مکان هندسی این نقطه کجاست؟

اهداف

دانش آموزان قادر خواهند شد:

بهترین مکان را برای به حداقل رساندن مجموع فواصل نقطه ای درون یک چند ضعلی منتظم از همه اضلاع را حدس بزنند.

رابطه ی بین حداقل مجموع فواصل تا هر ضلع یک چند ضلعی منتظم را با ویژگی های آن چند ضلعی به وضوح بیان کنند.

رابطه ی بین حداقل مجموع فواصل تا هر ضلع یک n ضلعی منتظم را با ویژگی های آن n ضلعی، تعمیم دهند. به شرطی که n عددی زوج باشد.

وسایل لازم

کامپیوتر و امکان دسترسی به اینترنت

طلق شفاف از جزیره مثلثی

برگه فعالیت "جزیره مثلثی"

برگه فعالیت  "فراتر از جزیره مثلثی"

مثلث های متساوی الاضلاع کاغذی بزرگ

متر یا خط کش

طرح درس

دانش آموزان را به صورت دو نفری گروه بندی کنید. طلق شفاف از جزیره مثلثی را به وسیله پرژکتور نمایش دهید. سپس داستان زیر را نقل کنید:

فرض کنید شما و دوستاتتان، تنها و بی کس در یک جزیره بیابانی رها شده اید. این جزیره به شکل مثلث متساوی الاضلاع است. دوست شما گیلی گان، فردی تنبل وکسل است. بنابراین مایلید کلبه خود را دور از وی بسازید. به علاوه، لازم است محل کلبه شما در جزیره در جایی باشد که مجموع فاصله اش از سه ساحل تا حد امکان کمتر باشد.

احتمال دارد برای دانش آموزان این سؤال پیش بیاید که چرا برای یک نفر مهم است که مجموع فواصلش تا حد امکان کوچک باشد. شما می توانید توضیح دهید که این کار برای دسترسی هر چه آسانتر به سؤال جزیره می باشد. در واقع، اگر سطح جزیره پوشیده از پوشش گیاهی خاردار باشد، با حداقل شدن مجموع فواصل، کار شما در پاک سازی این پوشش و ایجاد جاده به حداقل خواهد رسید.

به علاوه می توانید مطرح کنید: چون گیلی گان خیلی خودخواه است، می خواهد کلبه اش را درست در مرکز (وسط) جزیره بنا کند. بنابراین دانش آموزان باید نقطه ی دیگری را برای بنای کلبه اشان در نظر بگیرند.

(اگر دانش آموزان به صورت گروه های دو نفری کار می کنند، لازم نیست شرایط اخیر را مطرح نمایید، ولی اگر قرار شد دانش آموزان به صورت انفرادی کار کنند، بیان وضعیت گیلی گان باعث می شود که همه ی دانش آموزان کلبه ی خود را در مرکز جزیره نسازند. در ادامه ی درس، آن ها می فهمند که مجموع فواصل خودشان تا سواحل و مجموع فواصل کلبه ی گیلی گان تا سواحل هیچ تفاوتی وجود ندارد.)

دانش آموزان را به گروه های دو نفری تقسیم بندی کنید و به هر گروه یک کپی از برگه ی فعالیت "جزیره مثلثی" بدهید.

 

به آن ها بگویید که در مورد محل ساخت کلبه ی خویش تصمیم گیری کنند و فواصل کلبه را تا هر ضلع مثلث به دست آورند. (در نهایت، لازم خواهد شد که به هر دانش آموز، یک کپی از این برگه بدهید، ولی در ابتدا بهتر است هر دو نفر، روی یک برگه کار کنند. این کار باعث می شود که آن ها نقاط مختلفی را برای بنای کلبه اشان در نظر بگیرند و در نتیجه متوجه شوند که محل نقطه، در مجموع فاصله تا سه ضلع هیچ تاُثیری ندارد.)

توجه داشته باشید که احتمالاً لازم است دانش آموزان را راهنمایی کنید که چگونه فاصله یک نقطه تا هر یک از اضلاع را اندازه بگیرند. به آن ها بگویید که فاصله، طول خط عمودی است که از آن نقطه به هر یک از اضلاع کشیده می شود.

با انتخاب برگه ی تعدادی از دانش آموزان و نشان دادن مکان های مختلفی برای بنای کلبه، نظرات ایشان را در کلاس مطرح کنید. از آن ها بپرسید که بهترین نقطه برای بنای کلبه کجاست و چرا؟ (دانش آموزان درک می کنند که مجموع فواصل برای تمام نقاط داخلی مثلث یکسان خواهد بود.)

به دنبال سؤال قبل، این سؤال را مطرح کنید: "آیا مجموع فواصل، ارتباطی با ویژگی های مثلث متساوی الاضلاع دارد؟" (البته این سؤال مشکلی است و احتمالاً دانش آموزان به صورت تصادفی ویژگی های مختلفی را بیان خواهند کرد مثلا طول ضلع، محیط، مساحت یا ارتفاع)

همه ی پاسخ ها را جهت مراجعات بعدی، ثبت نمایید. زیرا این قسمت از درس، فقط نقطه ی شروعی برای تفکر درباره مسئله و ویژگی های مثلث است. و لزومی به رسیدن به پاسخ دقیق نمی باشد.

