گره های ریاضی

گره‌ها همه جا هستند. بستن بند کفش، بافتن موها، گره زدن سبزه ها، دار زدن، کشتی رانی و ... این‌ها فقط قسمت کوچکی از لیست طولانی کاربرد گره‌ها در زندگی روزمره هستند. درست مثل زندگی روزمره در ریاضیات و فیزیک و زیست شناسی و خیلی از علوم دیگر هم گره‌ها کاربرد هایی دارند.

اجازه بدهید برای شروع چند گره ساده ببینیم: با راست کلیک کردن روی تصویر و انتخابNew Display می‌توانید تصویر بزرگتری ببینید .

برای دیدن محیط تعاملی، نرم افزار جاوا را از اینجا دریافت کنید.	برای دیدن محیط تعاملی، نرم افزار جاوا را از اینجا دریافت کنید.	برای دیدن محیط تعاملی، نرم افزار جاوا را از اینجا دریافت کنید.
گره بدیهی	گره سه پر	گره هشت

احتمالا توجه کرده اید که همه این گره‌ها بسته هستند یعنی دو سر آن‌ها آزاد نیست. در طی این مطلب فقط چنین گره هایی را بررسی می کنیم.

برای آنکه نمایش و بررسی گره‌ها ساده تر باشد معمولا آن‌ها را به کمک بریدگی خطوط و به این شکل نمایش می‌دهیم: ( سعی کنید با چرخاندن گره های بالا این تصاویر را پیدا کنید.)

به این شکل‌ها دیاگرام گره و به تعداد تقاطع‌ها، عدد تقاطعی گره می‌گوییم. احتمالا توجه کرده اید که یک گره می‌تواند دیاگرام های زیادی داشته باشد مثلا با چرخاندن گره سه پر درApplet بالا متوجه می‌شویم که علاوه بر شکل سبز رنگ بالا می‌توان این گره را به شکل های دیگری هم نمایش داد مثلا:

ریاضیات به تعبیری علم دسته بندی اشیاء است و کار اصلی آن این است که روشن کند چه چیزهایی علی رغم ظاهر نامربوطشان در حقیقت یک چیز هستند.بنابراین اولین کار ریاضیدان‌ها در برخورد با یک شی جدید مثل گره‌ها تلاش برای دسته بندی آن هاست.یعنی پیدا کردن معیاری که به کمک آن بتوان فهمید که دو گره مختلف یکی هستند حتی اگر به شکل های متفاوتی نمایش داده شده باشند، از زاویه های مختلفی دیده شده باشند و یا دیاگرام های به ظاهر متفاوتی داشته باشند.

می گوییم دو گره یکی هستند اگر بتوان با تغییر دادن یکی، البته بدون پاره کردن و چسباندن آن به دیگری رسید. به زبان دقیقتر دو گره یکی هستند اگر بتوان دیاگرام آنها را به کمک دنباله ای از این سه عمل به هم تبدیل کرد. این اعمال به حرکات رایدماستر معروف هستند.

این اعمال در حقیقت همان کارهایی هستند که به طور طبیعی می‌توان برای تغییر شکل دادن و ساده ترکردن یک گره واقعی مثلا از جنس طناب انجام داد. برای نمونه سعی کنید دیاگرام های مختلف گره سه پر را که در بالا آمده است به هم تبدیل کنید.

برای تشخیص گره های مختلف از هم باید معیاری پیدا کنیم ( مثلا به هر گره عددی یا خاصیتی نسبت بدهیم ) که تحت این سه عمل تغییر نکند. در این صورت این عدد یا خاصیت برای تمام نمایش های ممکن مقدار ثابتی خواهد داشت و اگر مقدار آن برای دو گره متفاوت باشد حتما آن دو گره متفاوت خواهند بود. موضوع اصلی نظریه گره‌ها یافتن چنین معیارهایی است که به آنها ناوردا می‌گوییم. مثلا معلوم است که عدد تقاطعی یک ناوردا نیست چرا که تحت عمل اول و دوم تغییر می‌کند.اگر مایلید چیزهای بیشتری راجع به این موضوع بدانید می‌توانید صفحه بعد را ببینید.

گاهی اوقات لازم است برای دسته بندی اشیا آنها را به اجزایشان تجزیه کنیم. مثلا به گره زیر توجه کنید. به وضوح به نظر می‌رسد این گره مجموع دو گره ساده تر است که احتمالا می‌توانید حدس بزنید این دو گره چه گره هایی هستند:

با توجه به این مشاهده می‌توانیم چیزی مثل عمل جمع برای گره‌ها تعریف کنیم، برای جمع کردن دو گره هر دو را از جایی می‌بریم و از محل بریدگی مثل شکل بالا به هم متصل می‌کنیم. ( فکر کنید آیا جای این بریدگی در نتیجه تاثیری دارد. )

حالا که عمل جمع را تعریف کردیم طبیعی است که بپرسیم آیا گره هایی وجود دارند که مثل اعداد منفی عمل کنند یعنی اگر آنها را با گره دیگری جمع کنیم نتیجه یک گره بدیهی باشد؟ برای شروع سعی کنید قرینه ساده ترین گره غیر بدیهی را پیدا کنید.

و یک سوال دیگر اینکه آیا چیزی شبیه به مفهوم اول بودن در اعداد در گره‌ها وجود دارد، یعنی آیا گره هایی وجود دارند که به گره های ساده تر تجزیه نشوند؟ در

و آخرین سوال، فکر می کنید اگر گره‌ها را به عنوان مرز یک سطح در نظر بگیریم، این سطح چه شکلی خواهد داشت؟ برای دیدن این سطح کافی است یک گره را که مثلا با مفتول یا پلاستیک ساخته شده در کف صابون فرو ببریم و بیرون بیاوریم. سعی کنید خودتان این تجربه را انجام دهید. نتیجه را برای ساده ترین گره می‌بینید. روی گره سه پر یک نوار موبیوس دوبار تاب خورده تشکیل می‌شود. اگر نمی دانید نوار موبیوس چیست به شماره های قبلی همین ستون مراجعه کنید.

نویسنده: سید عباس موسوی