تبیان، دستیار زندگی
این درس، مجموعه ای از سه فعالیت است. این فعالیت ها حول محور الگو ها و ارزش مکانی در سیستم دو تایی می باشد. دانش آموزان کلاس پنجم تا سوم راهنمایی با توانایی "جادویی" حدس عدد مجهول به طرف ریاضی کشیده می شوند و یا با استفاده از روز های تولد، چیز های مرتبط با
بازدید :
زمان تقریبی مطالعه :

روزهای تولد و سیستم دوتایی

اهداف

دانش آموزان خواهند توانست:

الگو های عددی را تشخیص و توضیح دهند و تحلیل کنند.

سیستم دو تایی و کاربرد هایش را کشف کنند.

بتوانند درباره ی افکار ریاضی خود با همکلاسی ها، معلم ها و دیگران صحبت کنند.

وسایل لازم

برگه ی ساخت کارت های ماشین سبز

کاغذ های ساخت (حداقل بعضی از آن ها سبز باشد.)

طرح درس

"ماشین سبز"

برای این که دانش آموزان مکانیک ریاضی را درک کنند، با ساده ترین شیوه ی حدس زدن روز تولد به نام ماشین سبز شروع کنید. در این فعالیت، یک پاکت کاغذ ترسیم سبز رنگ داریم كه دسته ای از اعداد 1 تا 31 روی هر برگه ی آن نوشته شده است. هر برگه را به عنوان کارت در نظر می گیریم. "جادوگر" هر یک از پنج کارت را نشان می دهد و از طرف مقابل سؤال می کند که آیا روز تولد او در کارت هایی که به او نشان داده، هست یا نه و جواب "بله" یا "خیر" می شنود. بعد از کارت پنجم، جادوگر، اطلاعات کافی را برای اعلام تاریخ این روز به دست آورده است.

دانش آموزان، این جادوگری را به مهارت های پیشرفته ی حافظه نسبت می دهند، اما در این بین، خواهند فهمید الگو های عددی، راهبرد کارآمدتری است. مسئله ی مهم تر این است که این فعالیت به آن ها جرأت می دهد که فکر کنند مهارت حدس زدن تاریخ تولد دیگران را دارند.

دانش آموزان کارت های افراد را در پاکت ها بررسی می کنند تا الگو های عددی را تشخیص دهند. بچه ها صحبت درباره ی الگو ها و تشخیص آن ها را  شروع می کنند؛ در حالی که مشخصات اعداد روی کارت ها را هنوز تشخیص نداده اند، مشخصاتی مانند: تمام اعداد روی کارت 1، فرد هستند و 4 تا 4 تا در هر دو ستون زیاد می شوند. اعداد کارت 2 هم 4 تا 4 تا زیاد می شوند. کارت 5 از عدد 16 شروع و یکی یکی زیاد می شود.

