چرا همه ی اعداد مساوی می‌شوند؟

البته موضوع به این سادگی‌ها هم نیست، ولی تا حدی می‌توان آن را توضیح داد. اگر دقت کرده باشید، متوجه خواهید شد که:

اگر دو نفر هم زمان وارد بازی شوند، عدد آن ها تا پایان بازی یکسان باقی خواهد ماند. مثلاً اگر نفر اول و سوم در مرحله ی دهم وارد بازی شوند، تا پایان بازی اعدادشان یکسان باقی می ماند. ( چون آن ها در وضعیت یکسانی هستند پس عددهای آن ها هم روند مشابهی را طی خواهد کرد. )

اگر دو نفر با اعداد متفاوت و در مراحل مختلف وارد بازی شده باشند، اعداد آن‌ها چگونه با هم مساوی می شود؟

فقط کافی است که این دو نفر در یک مرحله عدد خود را تغییر دهند. برای روشن شدن مطلب بازی دو بازیکن را در مرحله ای از یک بازی در شکل زیر می‌بینید:

در این جدول اعداد آبی نشان دهنده ی زمانی است که یک بازیکن عدد خود را تغییر می‌دهد. ملاحظه می‌شود که به محض این که دو عدد آبی کنار هم قرار می‌گیرند، اعدد دو بازیکن یکسان می‌شود. از آن جا به بعد خانه‌ها زرد رنگ شده اند.

حال به تصویر زیر نگاه کنید. در این تصویر همه ی مسیرهای ممکن یک بازی را تا مرحله ی هفدهم می‌بینید. محور افقی، اعداد روی تاس در هر مرحله و محور عمودی، اعداد موجود در ذهن بازیکنان را نشان می‌دهد. از هر ستون یک مسیر خارج می‌شود که نشان دهنده ی بازی فردی است که در آن مرحله وارد بازی شده است و یا ادامه بازی کسی را نشان می‌دهد که در این مرحله عددش را تغییر داده است.

با توجه به آن چه قبلاً گفتیم اعداد بازیکنانی که انتهای مسیرهایشان در یک ستون باشد، برابر می‌شود. مثلاً اعداد بازیکنانی که در مرحله ی اول یا دوم یا چهارم وارد بازی می‌شوند، در مرحله ی پنجم برابر می‌شود و اعداد بازیکنانی که در مرحله ی دوازدهم و  سیزدهم وارد بازی می‌شوند در مرحله ی پانزدهم با آن‌ ها یکی می‌شود. در نهایت عدد همه ی بازیکنانی که تا قبل از مرحله ی هفده وارد بازی شده‌اند، در مرحله ی هیجدهم یکسان می‌شود.

نکته ی کلیدی این است که هرچه زمان بازی بیش تر می‌شود، احتمال این‌که دو مسیر مجزای بازی با هم و در یک ستون پایان نیابند، کم‌تر و کم‌تر می‌شود. به زبان ساده‌ یعنی وقتی بازی به اندازه ی کافی ادامه پیدا کند، بالاخره جایی پیدا می‌شود که دو مسیر مجزا در یک ستون و هم زمان پایان یابند. البته اثبات دقیق این موضوع ساده نیست. اما اگر چند بار به کمک یک تاس جدولی مانند جدول زیر با مقادیر مختلف تاس بسازید، می‌توانید این نکته را تجربه کنید.

با توجه به آن‌چه گفتیم باید به این نکته هم توجه کنید که اگر بازی در مراحل اولیه متوقف شود، ممکن است نتیجه ی دلخواه به دست نیاید. به طور مثال اگر در بازی بالا یک بازیکن در مرحله ی اول و دیگری در مرحله ی نهم وارد بازی شود و بازی را در مرحله شانزدهم متوقف کنیم، عدد بازیکن اول ۱ و عدد بازیکن دوم ۶ خواهد بود. هر چه زمان بازی بیش تر باشد احتمال آن ‌که اعداد همه ی بازیکنان یکی شود، بیش تر است. البته این ‌که این احتمال چه وقت به حد معقولی می‌رسد، قابل محاسبه است. شما با چند بار تکرار بازی می‌توانید حدود آن را بیابید. پس بهتر است قبل از این که سعی کنید دیگران را با این بازی متعجب کنید، چندین بار آن را تجربه و آزمایش کنید.

بررسی پدیده‌هایی همانند این بازی منجر به ایجاد شاخه‌ای به نام فرایندهای تصادفی [Stochastic Processes] در ریاضیات شده است. ابن شاخه به بررسی رفتار سیستم‌های پیچیده و یا تصادفی می‌پردازد و کاربردهای زیادی در بررسی، مدل‌سازی و تخمین سیستم ‌های پیچیده ی طبیعی، فیزیکی، اجتماعی و اقتصادی مثل بازار بورس، گسترش بیماری‌ها و ... دارد.

صفحه قبل