بازی خانه ی وزیر
در این مقاله یک بازی جدید را معرفی می کنیم. این بازی که بر روی صفحه ی شطرنجی انجام می‌شود، در سال 1960 طراحی شد. یک مهره ی وزیر روی صفحه قرار می‌گیرد که هر یک از بازیکنان می‌توانند آن را طبق قوانین شطرنج جا به جا کنند، با این تفاوت که این مهره نمی تواند به سمت بالا یا راست حرکت کند. برنده کسی است که وزیر را به خانه ی انتهایی پایین و سمت چپ صفحه برساند. یا به عبارت دیگر کسی که حرکتی برای انجام نداشته باشد، بازنده است .
به نظر شما در این بازی چه کسی برنده است؟
در بازی‌های زیر کدام یک از بازیکنان برنده هستند؟
 |  |  |
به راحتی می‌توان دید که در بازی سمت راست، نفر اول برنده است. ولی در مورد دو بازی دیگر چه می‌توان گفت؟
در دو بازی سمت چپ، اگر نفر دوم با دقت بازی کند، برنده ی بازی خواهد بود. پس اگر در ابتدا وزیر در خانه هایی که با رنگ بنفش نشان داده شده اند باشد، نفر اول استراتژی برد دارد و اگر در خانه‌های صورتی باشد، نفر دوم برنده خواهد بود. برای نمونه بعضی از خانه‌ها ی بنفش و صورتی در صفحه ی زیر نشان داده شده اند.
 |  |  |
اگر وزیر در یکی از خانه‌ها ی بنفش در شکل سمت راست بالا باشد، نفر اول می‌تواند با یک حرکت مجاز آن را به خانه ی (0،0) (پایین و چپ) منتقل کند و بازی را ببرد و اگر در یکی از خانه های بنفش در شکل وسط باشد، نیز نفر اول با یک حرکت مجاز آن را به یکی از خانه‌ها ی صورتی منتقل می‌کند و بازی را می‌برد. در شکل چپ همه ی خانه‌ها ی بنفش و صورتی مشخص شده اند.
آیا می‌توانید بگویید در یک صفحه ی n در n کدام یک از خانه‌ها بنفش و کدام یک صورتی هستند؟
به نظر می‌رسد که اگر خانه ی ( i , j ) صورتی باشد، خانه ی ( j , i ) هم صورتی خواهد بود . آیا می‌توانید این حدس را ثابت کنید؟
جدول مربوط به خانه‌ها ی صورتی زیر قطر ( برای خانه های بالای قطر فقط مؤلفه‌ها با هم عوض می‌شوند ) به صورت زیر است:
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | |
| 9 | 8 | 6 | 4 | 3 | 1 | x |
| 15 | 13 | 10 | 7 | 5 | 2 | y |
از روی جدول بالا می‌توان به نکات زیر پی برد:
1- در هر ستون مجموع اعداد ردیف اول و دوم برابر عدد ردیف سوم است. پس با دانستن مقدار x می‌توان مقدار y را به دست آورد.
2- x ستون i -ام برابر کوچک ترین عدد صحیحی است که در میان x و y های ستون های قبلی وجود نداشته باشد.
مثلاً 10 در ستون چهارم برابر 4+6 است و 6 درهمان ستون کوچک ترین عددی است که برابر 1 و 2 و 3 و 5 و 4 و 7 نیست. ولی چرا مختصات خانه های صورتی به این شکل تعیین می‌شود ؟
تا این جا وزیر مانند وزیر بازی شطرنج حرکت می‌کرد. می‌خواهیم چند حرکت به آن بیافزاییم و بازی را کمی پیشرفته تر کنیم. فرض کنید وزیر بتواند غیر از قطر خود، در دو قطر مجاور آن هم حرکت کند. حال بازی به چه صورت تغییر می کند؟ آیا هنوز هم می‌توانید تعیین کنید که چه کسی برنده است؟ خانه های بنفش و صورتی به چه صورت در می‌آیند.
در applet زیر بازی را با مقادیر مختلف a انجام دهید. در حالت a=1 بازی همان بازی قبلی است.
مختصات خانه های صورتی را در این بازی کشف کنید!
اما چند سال قبل از این بازی، فردی به نام وایتف در سال 1907 بازی دیگری ابداع کرده بود که با دو دسته مهره انجام می‌شد. در این بازی هر بازیکن می‌تواند در نوبت خود یکی از دسته‌ها را انتخاب کند و تعدادی از مهره های آن دسته را حذف کند و یا این که از هر دو دسته به تعداد مساوی مهره حذف کند. کسی که در نوبت خود حرکتی برای انجام نداشته باشد، بازنده است. نظرتان در مورد این بازی چیست؟ آیا هیچ یک از بازیکنان استراتژی برد ( روشی که توسط آن بتوانند همیشه برنده باشند ) دارند؟
در applet زیر a را برابر 1 قرار دهید و بازی را چند بار انجام دهید:
آیا می‌توانید ارتباطی بین این بازی و بازی خانه ی وزیر پیدا کنید؟ چه چیز را معادل خانه های شطرنجی می‌گیرید؟
اگر فاصله ی وزیر را در بازی خانه ی وزیر تا ضلع چپ معادل بسته ی قرمز و فاصله ی آن تا ضلع پایین را معادل بسته ی آبی بگیریم، آن گاه هر حرکت افقی به منزله ی کم کردن از دسته ی قرمز و هر حرکت عمودی به منزله ی کم کردن از دسته ی آبی است. هم چنین حرکت قطری به منزله ی کم کردن مقدار مساوی از هر دو دسته خواهد بود.
بنا براین با همان اعدادی که از بازی خانه ی وزیر به دست آوردیم، می‌توانیم در بازی وایتف هم پیروز باشیم. فقط کافی است طوری بازی کنیم که تعداد مهره های باقی مانده در هر بسته مانند مختصات نقاط صورتی بازی خانه ی وزیر باشد.
اگر مقدار a را تغییر دهید چه تغییری در بازی به وجود می‌آید؟
اگر مقدار a را تغییر دهید، می‌توانید در یک نوبت n مهره از دسته ی قرمز و m مهره از دسته ی آبی بردارید با این شرط که:
آیا می‌توانید نشان دهید که چرا این کار معادل حالت پیشرفته ی بازی خانه ی وزیر است؟
