• تعداد بازديد :
  • پنج شنبه 1396/02/21
  • تاريخ :

مشتق گیری ضمنی و مشتق مراتب بالا

هر معادله ضمنی را می توان به صورت  f(x,y)   نشان داد .

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

 

تابع با ضابطه  y=x2+3x-9 را در نظر می گیریم این معادله ، ضابطه f  را به طور صریح تعریف می كند و y مستقیماً بر حسب x نوشته شده است . اما همیشه در همه توابع y به صورت صریح بر حسب x نمی باشد . مثلا اگر  x2+y2+2xy-3=0  را در نظر بگیریم نمی توانیم y را بر حسب x  به صورت صریح بنویسیم . به همچین معادلاتی ، توابع ضمنی می نامند. 

هر معادله ضمنی را می توان به صورت  f(x,y)  نشان داد . در حالت کلی تر هر معادله ای به صورت  f(x1,x2,...,xn)=0 که f یک تابع از چند متغیر است را یک معادله ضمنی می نامند.

به عنوان مثال معادله ضمنی دایره به مرکز (0,0) و شعاع 1 برابر است با x2+y2−1=0 . همان طور که مشاهده می کنید در این معادله به طور صریح y بر حسب  x داده نشده است.

در بعضی مواقع می توان y را به طور صریح x نوشت در اینصورت به روش معمولی می توانیم از آن مشتق بگیریم مثلا در مثال 2x+3y=5 داریم:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

ولی چنانچه نتوانیم فرمولی صریح برای توابع ضمنی پیدا کنیم در این صورت می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم.

اگر f(x,y)=0 باشد، مشتق y نسبت به x و یا مشتق x نسبت به yبرابر است با:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

f’x  مشتق تابع نسبت به x  است.

f’y مشتق تابع نسبت به y  است.

اگر بخواهیم نسبت به x مشتق بگیریم y را ثابت فرض می كنیم و اگر نسبت به y مشتق بگیریم x را ثابت فرض می كنیم .

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر  اثبات : در تابع f(x,y)=0 اگر بخواهیم از طرفین نسبت به x به صورت زنجیری مشتق بگیریم داریم:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر مثال: مشتق  تابع y -x siny +1=0 را به دست آورید:
مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

مثال: مشتق تابع زیر را بدست آورید:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

 

مشتق تابع وارون

اگر f پیوسته و یک به یک باشد در آن صورت:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

مثال: با توجه به تابع زیر مقدار (f -1)' (3) را بدست آورید:
 
مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

مشتق مراتب بالا

مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. بطوری که با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتراگر y=f(x )  مشتق پذیر از مرتبه n ام باشد مشتقات متوالی آن به صورت زیر است:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

قاعدهٔ لایبنیتس

 این قاعده بیان می‌کند که اگر دو تابع f و g روی بازه (a,b)  دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n ام باشند، آنگاه حاصل‌ضرب f.g نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ n  است و داریم:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

مثال: مشتق دهم تابع زیر را بیابید:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر بعضی از توابع در مشتق مراتب بالای خود از یک نظم خاصی پیروی می کنند . در زیر لیستی از مشتق مراتب بالاتر بعضی توابع را ارائه می کنیم:

مشتق ضمنی و مشتق مراتب بالاتر

با استفاده از جدول فوق اکنون می توانید به راحتی پاسخ مثال قبل را محاسبه کنید.
تهیه: مرکز یادگیری سایت تبیان
UserName