روش های نمایش دامنه

اهداف

دانش آموزان یاد خواهند گرفت:

از نمودار ها، جداول، محور های اعداد، توضیحات کلامی و نماد ها برای نشان دادن دامنه ی توابع مختلف استفاده کنند.

روابط بین شکل جبری توابع، نمودار تابع و دامنه ی تابع را یاد می گیرند و می توانند از آن استفاده کنند.

وسایل لازم

برگه ی فعالیت روش های نمایش دامنه

ماشین حساب های گرافیکی

طرح درس

از دانش آموزان بخواهید تا در مورد ورودی ها (مقادیر x) و خروجی های توابع (مقادیر (f(x)، تفکر کنند. سؤالات زیر را طرح کنید:

آیا امکان دارد که یک تابع یک ورودی (x) داشته باشد، در حالی که هیچ خروجی متناظری ((f(x) نداشته باشد؟

(بله، چنین تابعی وجود دارد. هر ورودی باید یک خروجی منحصر به فرد داشته باشد. هر چند توابع زیادی وجود دارند که مجموعه ی ورودی های محدودی دارند، برای مثال، فقط برای تعریف شده است، اما هر ورودی یک خروجی منحصر به فرد دارد.)

از دانش آموزان بخواهید ابتدا به صورت انفرادی و سپس با یک هم گروهی، به سؤالات فکر کنند. از دانش آموزان بخواهید جواب هایشان را با نمودار یا نمایش جبری توضیح دهند. سپس، بخواهید همه ی دانش آموزان هر گروه، جواب هایشان را به هم نشان دهند. (این روش کلاسی به نام "فکر کن-مقایسه کن-شرکت کن" شناخته شده است. این روش می تواند در مشارکت دانش آموزان در بحث های کلاسی و ایده دادن دانش آموزان به یکدیگر مؤثر باشد، به این وسیله که چون اول ایده هایشان را با یک هم گروهی در میان می گذارند، علاقه مندتر می شوند که وارد بحث با بقیه ی کلاس شوند.

یعد از این که دانش آموزان به امکان وجود توابع زیادی که ورودی هایی دارند که مقدار متناظر خروجی ندارند، فکر کردند، برگه ی فعالیت روش های نمایش دامنه را توزیع کنید. به دانش آموزان بگویید دستورالعمل را از ابتدای صفحه بخوانند.

 

برگه ی فعالیت روش های نمایش دامنه

اولین نمایش که دانش آموزان استفاده خواهند کرد، نمودار است. دانش آموزان برای رسم هر کدام از هشت تابع، باید از ماشین حساب گرافیکی استفاده کنند. از دانش آموزان بخواهید همه ی جزئیات مهم مثل نقاط پایانی، مجانب ها و جهت ها را برای هر تابع محاسبه کنند.

بعضی از دانش آموزان ممکن است در رسم نمودار برای توابعی که مجانب دارند، به مشکل برخورد کنند. به دانش آموزان توضیح دهید که درست نیست که از مجانب های عمودی به عنوان بخشی از تابع استفاده کنند، چرا که آن ها جزئی از تابع باقی نخواهند ماند. از دانش آموزان بخواهید که نقاطی را که در آن مجانب های عمودی ظاهر می شوند، پیدا کنند و مقادیر x و (f(x متناظر با آن را در نقاط مجانب عمودی، مشخص کنند.

دومین نوع نمایشی که دانش آموزان استفاده خواهند کرد، جدول است. دانش آموزان می توانند برای تکمیل جداول هر یک از هر هشت تابع، از ماشین حساب های گرافیکی استفاده کنند و یا می توانند مقادیر را با دست یا هر نوع ماشین حسابی محاسبه کنند.

دانش آموزان ممکن است سؤال کنند که چرا برای برخی مقادیر x در بعضی توابع، پیغام خطا ظاهر می شود. دانش آموزان باید شکل جبری تابع را بفهمند و توجه کنند که چنین موقعیتی ممکن است از جذر گرفتن یک عدد منفی یا تقسیم بر صفر ظاهر شود. هنگامی که دانش آموزان خطایی در ماشین حساب می بینند، باید آن را روی صفحه ی فعالیت خود با حرف E ثبت کنند.

