کاشی های خود پوشاننده
کاشی خود پوشاننده شکلی است که بتوان محیط آن را با شکل های مشابه خودش پوشاند، به طوری که شکل حاصل شامل فضای خالی نباشد. همان طور که می‌بینید این چینش، به صورت حلقه حلقه است. در این جا، حلقه ی اول سبز پررنگ و حلقه ی دوم سبز کم رنگ است.
بیش ترین تعداد حلقه هایی را که می‌توان دور یک شکل چید، عدد چینش آن شکل نام دارد. به طور مثال عدد چینش مستطیل بی نهایت است. (چرا؟) همین طور عدد چینش مربع و مثلث هم بی نهایت است. و عدد چینش دایره صفر است. می‌توانید علت را توضیح دهید؟ اولین سؤالی که می‌توان در مورد عدد چینش مطرح کرد، این است که: آیا شکلی وجود دارد که عدد چینش آن بی نهایت یا صفر نباشد؟ Heesch یکی از اولین افرادی بود که چنین شکلی را پیدا کرد. شکلی که او پیدا کرد همان شکلی است که در بالای مقاله مشاهده می کنید. مربعی که به یک مثلث متساوی الاضلاع و به یک مثلث قائم الزاویه با زاویه های 30-60-90 متصل شده است. همان طور که در شکل مشاهده می کنید، شما می‌توانید آن را با کپی هایی از خودش دورچینی کنید. حال سعی کنید به وسیله ی این کاشی و کپی های آن تمام صفحه را بپوشانید بدون این که در صفحه، فضای خالی باقی بماند و یا این که دو کاشی روی هم قرار بگیرند. متوجه خواهید شد که این کار امکان پذیر نیست. در حقیقت می‌توان ثابت کرد هیچ چینشی از این کاشی با خصوصیات فوق روی صفحه وجود ندارد. یعنی عدد چینش این شکل بینهایت نیست.
در مدت کوتاهی شکل های دیگری با عددهای چینش بیش تر هم پیدا شدند: کاشی با عدد چینش 1
کاشی با عدد چینش 2
کاشی با عدد چینش 3
آیا می‌توانید ثابت کنید عدد چینش شکل بالا 3 است؟ اثبات بسیار ساده و جذاب است. سعی کنید خودتان این مسأله را حل کنید. راهنمایی: به این نکته دقت کنید که در یک کاشی از این نوع، دو دندانه ی خارجی و یک دندانه ی داخلی داریم. در چینشی از این کاشی‌ها این تفاوت دندانه‌ها در محیط چینش ظاهر خواهد شد. کاشی با عدد چینش 4
کاشی با عدد چینش 5
تا کنون هیچ کاشی ای با عدد چینش بیش تر از 5 پیدا نشده است. ساختن کاشی با شکل های مختلف و تلاش برای دست یافتن به عدد چینش های بالاتر کار جالب و جذابی است، که شاید دوست داشته باشید خودتان امتحان کنید. اگر فرض مسأله را کمی تغییر دهیم، می‌توانیم به اعداد بالاتری هم برسیم. به طور مثال اگر فرض این که هیچ حفره ای در شکل وجود نداشته باشد را حذف کنیم ( اما هنوز باید کاشی های همسایه شبیه به هم باشند )، می‌توانیم کاشی با عدد چینش 4 بسازیم:
پیدا شدن این کاشی‌ها و پیدا نشدن کاشی هایی با عدد چینش بیش تر از 5 تا این لحظه، این سؤال را به وجود آورده است: آیا عدد چینش ماکزیمم وجود دارد؟ ( یعنی عدد n وجود دارد که اگر یک کاشی را بیش از n دور به دور خودش چیدیم، بتوانیم نتیجه بگیریم که عدد چینش آن کاشی بی نهایت است؟) در حال حاضر هیچ جوابی برای این سؤال وجود ندارد. حدس هایی وجود دارد مبنی بر این که این عدد وجود دارد. ( در حالی که از خود عدد بی اطلاعیم ). افرادی هم هستند که حدس می‌زنند عدد چینش ماکزیمم وجود ندارد. به عنوان آخرین مثال تعدادی از این نوع چینش کاشی را مشاهده کنید:
|