به دانش آموزان بگویید که هر گاه خواستند می توانند به فهرست ویژگی های مثلث، مواردی را اضافه کنند. اکنون برگه فعالیت "فراتر از جزیره مثلثی" را بین دانش آموزان توزیع کنید.

 

با استفاده از محیط تعاملی "جزیره مثلثی" آن ها می توانند فواصل یک نقطه تا اضلاع مثلث های متساوی الاضلاع و مربع ها را مورد بررسی قرار دهند. همچنین با استفاده از محیط تعاملی جزیره شش ضلعی این کار را با شش ضلعی ها می توانند انجام دهند. برای اشکالی مانند هشت ضلعی، آن ها می توانند با رسم دستی شکل، و استفاده از ابزارهای اندازه گیری مانند خط کش، این کار را انجام دهند.

هنگامی که دانش آموزان کار خود را با محیط تعاملی مثلثی شروع کردند مطمئن شوید که به درستی با محیط تعاملی کار می کنند. محیط تعاملی به آن ها امکان می دهد تا با مثلث هایی در اندازه های مختلف کار کنند که این کار با استفاده از مثلث های کاغذی بسیار مشکل است (توجه داشته باشید که اندازه و ابعاد جزیره، برای دانش آموزان مجهول است و آن ها باید مثلث هایی با ابعاد گوناگون را مورد بررسی قرار دهند.)

می توانید از محیط های تعاملی شش ضلعی، محیط تعاملی هشت ضلعی نیز استفاده نمایید.

برای دیدن این محیط های تعاملی روی آن ها کلیک ، و فایل زیپ شده را دانلود، و 01 را اجرا نمایید.

برای تکمیل سؤال 1 برگه ی فعالیتی، لازم است دانش آموزان اطلاعاتی از مثلث هایی با ابعاد مختلف جمع آوری کنند.

حال در یک بحث کلاسی، از دانش آموزان بخواهید تا بر اساس اندازه های جمع آوری شده، فرمول های حدسی خود را بیان کنند. بپرسید:" درباره تاُثیر مکان نقطه بر مجموع فواصل از اضلاع مثلث، چه نظری دارید؟" (تمام نقاط درون مثلث، مجموع فواصل یکسانی از سه ضلع مثلث دارند.)

سپس بپرسید: "آیا این مجموع، با ویژگی های مثلث مرتبط است؟ "توضیح دهید" (این مجموع مساوی با ارتفاع مثلث خواهد شد. وقتی دانش آموزان محل کلبه را روی یکی از راس های مثلث قرار دهند، این نکته به وضوح قابل مشاهده خواهد بود. یعنی در این حالت، فاصله ی نقطه از دو ضلع صفر می شود و فاصله از ضلع سوم برابر ارتفاع مثلث خواهد شد.)

مجدداً به مثلث های کاغذی باز گردید و این سؤال را مطرح کنید: "آیا نتایج حاصل از بررسی با محیط های تعاملی با نتایج اولیه شما در مثلث های کاغذی مطابقت دارد؟" (احتمالاً دانش آموزان متوجه خواهند شد که اگر در اندازه گیری های روی کاغذ، دقت لازم را کرده باشند به همان نتایجی می رسند که از بررسی با محیط تعاملی به دست آورده اند.)

به دانش آموزان خاطر نشان کنید که جزیره می تواند شکل های دیگری (غیر از مثلثی) داشته باشد. مثلا مربع یا بیش از 4 ضلع. از آن ها بخواهید تا حالت های مختلف را در نظر بگیرند.

هر گروه از دانش آموزان را مسئول بررسی یکی از چند ضلعی های منتظم با تعداد اضلاع زوج (مربع – شش ضلعی – هشت ضلعی) نمایید تا بتوانید مجموعه ای از داده ها را جهت تعمیم در کلاس ارائه نمایید. البته در صورتی که زمان اجازه دهد، گروه ها می توانند به جز شکل تعیین شده، سایر اشکال را نیز بررسی نمایند. نحوه ی کار گروه ها به این صورت است که برای هر چند ضلعی، ابتدا جدول مربوطه را کامل نمایند و سپس به سؤالات برگه فعالیتی پاسخ دهند. (در مربع، مجموع فواصل مساوی دو برابر ارتفاع مربع می شود. در شش ضلعی، مجموع فواصل مساوی سه برابر ارتفاع شش ضلعی می شود و در هشت ضلعی، مجموع فواصل مساوی چهار برابر ارتفاع هشت ضلعی می گردد.)

پس از این که دانش آموزان، بررسی های خود را انجام دادند، از هر گروه یک دانش آموز انتخاب شود و نتایج کار گروه را درباره یکی از چند ضلعی ها برای کل کلاس، بیان نماید. بقیه ی دانش آموزان باید درباره ی نتایج ارائه شده و نحوه استدلال این گروه، از آن ها سؤال کنند.