کارت 1

1     3

5     7

9    11

13    15

17    19

21    23

25    27

27 31

کارت 2

2     3

6     7

10    11

14    15

18    19

22    23

26    27

30 31

کارت 3

4     5

6     7

12    13

14    15

20    21

22    23

28    29

30 31

کارت 4

8     9

10    11

12    13

14    15

24    25

26    27

28    29

30 31

کارت 5

16    17

18    19

20    21

22    23

24    25

26    27

28    29

30 31

دانش آموزان کلاس باید تلاش کنند تا الگو های هر کارتی را تشخیص دهند و همچنین هر یک از قواعد را طوری ترکیب کنند که قوانینی به دست آورند که تمام کارت ها را در بر بگیرد. سپس، از آن ها بخواهید كه کار را از انتها به ابتدا انجام دهند و بر این مسئله تمرکز کنند که این فعالیت چگونه انجام شده است. ارتباط بین پاسخ های بله و خیر را با نتیجه ی آن بررسی کنند. اگر خودشان به نتیجه ای نرسیدند، این راهنمایی که پاسخ های بله، کلیدی برای حدس زدن روز تولد است، به آن ها کمک می کند. دانش آموزان با استفاده از چند نمونه ی عددی، در فاصله های زمانی، کارت هایی را که پاسخ  آن ها بله است، جدا می کنند و آن ها را بررسی می کنند تا ببینند می توانند الگویی در آن ها مشاهده کنند.  وقتی دانش آموزان در حال جمع آوری اطلاعات در ذهنشان و در جست و جوی روابط بین اعداد روی کارت ها هستند و به نتیجه ی نهایی فکر می کنند، قوانین محتملی را گسترش می دهند که بیان گر آن چیزی است که اتفاق می افتد. سرانجام یک یا چند نفر از دانش آموزان خواهند فهمید كه راه کشف عدد مجهول، اضافه کردن عدد سمت چپ بالا به هر جواب مثبت است. بنابراین، وقتی جواب مخاطب در برابر کارتی مثبت باشد، جادوگر برای حدس زدن روز تولدش، عددی را که در گوشه ی سمت چپ بالای کارت است، به ذهن می سپارد. با نشان دادن کارت های بعدی، وقتی جادوگر جواب مثبت می شنود، در ذهن خود عدد گوشه ی بالای سمت چپ را با عدد قبلی جمع می کند و حاصلش را اعلام می کند که همان عدد مجهول است. دانش آموزان می توانند این روش را برای چندین عدد روز تولد به کار ببرند تا از اعتبار این راه حل مطمئن شوند. البته دانش آموزان به این نتیجه هم می رسند که مهارت های به خاطر سپاری هم به كار می آید، اما نه تا آن اندازه که از ابتدا تصور می کردند، چرا که فقط باید یک عدد را به خاطر بسپارند. یعنی همان حاصل جمع را. آن ها می فهمند كه این توانایی را که به ظاهر جادویی است، با استفاده از یك قانون ریاضی در دست دارند.

می توانید از لینک زیر کمک بگیرید و کارت های ماشین سبز خودتان را درست کنید:

ساخت ماشین سبز

"کارت های دسته بندی"

فعالیت بعدی برای حدس زدن روز تولد، شامل کارت هایی است به اندازه ی 10 سانتی متر در 15 سانتی متر که سوراخ هایی در عرض بالای آن ها ایجاد شده است. دانش آموزان نمایش پروژکتور اورهد را مشاهده می کنند که از پنچ جعبه تشکیل شده است که در هر یک ترکیبی از اعداد 1 تا 31 قرار دارد و آن ها باید بگویند که عدد روز تولد یکی از دانش آموزان در آن هست یا نه. جادوگر در مقابل پاسخ های بله یا خیر آن ها، یک گیره ی کاغذی بزرگ یا میله ی آهنی باریکی را درون سوراخ های کارت های دسته بندی قرار می دهد و کارت ها را دسته بندی می کند. پاسخی که مربوط به آخرین جعبه ی اعداد در برگه ی نمایش و آخرین دسته ی اعداد است، یک کارت ضمیمه باقی می گذارد که همان عدد روز تولد دانش آموز مورد نظر است. فعالیت کارت های دسته بندی هم مانند  فعالیت ماشین سبز است، اما ارزش های بله و خیر را از طریق سیستمی از سوراخ های ایجاد شده در بالای کارت های ضمیمه تشخیص می دهند. هر سوراخ، نشان دهنده ی یک ستون ارزش مکانی دو تایی است، یعنی همان 1، 2، 4، 8 و 16.

کارت دسته بندی

هر دانش آموز، 31 کارت را که اعداد 1 تا 31 روی آن ها نوشته شده و پنج سوراخ در بالای آن ایجاد شده باشد، لازم دارد. برش بعضی از این سوراخ ها باید آن قدر بزرگ شود تا با عدد مورد نظر مطابقت کند. اگر عدد، حاوی ارزش 1 در هر ارزش مکانی دو تایی باشد، سوراخ دست نخورده باقی می ماند. اگر ارزش عدد در آن مکان صفر باشد، سوراخ با برش کاملی باز می شود، طوری که گیره ی کاغذی از درون آن عبور کند.

