• مشکی
  • سفید
  • سبز
  • آبی
  • قرمز
  • نارنجی
  • بنفش
  • طلایی
  • تعداد بازديد :
  • 30
  • سه شنبه 1396/1/22
  • تاريخ :

بهینه سازی

بهینه‌سازی ریاضی، در ساده‌ترین شکل تلاش میکند که با گزینش نظام مند داده‌ها از یک مجموعه قابل دستیابی و محاسبه مقدار یک تابع حقیقی مقدار بیشینه و کمینه آن به دست آید‌.

بهینه سازی

 

در اواخر فصل مشتق کتاب دیفرانسیل با مسایلی بر می خوریم که باید مینیمم یا ماکزیمم سازی در آنها اتفاق بیافتد. اما مشکلی که پیش میاد اینه که یک متغیر نداریم! در این جور مسایل اول یکی از متغیرها رو بر اساس دیگری بدست میاریم، مشتق میگیریم و مشتق رو مساوی با صفر قرار می دهیم. به عبارت دیگر در این مسایل دو عبارت شامل دو متغیر به دست می آید که یکی از آنها مقدار ثابتی دارد و عبارت دیگر مرتباٌ تغییر می کند و ما می خواهیم تعیین کنیم عبارت دوم چه موقع min یا max می شود.

برای حل اینگونه مسائل باید کاری کنیم که:

1- عبارتی که بر حسب دو متغیر در حال تغییر است به یک متغیر تبدیل شود و این عمل با به دست آوردن یکی از متغیرها بر حسب دیگری از آن عبارت ثابت و جای گذاری در عبارتی که تغییر می کند ، انجام خواهد شد.

2- با مشتق گیری از این عبارت min یا max آن بدست می آید .

بهینه سازیبخش مثال ها

در این قسمت با بعضی از کاربردهای مشتق min,max در مسائل نظری و عملی آشنا خواهیم شد.

به عنوان مثال می خواهیم ببینیم بین مستطیل هایی که دارای محیط ثابت می باشند ، کدام یک دارای بیشترین مساحت است؟

محیط مستطیل(عبارت ثابت)p=2(x +y)   <-             

مساحت مستطیل (عبارت در حال تغییر)  ->   S =xy

عبارت p=2(x +y)  مقداری ثابت است و عبارت S =xy در حال تغییر . می خواهیم max S  را بدست آوریم :

از رابطه ثابت p=2(x +y) مقدار y را بر حسب x پیدا کرده و در رابطه در حال تغییر S =xy قرار می دهیم  و بعد با استفاده از مشتق ، ماکزیمم s را محاسبه می کنیم .

بهینه سازیمثال

1- اگر بین متغیرهای y, x رابطه y-3x=2   برقرار باشد،در این صورت min مقدار    y2 -7x 2  رابدست آورید.

پبهینه سازیاسخ:

عبارت ثابت   ->    y=3x+2  < -  y-3x=2

عبارت در حال تغییر ->  2 p =y 2 - 7x

بهینه سازی

2- مجموع دو عدد ۲۰ است. بیشترین مقدار برای  ضرب این دو عدد را بیابید.

بهینه سازی

3- کوتاه ترین فاصله منحنی y = x 2   از خط  y -2x +2 = 0 را حساب کنید.
فرض کنیم A( Þ،Þ2 ) نقطه ای روی منحنی است . فاصله این نقطه را از خط بدست می آوریم :

بهینه سازی

برای اینکه d کوتاهترین فاصله را داشته باشد بایستی  مینیمم تابع زیر را محاسبه کنیم:

بهینه سازی

بنابر این کوتاه ترین فاصله به طریق زیر حساب می شود:

بهینه سازی

 

4- مساحت بزرگترین مستطیلی را بیابید که در نیم‌دایره‌ای به قطر به شعاع ۵ محاط شده و یک ضلع مستطیل بر قطر نیم دایره واقع است.

بهینه سازی

بهینه سازی

در بهینه سازی مسایل، غیر از روش مشتق، روش های دیگری نیز وجود دارد مانند مثال های حل شده زیر:

مثال

1- ماگزیمم مساحت مستطیلی كه درون دایره ای به شعاع  2محاط است را بیابید.

بهینه سازی

 روش دوم: در نامساوی    x2+y2≥2xy  

تساوی زمانی برقرار است كه هر دو عامل جمع برابر باشند :

بهینه سازی

2- دو برابر عددی از عدد دیگر 6 واحد بیشتر است.اگر حاصل ضرب آنها می نیمم باشد مجموع آن دو عدد چقدر است.

پاسخ:

بهینه سازی

 حاصل ضرب دو عدد با تفاضل ثابت زمانی مینیمم است كه یكی مثبت و دیگری منفی باشد.

بهینه سازی

مینیمم ضرب  برای تساوی حاصل می شود و در این رابطه تساوی زمانی برقرار است كه هر دو عامل برابر باشند.

بهینه سازی

تهیه: مرکز یادگیری سایت تبیان

کاربردهای مشتق

کاربردهای مشتق

کاربردهای مشتق
توابع صعودی و نزولی

توابع صعودی و نزولی

توابع صعودی و نزولی
انتگرال

انتگرال

انتگرال
دانلود سۆال و راهنمای تصحیح امتحان نهایی سوم متوسطه رشته ریاضی

دانلود سۆال و راهنمای تصحیح امتحان...

دانلود سۆال و راهنمای تصحیح امتحان نهایی سوم متوسطه رشته ریاضی
UserName