برنده بازی کیست؟
حساب کنید:
تیم شما از تیم حریف، یک امتیاز عقب است. هم تیمی شما که معمولاً از 4 پرتاب آزاد 3 پرتاب را گل می کند، قرار است پرتاب آزاد را بیندازد اگر پرتاب اول را گل کند، اجازه یک پرتاب دیگر هم خواهد داشت هر پرتاب صحیح داخل سبد 1 امتیاز دارد. اگر وقت بازی تمام شده باشد، شانس شما برای برنده شدن بدون نیاز به وقت اضافی چقدر است؟
راهنمایی:
انداختن سکه دو حالت دارد و می توان از آن برای نشان دادن دو حالت برد و باخت در یک پرتاب آزاد استفاده کرد. حال اگر دو سکه را با هم بیندازیم چه نتایجی رخ خواهد داد. چگونه می توان پرتاب آزاد در بسکتبال را با استفاده از سکه مدلسازی کرد.
علم احتمالات به اندازه گیری شانس می پردازد. این علم در ژنتیک، صنعت بیمه، قرعه کشی ها و آزمایش های پزشکی کاربرد دارد.
پاسخ:
احتمال برنده شدن تیم شما 16/9 یا تقریباً 56 درصد است.
شروع کنید:
از پرتاب سکه برای مدلسازی کمک می گیریم. یا فرض کنید آمدن دو خط یا یک خط و یک شیر به معنی افتادن توپ در سبد و آمدن دو شیر به معنی از دست دادن پرتاب است. سکه ها را یکبار بیندازید. اگر دو شیر بیاید یعنی بازیکن پرتاب آزاد از دست داده و بازی تمام خواهد شد. اما گر حداقل 1 خط داشته باشید، بازیکن توپ را سبد انداخته و یک امتیاز کسب خواهد کرد و بازی مساوی می شود. در این صورت بازیکن اجازه دارد که پرتاب دیگر انجام دهد.
دوباره سکه ها را بیندازید آیا تیم شما برنده می شود یا بازی مساوی می شود. این آزمایش را حدود 50 بار تکرار کنید تا بتوانید درباره برد یا باخت تیم خود پیش بینی کنید.
راه حل:
این مسئله چندین راه حل دارد، نمودار مستطیل شکلی رسم کنید و با رسم خطوط افقی آن را به 4 ردیف مساوی تقسیم کنید. سه تا از قسمت ها را به نشانه موفقیت در اولین پرتاب سایه بزنید.
حال با رسم سه خط عمودی، مستطیل را به 4 ستون مساوی تقسیم کنید. سه تا از ستون ها را به شانه موفقیت در دومین پرتاب سایه بزنید.
اکنون مستطیل به 26 خانه مساوی تقسیم شده است به طوری که 9 تا از خانه ها، دوبار سایه زده شده اند که نشانگر موفقیت در هر دو پرتاب یا پیروزی تیم شما بدون نیاز به بازی در وقت اضافی است. چون از 16 نتیجه با احتمال یکسان، 9 نتیجه با احتمال برنده شدن وجود دارد، پس احتمال پیروزی 16/9 خواهد شد.
راه کار دیگر، رسم نمودار درختی است. در این نمودار، کلیه نتایج ممکن و احتمال آن ها در هر پرتاب نوشته شده است. احتمال برنده شدن با ضرب احتمالات روی شاخه های بخصوص به دست می آید. اگر هم تیمی شما از هر 4 بار، سه دفعه پرتاب خود را گل می کند بنابراین با احتمال 4/3×4/3 یا 16/9، پرتاب دوم را نیز گل خواهد کرد.
در نتیجه احتمال برنده شدن بدون وقت اضافی 16/9 خواهد بود.
در این جا احتمالات را در یکدیگر ضرب کردیم، شرط صحت این کار این است که دو واقعه پرتاب توپ از یکدیگر مستقل باشند.
تحقیق کنید:
بدون استفاده از سکه، احتمال آمدن دو خط با دو بار انداختن سکه را پیدا کنید. بدان منظور با استفاده از یک تکه کاغذ مستطیل شکل، واقعه را مدلسازی کنید. کاغذ را از قسمت طول به دو نیمه تا کنید. یکی از نیمه ها نشان دهنده آمدن خط در پرتاب اول و نیمه دیگر نشانگر شیر است. آن ها را نام گذاری کنید. دوباره کاغذ را تا کنید، کاغذ به چهار قسمت مساوی تقسیم می شود. هر یک از قسمت ها را به ترتیب با عنوان های، خط – خط ، خط - شیر ، شیر - خط و شیر- شیر نام گذاری کنید. مقدار مساحت هر قسمت نشان گر احتمال وقوع آن پیشامد است.
مسائل اضافی:
1- محتمل ترین نتیجه تیم شما برای بازی مطرح شده در مسئله آغازین چقدر است؟
2- اگر درصد گل کردن توپ های هم تیمی شما 60 درصد بود، پاسخ مسئله آغازین چه تغییری می کرد؟
3- اگر بخواهیم شانس برنده شدن تیم شما 50 درصد باشد، درصد گل شدن پرتاب هایی بازیکن چقدر باید باشد؟
فکر کنید:
آیا در انتهای بازی فینال، بازیکنان تیم ملی، با مراجعه به درصدهای پرتاب آزاد، تصمیم می گیرند که چه کسی پرتاب آزاد را انجام دهد؟
پس از رخ دادن واقعه ای به تعداد زیاد، یک الگوی کلی به دست می آید که مبنای تخمین احتمال می باشد.
احتمال حتمی رخ دادن یک واقعه، صد در صد یا 1 است. اما باید دانست که برای وقایعی که احتمال آن ها کوچک تر از 1 می باشد، امکان رخ دادن وجود دارد ولی هیچ تضمینی برای آن نیست.
آیا می دانید:
اگر سکه ای را 8 بار بیندازید، شانس آمدن 4 خط پشت سر هم و 4 شیر پشت سر هم برابر با شانس آمدن یک خط و یک شیر به طور متناوب است.
از شبیه سازها کامپیوتری یا ماشین حساب می توان برای تخمین احتمال وقایع گوناگون استفاده کرد.
احتمال برای تصمیم گیری جهت تقسیم منصفانه پیروزی ها اختراع شد. زمانی که بازیکنان قبل از اتمام بازی، نتیجه را حدس می زنند و باید زمین را ترک کنند.
پاسخ به مسائل اضافی:
1- قبل از انجام پرتاب، احتمال پیروزی بدون وقت اضافی 16/9 و احتمال مساوی کردن 16/3 است که در حالت اخیر بازی برای تعیین برنده به وقت اضافی کشیده می شود. احتمال باخت بدون وقت اضافی 16/4 یا 4/1 است. بنابراین محتمل ترین، احتمال برنده شدن بدون وقت اضافی است.
2- محتمل ترین نتیجه، باخت تیم است. مقدار این احتمال 40 درصد خواهد بود.
3- پاسخ رادیکال 5/0 یا حدود 71/0 یا 71 درصد می باشد.
مترجم منصوره فروزان
تنظیم: نسرین صادقی