برای مثال در کارت شماره ی 7، ارزش 1 در ستون های 1، 2 و 4  (1+2+4=7) و ارزش صفر در ستون 8 و 16 دیده می شود.

کارت دسته بندی

نابراین سوراخ های 1، 2 و 4 دست نخورده باقی می ماند و سوراخ های 8 و 16 کاملاً برش می خورند. خوانندگان متوجه خواهند شد که کاغذ اعداد ی که در این فعالیت روی پروژکتور اورهد به كار رفته است، در حقیقت، آرایش اعداد روی پنج کارت در فعالیت ماشین سبز است.

کارت دسته بندی

برای درست حدس زدن عدد مجهول، کسی که کارت ها را در دست دارد، سؤال می کند که آیا آن عدد در جعبه ای که بر چسب I دارد و در اورهد نمایش داده می شود، وجود دارد یا خیر. اولین جعبه در اورهد با سوراخ گوشه ی سمت راست بالای کارت ها، مطابقت می کند. اگر پاسخ بله باشد، کارت هایی که با گیره ی کاغذی باز برداشته شده اند، برای دسته بندی های بعدی با بقیه ی سؤالات، نگه داشته می شوند. بقیه ی کارت ها کنار گذاشته می شوند. اگر جواب خیر باشد، کارت هایی که بیرون از این دسته بندی قرار می گیرند، نگه داشته می شوند و کارت هایی که برداشته می شوند، کنار گذاشته می شوند. دسته بندی ها به همین ترتیب با حرکت کردن به هر سوراخ از راست به چپ، با توجه به پاسخ دانش آموزان به جعبه های II-V در اورهد، ادامه پیدا می کند.

کارت های دسته بندی، شبیه کارت های منگنه ی کلیدی است که در ابتدا در سیستم های کامپیوتری استفاده می شد. این سوراخ ها، معرف اطلاعات دو تایی است که ماشین آن ها را می خواند. به جای کارت های دسته بندی که باید برش سوراخ هایشان با توجه به ارزش عدد باشد، سوراخ های منگنه ی کلیدی، تحریک های الکتریکی یا مکانیکی می فرستند که برای کامپیوتر اطلاعات خاصی محسوب می شود. کامپیوتر ها هنوز بر اساس سیستم دو تایی عمل می کنند، اما نرم افزارهای رایج، این "زبان ماشینی" را از کاربران پنهان می کند.

"کارت های دسته بندی" برگردان کاملی از عدد مبنای ده به عدد مبنای دو هم هست. مثلاً 7 که در مبنای ده است، در مبنای دو به صورت 2(111) نوشته می شود و عدد 4 که در مبنای ده است، در مبنای دو به صورت 2(100) نوشته می شود. ارزش کار با مبنای دو، فقط درک کار سیستم در ارزش مکانی مبنای دو نیست، بلکه در مراحل کد گذاری و کد گشایی اطلاعات، درک، تشخیص و استفاده از الگوی اعداد و گسترش درک بهتر ارزش مکانی است.

"کارت های پنجره"

این فعالیت شامل مجموعه ای از کارت های پوستری با پنجره های کوچک است.