هنگامی که دانش آموزان همه ی جداول را کامل کردند، از آن ها بخواهید به سؤالات زیر پاسخ دهند:

شکل جبری توابع را بررسی کنید. کدام توابع در جدول خطا ایجاد می کنند؟

(توابع رادیکالی با فرجه ی زوج و توابع کسری در جدول خطا ایجاد می کنند.)

چرا توابع رادیکالی با فرجه ی زوج و توابع کسری در جدول خطا ایجاد می کنند؟

(جذر گرفتن از اعداد منفی و تقسیم بر صفر، هر دو  تعریف نشده اند و در برخی مقادیر ورودی ایجاد می شوند.)

سومین نوع نمایش، استفاده از محور اعداد می باشد. دانش آموزان مقادیر (f(x متناظر با x را بر محور اعداد رسم می کنند.

به دانش آموزان توضیح دهید که هر گاه یک مقدار x، یک مقدار (f(x متناظر در جدول داشت، گفته می شود که آن x در دامنه ی تابع قرار دارد. مجموعه ی همه ی مقادیر x که مقادیر متناظر (f(x دارند، دامنه ی تابع نامیده می شوند. هر جا که یک مقدار x در خروجی تابع، خطا ایجاد کند، آن مقدار x در دامنه ی تابع موجود نیست.

بعد از این که دانش آموزان محور های اعداد را کامل کردند، آن ها را به گروه های 2-4 نفره تقسیم کنید. از دانش آموزان بخواهید تا محور های اعدادشان را با هم گروهی های خود مقایسه کنند و بگوئید هر گروه سر یک محور اعداد به توافق برسند. و هر گروه یک محور اعداد را روی تخته نمایش دهد. از هر گروه بخواهید محور هایشان را توجیه کنند، برای مثال توضیح دهند که چرا برخی مقادیر x را شامل می شوند، با این کار مبحث محور های اعداد را دوره می کنید.

چهارمین و پنجمین نوع نمایش نمایش کلامی و نمادی است. به دانش آموزان توضیح دهید که توضیحات کلامی می توانند برای توضیح نمایش نمادی دامنه استفاده شوند و به همین دلیل است که این دو روش با هم معرفی می شوند.

بعد از این که دانش آموزان روش های نمایش کلامی و نمادی را یاد گرفتند، آن ها را به گروه های جدید 2-4 نفره تقسیم بندی کنید. از دانش آموزان بخواهید تا نمایش کلامی و نمادی خود را با اعضای گروه خود مقایسه کنند و یک نمایش کلامی و نمادی را برای ارائه انتخاب کنند. از هر گروه بخواهید نمایش کلامی و نمادی خود را روی تخته بیاورد. از هر گروه بخواهید توجیه کنند که چرا مقادیر x خاصی را به کار می برند. با این کار نمایش کلامی و نمادی را دوره می کنید.

بعد از این که نمایش کلامی و نمادی دوره شد، دانش آموزان باید روابط بین هر پنج نوع نمایش را بررسی کنند. آن ها باید روش های مختلف نمایش دامنه را جزء به جزء بررسی کنند تا به رابطه ی بین آن ها پی ببرند. به عنوان مثال، به دانش آموزان بگویید روش های نموداری و محور اعداد را برای تابع زیر مقایسه کنند:

از این دو نوع نمایش تابع، دانش آموزان متوجه می شوند که مجانب ها در 2-=x و 3=x و در محور اعداد، نقاط تو خالی،  2- و 3 هستند و خطا های جدول، در نقاط 2-=x و 3=x ایجاد می شوند.

