تحلیل ریاضی آزمایش یانگ

برای تعیین موقعیت نوارهای روشن به این نكته توجّه داشته باشید كه تصویر زیر در مقیاس صحیح رسم نشده‌است و در واقع فاصله دو شكاف (d) خیلی خیلی كوچكتر از فاصله تا پرده (L) است.

بر این اساس پرتوهای خروجی از شكاف‌ها تقریباً موازی هستند و با محور افقی زاویه می‌سازند. با توجّه به ناحیه سایه خورده در تصویر زیر این نكته معلوم می‌شود كه اختلاف فاصله نقطه واقع بر پرده از دو شكاف برابر است.

وقتی این اختلاف فاصله، مضرب صحیحی از طولِ‌ موج باشد آنگاه تداخل سازنده روی می‌دهد و نوار روشنی بر پرده نقش می‌بندد.

به m عدد نوار تداخلی گفته می‌شود.

اگر اختلاف فاصله نقطه روی پرده از دو شكاف () برابر مضرب فردی از طولِ‌موج باشد، آنگاه تداخل ویرانگر خواهد بود و نوار تاریكی بر روی پرده به‌وجود می‌آید.

البته هر چه از ناحیه وسط دور می‌شویم شدّت روشنایی نوارهای روشن كاهش می‌یابد. با توجّه به شكل ما می‌توانیم به جای از مقدار معادل آن یعنی x_m/L استفاده كنیم. در اینجا x_m موقعیت نوار تاریك یا روشن است، بنابراین برای m امین نوار روشن خواهیم داشت:

و برای m امین نوار تاریك خواهیم داشت:

همانطور كه از رابطه نوارهای روشن بر می‌آید به غیر از صفر امین نوار روشن، موقعیت سایر نوارهای روشن بستگی به طولِ ‌موج دارد.

بر این اساس وقتی نور سفید بر روی دو شكاف تابانده می‌شود (همان‌طور كه یانگ برای اوّلین بار این كار را كرد) نوارهای روشن بعدی به طور طیف رنگین كمان ظاهر می‌شوند. بدین ترتیب یانگ برای اوّلین بار توانست طولِ‌موج رنگ های مختلف نور مرئی را اندازه بگیرد.

وی ادعا نمود كه تفاوت رنگ ها به علت تفاوت طولِ‌موج آنها است. این فكر صد و پنجاه سال قبل توسط گریمالدی ارائه شده بود.

تمرین

نور سفید از دو شكاف باریك به فاصله 0/5 mm عبور داده می‌شود. و نوارهای روشن بر پرده‌ای به فاصله 2/5 m ظاهر می‌شود. اوّلین نوار كه به صورت رنگین كمان ظاهر می‌شود از رنگ بنفش شروع شده و به رنگ قرمز خاتمه می‌یابد. نوار بنفش تقریباً در فاصله 2 mm از مركز و نوار قرمز در فاصله 2/5 mm از مركز تشكیل می‌شود. طولِ‌ موج نور قرمز و بنفش را به‌دست آورید.