کارت پنجره

کارت پنجره

پنجره هایی که در این شکل ها است، پر رنگ تر است و با X مشخص شده است. هر کارت دو ستون عدد دارد. پاسخ های بله یا خیری كه هر یك از دانش آموزان کلاس در پاسخ به این پرسش که آیا عدد روز تولدشان را روی کارت می بینند، می دهند و همچنین، شیوه ی قرار دادن کارت ها، کمک می کند تا روز تولد آن ها را حدس بزنیم، کارت آخر، روز تولد دانش آموز را با پنجره ای که از کارت های دیگر درست می شود، مشخص می کند. اگر وقتی که شرکت کننده، عدد مجهول 11 را انتخاب می کند، به کارت های در حال استفاده نگاه كنیم؛ مراحل بعدی هم دیده خواهد شد. جادوگر اولین کارت را نگه می دارد و شرکت کننده در آن به دنبال عدد 11 می گردد؛ پاسخ مثبت است. بنابراین، جادوگر کارت را به رو و به طوری که جهت اعداد از بالا به پایین باشد، قرار می دهد (a). در مورد کارت 2 هم پاسخ مثبت دریافت می کند و کارت 2 را روی کارت 1 و دوباره به رو قرار می دهد (b). چون عدد 11 در کارت 3 نیست، پاسخ منفی دریافت می کند و کارت 3 را به رو، روی کارت 2 قرار می دهد، اما جهت اعداد این کارت رو به پایین است (c). در مورد کارت 4 پاسخ مثبت دریافت می کند و کارت 4 را  بر روی کارت 3 به رو و به طوری که جهت اعداد از بالا به پایین باشد، قرار می دهد (d). کارت 5 جدا گذاشته می شود. در مورد کارت 6 پاسخ مثبت دریافت می کند و کارت 6 را به رو، روی کارت 4 با جهت اعداد از بالا به پایین قرار می دهد (e). سرانجام تمام کارت ها انتخاب می شوند، به ردیف روی هم قرار می گیرند و طوری گذاشته می شوند که روی کارت آخر به شرکت کننده نشان داده می شود، عدد مجهول 11 در پنجره نمایان می شود (f).

کارت های پنجره

فعالیت "کارت های پنجره" با همان مراحل حذف که در فعالیت "کارت های دسته بندی" انجام می شود، پیش می رود، با این تفاوت که جدا سازی از طریق الگو های فضایی انجام می شود. هر بار که دانش آموزان پاسخ بله یا خیر می دهند، سوراخ های مختلف کارت ها تغییر می کنند و بنابراین، اعداد مناسب در کارت 6 در موقعیت نهایی حذف یا اضافه می شوند. محل قرار گرفتن سوراخ ها با الگو های وابسته به سیستم دو تایی مطابقت دارد كه در شکل زیر نشان داده شده است.

الگوی دو تایی

برای کارت1

الگوی دو تایی

برای کارت2

الگوی دو تایی

برای کارت3

الگوی دو تایی

برای کارت4

الگوی دو تایی

برای کارت6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

از یک طرف وقتی پاسخ به کارتی بله باشد، کارت باید به رو و با جهت اعداد از بالا به پایین قرار بگیرد تا جادوگر بتواند آن را بخواند. از طرف دیگر، وقتی پاسخ به کارتی خیر باشد، کارت باید به رو و با جهت اعداد از پایین به بالا قرار بگیرد. این کارت ها در ادامه ی فعالیت یکی یکی در جهت های مناسب قرار می گیرند. کارت های خالی در موقعیت پنجم، در جایی قرار می گیرد كه کارت 6 در طول این مرحله خارج از دید بماند. بنابراین، وقتی جادوگر به هدفش رسید، می تواند آن را بردارد و كنار بگذارد. سپس، قسمت جادویی کارت 6 باید به مخاطب نشان داده شود. اگر عدد مورد نظر روی کارت بود، باید پشت و رو با طرفی که روی کارت ها است، گذاشته شود. اگر عدد روی آن نبود، کارت باید چرخانده شود و از پشت روی کارت ها قرار بگیرد. جادوگر می تواند با بقیه ی کارت ها ادامه دهد و با تنظیم و در ردیف قرار دادن کارت ها، آن ها را طوری بگیرد که مخاطب بتواند عدد مخفی را ببیند. سپس، با قیچی سوراخ هایی ایجاد کند. اعداد باید با سیم و چسب روی کارت ها قرار بگیرند. اعداد باید طوری با دقت روی کارت 6 قرار بگیرند که دقیقاً با سوراخ ها مطابقت كنند؛ طوری که عدد مخفی در پایان فعالیت به راحتی قابل مشاهده باشد.