پس از ارائه نتایج به دست آمده درباره همه ی چند ضلعی ها، سؤالات زیر را مطرح کنید:

چگونه نتایج قبلی را در مورد جزایری به شکل های مختلف، تعمیم می دهید؟

اگر این سؤال، خیلی کلی به نظر رسید، از دانش آموزان بخواهید به یک چند ضلعی با تعداد اضلاع زیاد و زوج فکر کنند. مثلاً چه رابطه ای بین مجموع فواصل از اضلاع یک 50 ضلعی با ارتفاع آن 50 ضلعی وجود دارد؟ (مجموع فواصل مساوی 25 برابر ارتفاع 50 ضلعی خواهد شد.)

به طور کلی، چگونه می توان این مشاهدات را بر حسب یک n ضلعی بیان کرد؟

(مجموع فواصل، مساوی با n/2 برابر ارتفاع آن n ضلعی می گردد.)

(دانش آموزان باید دقت کنند که قاعده ی فوق فقط برای n ضلعی هایی صادق است که n عددی زوج باشد. در n ضلعی هایی با تعداد اضلاع فرد، روابط دیگری صادق است.)

پرسش هایی برای دانش آموز

چرا در یک چند ضلعی منتظم با تعداد اضلاع زوج، مجموع فواصل یک نقطه درونی تا اضلاع چند ضلعی منتظم، مضربی از ارتفاع آن چند ضلعی می گردد؟

(زیرا در چند ضلعی ها با تعداد اضلاع زوج، ضلع ها دو به دور موازیند. فاصله ی هر نقطه از این ضلع های موازی، برابر ارتفاع چند ضلعی می شود. تعداد این ضلع های موازی، نصف تعداد اضلاع چند ضلعی است. بنابراین مجموع فواصل همواره n/2 برابر ارتفاع چند ضلعی می گردد. با استفاده از محیط تعاملی مثلث می توان این قاعده را در حالت مربعی نشان داد.)

ارزشیابی

از کارهای دانش آموزان تصاویر ویدیویی تهیه کنید تا در جلسات ملاقات با اولیا یا نمایشگاه ریاضی یا در سایت مدرسه آن ها را نمایش بگذارید.

توسعه

ثابت کنید در هر مثلث متساوی الاضلاع، مجموع فواصل هر نقطه دلخواه درون مثلث از سه ضلع آن، مساوی ارتفاع مثلث است.

مانند شکل زیر، مثلث را به سه مثلث کوچکتر تقسیم کنید.

چون مثلث متساوی الاضلاع است، پس AB=BC=CA

مساحت مثلث ABH برابر AB)(HR)1/2 ) است.

مساحت مثلث BHC برابر BC)(HQ) 1/2 ) است.

و مساحت مثلث AHC برابر CA)(HP) 1/2) است.

پس مساحت مثلث ABC برابر  می گردد. چون سه ضلع مثلث مساوی است مساحت این سه مثلث برابر است. می دانیم مساحت هر مثلث برابر (قاعده) (ارتفاع) 1/2 یعنی

h)(AB) 1/2 ) است.

اگر دو رابطه ی اخیر را مساوی قرار دهیم، خواهیم داشت:

اگر طرفین این رابطه را بر  تقسیم کنیم خواهیم داشت: HR+HQ+HP=h

یعنی مجموع فواصل از سه ضلع، مساوی ارتفاع مثلث می باشد.

در شکل بالا، نقطه H دقیقاً در مرکز مثلث واقع شده است، در حالی که برای اثبات این قضیه، این امر ضروری نیست. یعنی روش قضیه، ربطی به موقعیت نقطه H درون مثلث ندارد. به عبارت دیگر، در همه ی نقاط درون مثلث، قضیه ثابت می شود.

2- چه رابطه ای بین قطر دایره محیطی و ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع وجود دارد؟

(فاصله مرکز دایره محیطی مثلث تا هر یک از سه راس مثلث، برابر شعاع دایره می باشد. (r در شکل زیر) فاصله مرکز دایره محیطی از سه ضلع، مساوی و برابر S است. اگر h ارتفاع مثلث باشد، خواهیم داشت: 3s=h از طرفی داریم r=2s با تلفیق این دو رابطه، خواهیم داشت:

یا  و در نتیجه قطر دایره محیطی

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

دانش آموزان، کدام یک از ویژگی های چند ضلعی های منتظم را مورد بررسی قرار دادند؟ چرا این ویژگی ها برای دانش آموزان مهم بود؟

آیا دانش آموزان بین مجموع فواصل تا اضلاع چند ضلعی با ویژگی دیگری از آن چند ضلعی به جز ارتفاع، رابطه ای برقرار نمودند؟ چگونه توانستند برای نشان دادن این رابطه و شبیه سازی مسئله از برنامه محیط تعاملی هندسی استفاده کنند؟

آیا هنگام تدریس این درس، نیاز به ایجاد تغییراتی را احساس کردید؟ اگر چنین است، چه تغییراتی و آیا مؤثر بود؟

مترجم: راضیه کریمی