطه ریاضی  را به دست آورده ایم بد نیست مفهوم فیزیكی آن را كشف كنیم. در این رابطه دو نكته خیلی مهم وجود دارد.

نكته اول:

همزمان با نزدیك شدن P_i به P_f اندازه (یعنی ) به تدریج كاهش می‌یابد و همین موضوع برای طول مسیر منحنی نیز صادق است یعنی  نیز كوچك و كوچكتر می‌شود.

در شكل مقابل زنبور از نقطه P_i به P_f پرواز می‌كند. اما با كوچك كردن (شكل الف تا د) اندازه  به اندازه نزدیك شده و به همین نحو اندازه به V نزدیك می‌شود.

برای مقادیر فوق العاده كوچك ، اندازه و به طور تفكیك ناپذیری با یكدیگر مساوی می‌شوند.

به طوری كه می‌توان نتیجه گرفت كه اگر  آنگاه این دو با هم مساوی شده و در نتیجه :

خواهد شد.

این بدان معنی است كه اندازه سرعت لحظه‌ای (اندازه بردار  یا  ) برابر تندی لحظه‌ای V می‌شود.

نكته دوّم:

وقتی مقدار  به واسطه كوچك شدن ، كاهش یابد، آنگاه نقطه انتهایی  یعنی P_f به سمت نقطه P_i حركت می‌كند.

با فرض  آنگاه P_f به P_i نزدیك و نزدیك تر می‌شود و به خط مماس بر منحنی در نقطه P_i نزدیكتر می‌گردد.

از آنجا كه طی فرآیند حدگیری تعریف می‌شود بنابراین سرعت در هر نقطه مماس بر مسیر حركت و در جهت حركت می‌باشد.

در شكل سمت راست زنبور با تندی ثابت در پرواز است. در هر نقطه از مسیر جهت سرعت مماس بر مسیر حركت می‌باشد.

پس اندازه سرعت برابر تندی لحظه‌ای(V= ) و جهت سرعت مماس بر مسیر خواهد بود.

در عمل تندی لحظه‌ای با آن دقتی كه تصوّر مشاهده می‌كنید قابل محاسبه نیست.

اگر چه  تا آنجا كه ممكن باشد كوچك در نظر گرفته می‌شود.

در شكل مقابل فردی را در حال بازی گلف مشاهده می‌كنید. در این تصویر سرعت سر چوب گلف نشان داده شده است.

به دقت به جهت و مقدار سرعت آن توجّه كنید.

البته می‌توان نمودار اندازه سرعت (تندی) یك جسم را بر حسب زمان رسم نمود و بدین ترتیب نمودار تندی-زمان به دست آورد.

به فیلم زیر توجّه كنید.

در درس های بعدی با این نمودار كار خواهیم داشت.

مرکز یادگیری سایت تبیان - تهیه: محسنی

تنظیم:‌ مریم فروزان کیا