وقتی روند فعالیت های این مراحل روشن شد، می توان ریاضیاتی را که به اعداد مخفی مربوط است و روابط بین این سه وسیله ی حدس زدن را معرفی کرد. الگوهای ارائه ی دو تایی اعداد ده دهی، کلید ارتباطی فعالیت ها هستند. تصویر قبلی می تواند در توضیح این ارتباط کمک کند.

دانش آموزان خیلی زود می فهمند که تمام موقعیت های اولین ستون سمت راست پر رنگ است و در ستون دوم، دو موقعیت پر رنگ است و به این ترتیب، دو موقعیت باقی می ماند كه پر رنگ نیست. بدون نمودار قبلی، دانش آموزان نمی توانند این الگو ها را کشف کنند. آن ها نخواهند فهمید که الگو در هر ستون به طرف سمت چپ دو برابر می شود، مگر این که از مدل تصویری استفاده شود. با این حال تصور اساسی سیستم دو تایی، مبنای این فعالیت ها است. دانش آموزان باید بتوانند بفهمند که الگو ی نمودار قبلی 1-2-4-8-16 بود. الگوی اعداد در تمام این سه وسیله ی حدس زدن، همان است به استثنای "کارت های پنجره" که باید ستون هایی داشته باشد که روی آن ورق بخورد و قالب صفحه شود. برای امتحان نتیجه ی کار، باید از دانش آموزان بخواهید این الگو را طوری تعمیم دهند که اعداد بزرگ تر را هم شامل شود. مثلاً الگوی ستون بعدی چه خواهد بود و چرا؟

پس از این که راز این فعالیت برملا شد، دانش آموزان باید سوگند رسمی بخورند که این راز را فاش نکنند. اما اجازه دارند راه حل صحیح را تأیید کنند. دانش آموزان معمولاً این کلک ها را روی بقیه ی اعضای مدرسه امتحان می کنند، هر کسی از مدیر تا معلم تربیت بدنی یا مربی بهداشت.

سؤالاتی برای دانش آموزان

باید دانش آموزان را تشویق کرد تا از این سه فعالیت نتیجه بگیرند.

  1. چرا این الگو کاربرد دارد؟
  2. چرا اعداد دو برابر می شوند؟
  3. چطور الگو به تصمیم گیری ارتباط پیدا می کند؟

چنین مجموعه سؤال هایی به دانش آموزان کمک می کند تا بفهمند که در هر ستون اعداد دو برابر می شود، یعنی ستون ها با هم کار می کنند، مانند سیستم ارزش مکانی که کد ها را در اعداد ده دهی تشکیل می دهد.

تعمیم

اداره ی پست نیز از سیستم کد گذاری دو تایی مشابهی به عنوان اسا روش دسته بندی با مشخصه های قابل خواندن توسط ماشین و خطوطی که کد پستی را نشان می دهند، استفاده می کند. این نوار های کلفت و نازک، اغلب به صورت برچسب هایی که به طور دستی چسبیده اند و یا پوششی که  ماشین چاپ می کند، دیده می شوند و هر کدام از نوار ها اعداد 0 و 1 را که می توان به مبنا های دیگر تبدیل کرد، نشان می دهند.

کد گذاری

دانش آموزان می توانند به طور گروهی تحقیق کنند که چرا اداره ی پست چنین سیستمی را به کار می گیرد. امتیازات استفاده از سیستم دو تایی چیست؟ موانعی هم دارد؟ می توانید سیستم های جایگزینی را برای اداره ی پست پیشنهاد کنید.

مترجم: فاطمه وفایی