در نهایت، دامنه ی این تابع  را می توان به این صورت تعریف کرد: "شامل همه ی مقادیر x به جر 2- و 3" که با نماد  به صورت

از سؤال و جواب های زیر برای کمک به دانش آموزان در یافتن ارتباط بین 5 شیوه ی نمایش تابع استفاده کنید:

پرسش هایی برای دانش آموزان:

توابعی را که دامنه ی دارند، مشخص کنید. روش های نمایش گرافیکی، جدولی، محور اعداد، کلامی و نمادی را برای هر تابع امتحان کنید. هنگامی که تابع دامنه ی دارد:

1. آیا نمودار تابع، مجانب دارد؟
2. آیا جدول مقادیر تابع، خطا دارد؟
3. از محور اعداد چه می توان دریافت؟
4. دامنه ی تابع چگونه به صورت کلامی تعریف می شود؟

(دامنه قطع نشده است، بنابر این هیچ مجانبی وجود ندارد، خطایی در جدول دیده نمی شود و نقاط تو خالی روی محور اعداد وجود ندارد. تعریف کلامی به این صورت است که دامنه همه ی مقادیر ممکن x را شامل می شود.)

توابعی را که نمودار آن ها مجانب دارند، مشخص کنید. روش های نمایش گرافیکی، جدولی، محور اعداد و کلامی و نمادی را برای هر تابع به کار ببرید. هنگامی که یک تابع مجانب دارد:

1. آیا خطایی در جدول اعداد دیده می شود؟
2. در مورد محور اعداد چه می توان گفت؟ توضیح دهید.
3. دامنه ی تابع به صورت کلامی چگونه تعریف می شود؟
4. دامنه ی تابع به صورت نمادی چگونه توصیف می شود؟

(مجانب های نمودار، در همان مقادیر x رخ می دهند که خطاها در جدول، نقاط تو خالی روی محور اعداد و کلمه ی حذف در تعریف کلامی ایجاد می شود. همین طور نمایش نمادی به دو بخش یا بیشتر تقسیم می شود تا مشخص کند بعضی مقادیر x در دامنه وجود ندارند.)

ارزشیابی

1-نمودار تابعی را در اختیار دانش آموران قرار دهید. از آن ها بخواهید دامنه ی تابع را به وسیله ی محور اعداد، توصیفات کلامی و نمایش نمادی تعریف کنند.

2-دامنه ی تابعی را به صورت کلامی برای دانش آموزان تعریف کنید. از دانش آموزان بخواهید نمایش نمادی دامنه ی تابع را بنویسند و نمودار آن را رسم کنند.

3-تابع را فرض کنید. روابط بین نمایش نموداری، جدولی، محور اعداد، کلامی و نمادی را توضیح دهید.

توسعه

1- از دانش آموران بخواهید نمایش جبری توابع را با دامنه های زیر بنویسند.

ابتدا از دانش آموزان بخواهید به صورت فردی کار کنند و بعد گروه های دو نفری تشکیل دهند. در گروه ها دانش آموزان توابع  خود را به هم نشان می دهند و توضبح می دهند که چرا چنین دامنه ای دارند.

2- از دانش آموزان بخواهید به سؤالات زیر به صورت سطحی جواب بدهند:

1. آیا همه ی چند جمله ای ها دامنه ی دارند؟ پاسخ خود را توضیح دهید.
2. چرا مجانب های عمودی در بعضی مقادیر x بر دامنه ی تابع اثر می گذارد؟ توضیح دهید.
3. آیا امکان دارد که دامنه ی تابع زیر به صورت باشد؟
4. 
5. اگر امکان دارد، یک نمایش جبری برای( g(x بیاورید و توضیح دهید که چرا دامنه ی را دارد؟ اگر امکان ندارد، بدون توجه به شکل جبری( g(x چرا دامنه هیچ وقت نمی تواند باشد؟

بررسی اجرای طرح درس در کلاس

چگونه شکل های مختلف نمایش دامنه، درک دانش آموران را از دامنه بالا برد؟

هنگامی که دانش آموران در گروه ها کار می کردند، آیا به طور فعالانه در بحث ها شرکت می کردند؟

سؤالات کلیدی چه نقشی در پیشرفت دانش آموزان در فهم ارتباط بین روش های مختلف نمایش تابع داشت؟

تا چه اندازه دانش آموران روابط بین روش های مختلف نمایش دامنه را می توانند به صورت کلامی توضیح دهند؟

مترجم: مینا نقش نژاد